  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 3 : Généralités sur les fonctions }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2011-2012}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 3}
\rhead{Généralités sur les fonctions}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du Devoir Maison 3}
\Exoi{On donne l'algorithme suivant :
\Algo[Un algorithme]{12cm}{
\Var{ $a$, $b$, $c$, $n$  sont des nombres réels
}
\Deb{
 Saisir  $n$\\
 $a$ prend la valeur $n+4$\\
 $b$ prend la valeur $a\times n$\\
 $c$ prend la valeur $b+4$\\
 Afficher $c$
}
}
\begin{enumerate}
\item %Faire tourner à la main cet algorithme en indiquant le contenu de chaque variable lorsque l'on saisit $n=2$. Recommencer avec $n=-6$.
Si $n=2$ alors $a=2+4=6$ et $b=6\times 2=12$ et donc $c=12+4=16$. On affiche $16$\\
Si $n=-6$ alors $a=-6+4=-2$ et $b=-2\times (-6)=12$ et donc $c=12+4=16$. On affiche $16$
\item On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(n)=n^2+4n+4$$
\begin{enumerate}
\item %Calculer les images de $0$ et de $-6$. Que constate-t-on ? Expliquer.
$f(0)=0^2+4\times 0+4=4$ et $f(-6)=(-6)^2+4\times (-6)+4=36-24+4=16$.\\
Pour $-6$ on retrouve les résultat de la question précédente, est-ce logique ?\\
L'algorithme de cet exercice affiche la variable $c$, exprimons $c$ en fonction de $n$ :
$$ c=b+4=a\times n +4=(n+4)n+4=n^2+4n+4$$
Ainsi on constate que $c=f(n)$, par conséquent il est normal que l'image de $-6$ donne le même résultat que si on applique l'algorithme à $-6$.
\item %Déterminer les antécédents éventuels de $0$ par $f$.
On cherche les réels $n$ tels que $f(n)=0$ i.e tels que $n^2+4n+4=0\Longleftrightarrow (n+2)^2=0\Longleftrightarrow n+2=0\Longleftrightarrow n=-2$.\\
Ainsi $0$ admet un unique antécédent qui est $-2$.
\item %Représenter soigneusement et sur du papier millimétré la représentation graphique $\mathscr C_f$ de la fonction $f$.
\quad
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.78,-1.32)(2.62,8.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.78,-1.32)(2.62,8.3)
\psplot[linecolor=qqqqzz,plotpoints=200]{-5.78}{2.62}{(x+2)^2}
\rput[tl](-2.82,4.06){$\qqqqzz{\mathscr C_f : y=(x+2)^2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{On a représenté la courbe d'une certaine fonction $f$. \\
En faisant apparaître les traits de construction, utiliser le graphique pour : 
\begin{enumerate}
\item %Donner les images de $0$, $2$, $-\dfrac{5}{2}$ et $\sqrt{2}$.
On lit sur le graphique : $$ f(0)=-6\qquad f(2)=0\qquad f\left(-\dfrac{5}{2}\right)\simeq -\dfrac{5}{2}\qquad f(\sqrt{2})\simeq -2,5$$
\item %Donner les éventuels antécédents de $0$, $-7$ et $6$.
On lit sur le graphique que $0$ admet deux antécédents qui sont $-3$ et $2$, que $-7$ n'admet pas d'antécédent et enfin que $6$ admet deux antécédents $-4$ et $3$.
\item %Résoudre l'inéquation $f(x)>0$
$f(x)>0$ lorsque $x\in [-4;-3[$ ou lorsque $x\in ]2;4]$.
\end{enumerate}}


\Exoi{On considère la fonction $h$ définie par :
$$ h(x)=\dfrac{2}{x-1}+3$$
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $h$.
L'expression $h(x)$ comporte un quotient, par conséquent $x-1\neq 0\Longleftrightarrow x\neq 1$. Au final il y a une valeur interdite $1$, et l'ensemble de définition de $h$ est  :
$$ \mathscr D_h=\R\textbackslash \{1\}$$
\item %Déterminer l'image de $2$ par $h$.
$h(2)=\dfrac{2}{2-1}+3=2+3=5$
\item %Déterminer les antécédents éventuels de $1$ par $h$
On cherche les réels $x\neq 1$ tels que $h(x)=1\Longleftrightarrow \dfrac{2}{x-1}+3=1\Longleftrightarrow \dfrac{2}{x-1}=-2\Longleftrightarrow 2=-2(x-1) \Longleftrightarrow 2=-2x+2\Longleftrightarrow -2x=0\Longleftrightarrow x=0$.\\
Ainsi $1$ admet un unique antécédent par $h$ qui est $0$.
\end{enumerate}}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-7.1)(4.1,14.1)
\def\xmin{-4} \def\xmax{4} \def\ymin{-7} \def\ymax{14}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-4.1,-7.1)(4.1,14.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp x add 6 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
\uput[ur](3.5,13){$\mathscr C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}



\end{document}