  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2011-2012}


\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Les vecteurs du plan}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{2nde}$}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 8}
\rhead{Polynôme du second degré}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Corrigé du devoir maison 8 : Polynôme du second degré}
\vspace*{1cm}
\\
\textbf{Dans ce devoir, toute trace de recherche, même non fructueuse, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
\vspace*{1cm}


\Exoi{\\
\begin{footnotesize}
On connait la somme $S$ de deux nombres $x$ et $y$, elle vaut $S=1$ et le produit $P$ des deux mêmes nombres qui vaut lui $-\dfrac{3}{4}$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que $x$ vérifie l'équation suivante : $x^2-x-\dfrac{3}{4}=0$.
}
\\
Il est dit que  :
$$ x+y=1\Longleftrightarrow y=1-x\qquad \text{et} \qquad xy=-\dfrac{3}{4}$$
Ainsi en utilisant la deuxième équation : 
$$ x(1-x)=-\dfrac{3}{4}\Longleftrightarrow x-x^2+\dfrac{3}{4}=0\Longleftrightarrow x^2-x-\dfrac{3}{4}=0$$
\begin{footnotesize}
Dans la suite de l'exercice on note $P(x)=x^2-x-\dfrac{3}{4}$.
\end{footnotesize}\item {\footnotesize Déterminer la forme canonique de la fonction $P$.}\\
Recherchons les antécédents de $-\dfrac{3}{4}$ :\\
$$ P(x)=-\dfrac{3}{4}\Longleftrightarrow x^2-x-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{3}{4}\Longleftrightarrow x^2-x=0\Longleftrightarrow x(x-1)=0\Longleftrightarrow x=0\quad \text{ou} x-1=0\Leftrightarrow x=1$$
Ainsi $0$ admet deux antécédents, $0$ et $1$. \\
L'axe de symétrie de la parabole de $P$ admet pour équation $x=\dfrac{1}{2}$ et :
$$ P(0,5)=0,5^2-0,5-\dfrac{3}{4}=-1$$
On en conclut donc que $P$ admet l'écriture canonique suivante : $$ P(x)=(x-0,5)^2-1$$
\item {\footnotesize Déterminer la forme factorisée de la fonction $P$.}
\\
En utilisant la forme canonique, on trouve la forme factorisée :
$$ P(x)=(x-0,5)^2-1=(x-0,5-1)(x-0,5+1)=(x-1,5)(x+0,5)$$
\item {\footnotesize En déduire les racines de $P$ (i.e en déduire les antécédents de $0$). }\\
$$ P(x)=0\Longleftrightarrow (x-1,5)(x+0,5)=0\Longleftrightarrow x-1,5=0\quad \text{ou} \quad x+0,5=0\Longleftrightarrow x=1,5\quad \text{ou} \quad x=-0,5$$
\item $P$ admet deux racines qui sont solutions du problème d'après la question 1. Ainsi si $x=1,5$ alors $y=1-1,5=-0,5$ et si $x=-0,5$ alors $y=1+0,5=1,5$. 
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\Exoi{\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère, une parabole $\mathscr P$ passe par les points de coordonnées $O(0;0)$, $A(1;8)$ et $B(4;8)$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de l'axe de symétrie de la parabole $\mathscr P$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.58,-0.74)(4.96,2.67)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.58,-0.74)(4.96,2.67)
\psset{xunit=0.15cm,yunit=0.15cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.88,-3.72)(24.79,13.33)
\psplot[linestyle=dashed,dash=8pt 8pt,linecolor=zzqqqq,plotpoints=200]{-2.881590909090914}{24.793409090909087}{-2*x^2+10*x}
\psline[linecolor=qqqqzz](2.5,-3.72)(2.5,13.33)
\psline{->}(10,10)(2.5,5.79)
\rput[tl](10,10.76){\qqqqzz{Axe de symétrie de la parabole $x=2,5$}}
\rput[tl](5.46,3.33){$\zzqqqq{\mathscr P}$}
\rput[bl](-0.67,-15.94){\zzqqqq{$g$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
La parabole $\mathscr P$ passe par les points d'ordonnées $8$ et d'abscisse $0$ et $5$, par conséquent cette parabole admet la droite d'équation $x=2,5$ comme axe de symétrie.
\item {\footnotesize Déterminer l'expression de $f(x)$ où $\mathscr P$ représente la fonction $f$.}\\
On cherche $f$ sachant que $f(x)=ax^2+bx+c$.\\
On sait que $f(0)=c$ et comme $f(0)=0$ ici et bien $c=0$.\\
On cherche maintenant $f$ sachant que $f(x)=ax^2+bx$ sachant que :
$$ f(1)=a+b=8\qquad \text{et} \qquad f(4)=16a+4b=8$$
$$\left\{ \begin{array}{l} a+b=8 \\ 16a+4b=8  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=8-b \\ 4a+b=2  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=8-b \\ 32-4b+b=2\Longrightarrow -3b=-30\Longrightarrow b=10  \end{array} \right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=8-10=-2 \\ b=10  \end{array} \right.$$
L'expression de $f(x)$ où $\mathscr P$ représente la fonction $f$ est donc :
$$ f(x)=-2x^2+10x$$
\item{\footnotesize  En déduire les racines de $P$ (i.e les antécédents de $0$).}\\
$$ f(x)=0\Longleftrightarrow -2x^2+10x=0\Longleftrightarrow x(-2x+10)=0\Longleftrightarrow x=0 \qquad \text{ou}\qquad -2x+10=0\Longleftrightarrow x=0 \qquad \text{ou} \qquad x=5$$
Les racines de $P$ sont donc $0$ et $5$.
\item {\footnotesize Donner le tableau de variation de $f$, puis le tableau de signe de $f$.}
$f(2,5)=-2\times 2,5^2+10\times 2,5=-12,5+25=12,5$, de plus le coefficient devant le monôme en $x^2$ est négatif $(-2)$ donc la parabole admet un maximum et on en déduit son tableau de variation :
\begin{center}
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
%\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{4.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-1.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$2,5$};
\node at (4*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la fonction : f(x)
\node  at (-1*\Lrg,{-1*\HtX+(-1)*\HtY}) {$f(x)$};
\node (f1) at (0*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
\node (f2) at (2*\Lrg,{-1*\HtX+(0)*\HtY}) {$12,5$};
\node (f3) at (4*\Lrg,{-1*\HtX+(-2)*\HtY}) {$ $};
% Flèches
\draw[fleche] (f1) -- (f2);
\draw[fleche] (f2) -- (f3);
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite,\bas);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Par conséquent :
\begin{center}
%:-+-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/TableauxVariations/
%\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.875]
% Styles 
\tikzstyle{cadre}=[thin]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thin]
\tikzstyle{nondefini}=[lightgray]
% Dimensions Modifiables
\def\Lrg{1.5}
\def\HtX{1}
\def\HtY{0.5}
% Dimensions Calculées
\def\lignex{-0.5*\HtX}
\def\lignef{-1.5*\HtX}
\def\separateur{-0.5*\Lrg}
% Largeur du tableau
\def\gauche{-1.5*\Lrg}
\def\droite{6.5*\Lrg}
% Hauteur du tableau
\def\haut{0.5*\HtX}
\def\bas{-2.5*\HtX-2*\HtY}
% Ligne de l'abscisse : x
\node at (-1*\Lrg,0) {$x$};
\node at (0*\Lrg,0) {$-\infty$};
\node at (2*\Lrg,0) {$0$};
\node at (4*\Lrg,0) {$5$};
\node at (6*\Lrg,0) {$+\infty$};
% Ligne de la dérivée : f'(x)
\node at (-1*\Lrg,-1*\HtX) {$f(x)$};
\node at (0*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
\node at (1*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (2*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (3*\Lrg,-1*\HtX) {$-$};
\node at (4*\Lrg,-1*\HtX) {$0$};
\node at (5*\Lrg,-1*\HtX) {$+$};
\node at (6*\Lrg,-1*\HtX) {$ $};
% Ligne de la fonction : f(x)
% Encadrement
\draw[cadre] (\separateur,\haut) -- (\separateur, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\haut) rectangle  (\droite, \lignef);
\draw[cadre] (\gauche,\lignex) -- (\droite,\lignex);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}}
\pagebreak

