  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2011-2012}


\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Les vecteurs du plan}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{2nde}$}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 5}
\rhead{Les vecteurs}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir surveillé 5}

\Exoi{\textbf{Construction de point}\hfill (6 points)\\
Dans la figure suivante on donne un représentant du vecteur $\vec u$, un représentant du vecteur $\vec v$ et deux points $A$ et $B$ du plan.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-5.26,-4.5)(14.69,6.36)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5.26,-4.5)(14.69,6.36)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psline{->}(2,3)(4,-1)
\psline{->}(6,1)(8,2)
\rput[tl](2.5,0.99){$\vec u$}
\rput[tl](6.71,2.09){$\vec v$}
\psline{->}(9,0)(11,-4)
\psline{->}(11,-4)(13,-3)
\psline{->}(9,0)(7,4)
\psline{->}(7,4)(9,5)
\psline{->}(9,0)(10,-2)
\psline{->}(9,0)(8,2)
\psline{->}(8,2)(12,4)
\psline{->}(-1,1)(-3,5)
\psline{->}(-3,5)(-5,4)
\psline{->}(-1,1)(5,4)
\psline{->}(5,4)(4,6)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](9,0)
\rput[bl](9.08,0.08){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1,1)
\rput[bl](-0.91,1.09){$B$}
\psdots[dotstyle=+](13,-3)
\rput[bl](13.09,-2.88){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](9,5)
\rput[bl](9.08,5.08){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](10,-2)
\rput[bl](10.09,-1.92){$P$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](12,4)
\rput[bl](12.08,4.09){$Q$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-5,4)
\rput[bl](-5.08,4.13){$S$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4,6)
\rput[bl](4.08,6.08){$T$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Placer le point $M$ tel que $ \overrightarrow{AM}=\vec{u}+\vec{v}$.
\item Placer le point $N$ tel que $\overrightarrow{AN}=\vec{v}-\vec{u}$.
\item Placer le point $P$ tel que $\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}\vec{u}$.
\item Placer le point $Q$ tel que $\overrightarrow{AQ}=-\dfrac{1}{2}\vec{u}+2\vec{v}$.
\item Placer le point $S$ tel que $\overrightarrow{SB}=\vec{u}+\vec{v}$.
\item Placer le point $T$ tel que $\overrightarrow{TB}=-3\vec{v}+\dfrac{1}{2}\vec{u}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\Exoi{\textbf{Relation de Chasles-Alignement}\hfill (5 points)\\
Soit $ABC$ un triangle quelconque. On considère les points $I$ , $J$ et $K$ tels que : 
$\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AK}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$. \\
\textbf{But : Démontrer que $I$, $J$ et $K$ sont alignés.}
\begin{enumerate}
\item %Réaliser une figure.
\quad \begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.48,0.68)(9.18,4.26)
\psline(0.3,3.3)(2.52,1.34)
\psline(2.52,1.34)(5.36,2.9)
\psline(5.36,2.9)(0.3,3.3)
\psline(1.97,1.83)(7.89,2.7)
\psline(5.36,2.9)(7.89,2.7)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.3,3.3)
\rput[bl](0.38,3.38){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](5.36,2.9)
\rput[bl](5.44,2.98){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.52,1.34)
\rput[bl](2.6,1.42){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](3.94,2.12)
\rput[bl](4.02,2.2){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](7.89,2.7)
\rput[bl](7.98,2.78){$J$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.97,1.83)
\rput[bl](2.04,1.9){$K$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item \textit{ Expression du premier vecteur $\overrightarrow{JK}$ en fonction des points de la figure de base (A, B et C) }.\\ 
%Démontrer que $\overrightarrow{JK}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.
Concernant les points J et K, l’énoncé nous donne $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AK}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.\\
On va donc décomposer le vecteur $\overrightarrow{JK}$ en passant par le point $A$. On obtient :
$$ \overrightarrow{JK}=\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AK}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$$
\item  \textit{ Expression du deuxième vecteur $\overrightarrow{JI}$ en fonction des points de la figure de base (A, B et C) }
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $\overrightarrow{JI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
Concernant les points $ J$ et $I$ , l’énoncé nous donne $\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$.\\
On va donc décomposer le vecteur $\overrightarrow{JI}$ en passant par les points $A$ et $B$. On obtient : 
$$ \overrightarrow{JI}=\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$
\item %En utilisant $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$, démontrer que $ \overrightarrow{JI}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
Comme $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$, on obtient :
$$ \overrightarrow{JI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
\end{enumerate}
\item %En déduire que $\overrightarrow{JI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{JK}$ et conclure.
On a : $\overrightarrow{JK}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$ et $ \overrightarrow{JI}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ donc :
$$ \overrightarrow{JK}=\dfrac{3}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{JI}$$
ce qui prouve que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\textbf{Vecteurs et parallélogrammes}\hfill (4 points)\\
$ABCD$ et $CDEF$ sont deux parallélogrammes.
\begin{enumerate}
\item %Donner deux vecteurs égaux à $\overrightarrow{DC}$ (Justifier)
$ABCD$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.\\
$CDEF$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EF}$.
\item %Déduire de la question précédente que $ABFE$ est un parallélogramme.
D'après la question précédente on a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EF}$, donc $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$ donc $EFBA$ est un parallélogramme.
%\item En déduire que 
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.69,-5.79)(15.01,1.74)
\psline(-1.06,0.2)(4.14,0.64)
\psline(12.13,-1.32)(4.14,0.64)
\psline(7.9,-5.29)(6.93,-1.76)
\psline(-1.06,0.2)(6.93,-1.76)
\psline(6.93,-1.76)(12.13,-1.32)
\psline(12.13,-1.32)(13.1,-4.85)
\psline(13.1,-4.85)(7.9,-5.29)
\psline(-1.06,0.2)(7.9,-5.29)
\psline(4.14,0.64)(13.1,-4.85)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1.06,0.2)
\rput[bl](-0.99,0.26){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.14,0.64)
\rput[bl](4.22,0.71){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](12.13,-1.32)
\rput[bl](12.2,-1.25){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.93,-1.76)
\rput[bl](6.99,-1.69){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](7.9,-5.29)
\rput[bl](7.97,-5.22){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](13.1,-4.85)
\rput[bl](13.18,-4.78){$F$}
\end{pspicture*}
\end{center}}


