  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}


\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{G\'en\'eralit\'e sur les fonctions}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{2nde}$}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 3}
\rhead{Généralité sur les fonctions}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du Devoir Surveillé 3}
\Exoi{\hfill (7 points)\\
On donne la courbe repr\'esentative d'une fonction $f$ définie sur $[-4;6[$ pour r\'epondre \textbf{graphiquement} aux questions suivantes.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{2}% \item L'ensemble de d\'efinition de $f$ est $D_f=[-4;6[$
\item L'image de $-4$ par la fonction $f$ est $f(-4)=4$
\item $f(5)=-2$
\item \begin{enumerate}
 \item Les ant\'ec\'edents de $3$ par la fonction $f$ sont environ $-3,7$ et $1$.
\item $5$ n'a pas d'antécédent par la fonction $f$.
\end{enumerate}
 \item %En laissant appara\^itre les traits de justification sur le graphique, r\'esoudre :
\begin{enumerate}
\item L'\'equation $f(x)=-1$ admet pour ensemble de $\mathscr S$olutions $\mathscr S=\{4\}$
\item L'in\'equation $f(x) \leq 1$ admet pour ensemble de $\mathscr S$olutions $$\mathscr S=[-3;-1]\cup [3;6[$$
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7 cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-5.1,-3.1)(7.1,6.1)
\def\xmin{-5} \def\xmax{7} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-5.1,-3.1)(7.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=lightgray, subgriddiv=1](0,0)(-5,-3)(7,6)
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 17 604800 div x 8 exp mul sub 13 50400 div x 7 exp mul add 1 33600 div x 6 exp mul sub 109 25200 div x 5 exp mul sub 5669 201600 div x 4 exp mul add 5303 50400 div x 3 exp mul sub 57523 151200 div x 2 exp mul sub 1553 1400 div x mul add 352 105 div add 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{6}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt,Dx=2,Dy=2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\psdot(-4,4)
\psline(6.2,-0.8)(6,-0.8)(6,-1.2)(6.2,-1.2)
\psline[linestyle=dashed](0,4)(-4,4)(-4,0)%(6,-1.2)(6.2,-1.2)
\psline[linestyle=dashed](6,-1)(6,0)
\psline[linestyle=dashed](-3.7,0)(-3.7,3)(1,3)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](-5,5)(7,5)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,-1)(0,-1)
\psline[linestyle=dashed](-3,0)(-3,1)(6,1)(6,0)
\psline[linestyle=dashed](-1,1)(-1,0)
\psline[linestyle=dashed](3,1)(3,0)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\item Le tableau de signes de la fonction $f$ est :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=2.8]{$x$/1, Signe de $f(x)$/1}{$-4$,$-2$,$3.5$,$6$}
\tkzTabLine{,+,z,+,z,-,d}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}
 \begin{multicols}{2}
\Exoi{\hfill (3 points)
\begin{enumerate}
 \item Si on rentre le nombre 1, alors $x=1$ dans l'algorithme, $a=1+2=3$ et $b=3^2-4 = 5$. \\
Donc on obtient 5 (réponse a).
 \item Si on veut obtenir $0$ alors on veut $a^2-4=0$ c'est-à-dire $a^2=4$ donc $a=2$ ou $a=-2$.\\
Comme $a=x+2$, on cherche $x$ tel que $x+2=2$ ou $x+2=-2$.\\
Au final, on peut entrer le nombre $x=0$ ou le nombre $x=-4$ (réponses a et c).
 \item Quand on suit l'algorithme on trouve que $f(x)=b=a^2-4 = (x+2)^2-4$. Donc la réponse b) convient.\\
\end{enumerate}
}
\Algo{7cm}{
\Var{
$x$, $a$ et $b$ sont des nombres réels
}
\Deb{
Entrer $x$ \\
Affecter à $a $ la valeur $x+2 $\\
Affecter à $b$ la valeur $a^2 - 4 $ \\
Afficher $b$
}
}
\end{multicols}
De plus, on peut constater en développant l'expression obtenue que 
$$f(x)=(x^2+2 \times 2x+2^2)-4 =x^2+4x +4-4 = x^2-4x$$
\indent La réponse c) convient également. 

\Exoi{\hfill (5 points)\\
Soit $f$ la fonction définie par :$$f(x)=x^2-2x+3$$
\begin{enumerate}
 \item %La fonction $f$ admet-elle des valeurs interdites ? En déduire son ensemble de définition $D_f$.
La fonction $f$ n'admet pas de valeurs interdites, car il n'y a aucune division par 0, ni racine carré de nombre négatif.
On en déduit $D_f=\R$.
\item %Déterminer l'image par $f$ de $\sqrt{2}$.