\Exoi{\\
\begin{footnotesize}
Le but du problème est de résoudre l'inéquation :
$$ x(4-2x)\leq (3x-1)(2-x)$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dresser le tableau de signe de $A(x)=(2-x)(-x+1)$ en fonction des valeurs de $x$.}
$$ A(x)=(2-x)(-x+1)=0$$
$$ \text{soit} 2-x=0\qquad \text{soit} -x+1=0$$
$$ x=2\qquad \text{et} \qquad x=1$$
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2-x}&&&\tx{+}&&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{-x+1}&&\tx{+}&\tx{0}&&\tx{-}&&\cr
\tx{A(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\item {\footnotesize En déduire les solutions de l'inéquation $A(x)\leq 0$.}
$$ \mathscr S=[-1;2]$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que :
$$ x(4-2x)\leq (3x-1)(2-x) \Longleftrightarrow A(x)\leq 0$$
\end{footnotesize}
\begin{eqnarray}
& &  x(4-2x)\leq (3x-1)(2-x)\leq 0\\
&\Longleftrightarrow & x(4-2x)-(3x-1)(2-x)\leq 0 \\
& \Longleftrightarrow & 2x(2-x)-(3x-1)(2-x)\leq 0\\
&\Longleftrightarrow & (2-x)(2x-(3x-1))\leq 0\\
&\Longleftrightarrow & (2-x)(2x-3x+1)\leq 0\\
& \Longleftrightarrow & (2-x)(-x+1)\leq 0\\
& \Longleftrightarrow & A(x)\leq 0
\end{eqnarray}
\item {\footnotesize Conclure.}\\
Puisque l'inéquation $x(4-2x)\leq (3x-1)(2-x) $ a le même ensemble de solution que $A(x)\leq 0$, par conséquent :
$$ \mathscr S=[-1;2]$$
\end{enumerate}}
\end{document}