\Exoi{\textbf{Relation de Chasles et parallélisme.}\hfill (5 points)\\
 Soit $ABC$ un triangle quelconque. On considère les points $M$ et $N$ tels que : 
 $$ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BC}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
 \textbf{But : démontrer que les droites (CM) et (BN) sont parallèles}
 \begin{enumerate}
\item %Réaliser une figure.
\quad \begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7.16,-0.02)(6.8,4.22)
\psline(0.3,3.3)(2.52,1.34)
\psline(2.52,1.34)(5.36,2.9)
\psline(5.36,2.9)(0.3,3.3)
\psline{->}(5.36,2.9)(2.52,1.34)
\psline(-5.38,0.18)(0.3,3.3)
\psline(1.41,2.32)(5.36,2.9)
\psline(2.52,1.34)(-5.38,0.18)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.3,3.3)
\rput[bl](0.38,3.38){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](5.36,2.9)
\rput[bl](5.44,2.98){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.52,1.34)
\rput[bl](2.52,0.96){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-5.38,0.18)
\rput[bl](-5.58,0.34){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.41,2.32)
\rput[bl](1.5,2.4){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item \textit{Expression du premier vecteur $\overrightarrow{CM}$ en fonction des points de la figure de base (A, B et C).}
%\\Démontrer que : $ \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{BC}$
Avec le point M, l’énoncé nous donne $ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BC}$. 
On va donc décomposer $\overrightarrow{CM}$ en faisant apparaître le point $A$ et on obtient :
$$ \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{BC}$$ 
\item \textit{Expression du deuxième vecteur $\overrightarrow{BN}$ en fonction des points de la figure de base (A, B et C) } 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
Avec le point $N$, l’énoncé nous donne $\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. 
 On va donc décomposer $\overrightarrow{BN}$ en faisant apparaître le point $A$ et on obtient :
 $$ \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$ 
\item %En décomposant $\overrightarrow{BA}$ par $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$, montrer que :
%$$ \overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}$$
Comme $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$ on a :
$$ \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}$$
\end{enumerate}
\item %En déduire que $\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{BN}$ puis conclure.
On vient de voir que : $ \overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}$ et $ \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{BC}$, donc :
$$ \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{BC}=2\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}\right)=2\overrightarrow{BN}$$
On en déduit que les droites $(CM)$ et $(BN)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
}





\end{document}