$f\big(\sqrt{2}\big) = \big(\sqrt{2}\big)^2 -2 \times \sqrt{2}+3 = 2 - 2 \sqrt{2} +3 = 5-2\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
}
%\item %Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x)=3$.
\begin{eqnarray*}
\textbf{3.} \qquad f(x)=3 &\iff& x^2-2x+3 = 3 \\
& \stackrel{-3}{\iff} & x^2 -2x = 0 \\
& \iff & x(x-2) = 0 \\
 & \iff & x=0 \qquad \text{ ou } x=2 \qquad \qquad\text{ Donc } \mathscr S = \big\{0;2\big\}
\end{eqnarray*}
 \begin{enumerate}
\item[\textbf{4. }] %Montrer que pour tout $ x\in\R$ on a $f(x)=(x-1)^2+2$.
Pour tout $x\in\R$ on a $(x-1)^2+2 = \big(x^2-2x+1\big)+2=x^2-2x+3 = f(x)$
\item[\textbf{5. }] %En utilisant cette dernière écriture, déterminer les éventuels antécédents de $-4$ par $f$.
On cherche $x$ tel que $f(x) = -4 \iff (x-1)^2+2=-4 \iff (x-1)^2=-2$.\\
Or un carré n'est jamais négatif, donc c'est impossible. Il n'y a pas d'antécédents à $-4$ par $f$.
\end{enumerate}
}
\Exoi{\hfill (5 points)\\
Soit $f$ la fonction définie par $$f(x)=\dfrac{3}{x+2}$$
\begin{enumerate}
 \item %La fonction $f$ admet-elle des valeurs interdites ? En déduire son ensemble de définition $D_f$.\\
On ne doit pas diviser par 0, donc il y a une valeur interdite quand $x+2 = 0$, c'est-à-dire quand $x=-2$.\\
On en déduit que $D_f = ]-\infty; -2[ \cup ]-2 ; + \infty[$.
\item $f(1)=\dfrac{3}{1+2}=\dfrac{3}{3}=1$ et $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{3}{\frac{1}{3}+2}=\dfrac{3}{\frac{7}{3}}=3\times \dfrac{3}{7}=\dfrac{9}{7}$.
\item On cherche les réels $x$ tels que $f(x)=1\Longleftrightarrow \dfrac{3}{x+2}=1\Longleftrightarrow 3=x+2\Longleftrightarrow x=3-2=1$.\\
Par conséquent $1$ admet un unique antécédent qui est $1$.
 \item Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{*{11}{|>{\centering}p{0.9cm}}|}
%\end{tabular}
%|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
%\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
 $x$ &$-6$ & $-5$& $-4$ & $-3$ & $-2.5$ & $-1.5$ & $-1$ & $\,0\,$& $\,1\,$ & $\,2\,$ \tabularnewline\hline
$f(x)$ &$-0.75$ &$-1$ & $-1.5$& $-3$ & $-6$ & 6 & 3 & $1.5$ & 1 & $0.75$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Construire alors la courbe représentative de la fonction $f$ sur le graphique ci-dessous
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.4cm}
\begin{pspicture*}(-6,-7)(6,7)
\def\xmin{-6} \def\xmax{6} \def\ymin{-7} \def\ymax{7}
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.4cm}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=4](0,0)(-6,-7)(6,7)
%\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.4cm}
\def\F{3 x 2 add div}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-6}{-2.1}{\F}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.9}{6}{\F}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
%\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
%\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
%\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
 \uput[d](1,0){$1$}
 \uput[l](0,1){$1$}
 \uput[r](0,-1){$-1$}
 \uput[r](0,-3){$-3$}
 \uput[r](0,-6){$-6$}
\uput[r](0,6){$6$} 
\uput[r](0,3){$3$}
%\uput[r](0,-6){$-6$}
\uput[u](-6,0){\small{$-6$}}
\psdot[dotstyle=x, dotsize=8pt ](-6,-0.75)
 \uput[u](-5,0){\small{$-5$}}
\psdot[dotstyle=x, dotsize=8pt ](-5,-1)
 \uput[u](-4,0){\small{$-4$}}
\psdot[dotstyle=x, dotsize=8pt ](-4,-1.5)
 \uput[u](-3,0){\small{$-3$}}
\psdot[dotstyle=x, dotsize=8pt ](-3,-3)
 %\uput[d](-2.5,0){\small{$-2.5$}}
\psdot[dotstyle=x, dotsize=8pt ](-2.5,-6)
 \uput[u](-2,0){\small{$-2$}}
\psdot[dotstyle=x, dotsize=8pt ](-1.5,6)
 \uput[u](-1,0){\small{$-1$}}
\psdot[dotstyle=x, dotsize=8pt ](-1,3)
 \uput[u](0,0){\small{$0$}}
\psdot[dotstyle=x, dotsize=8pt ](0,1.5)
 \uput[u](1,0){\small{$1$}}
\psdot[dotstyle=x, dotsize=8pt ](1,1)
 \uput[d](2,0){\small{$2$}}
\psdot[dotstyle=x, dotsize=8pt ](2,0.75)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\textbf{Question Cactus}\\
Dans la ville de Castelnaudary, le père noël a distribué un certains nombres de cadeaux. En multipliant ce nombre de cadeaux par $4$ puis par $5$ on voit apparaître exactement une fois tous les chiffres de $1$ à $9$. \\
Déterminer le nombre de cadeaux distribué par le père noël dans cette ville.}
\end{document}