  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 2 : Les nombres, équations et inéquations }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 3}
\rhead{Géométrie dans l'espace}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 3}

\Exoi{\textit{Intersection plans droites}\hfill(4 points)\\
Deux points $U$ et $V$ appartenant aux côtés $[SA]$ et $[SB]$ d'un tétraèdre $SABC$ tels que la droite $(UV)$ n'est pas parallèle au plan de base $(ABC)$.
\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure
\item L'intersection entre la droite $(UV)$ et le plan $(ABC)$ est un point, puisque la droite $(UV)$ n'est pas parallèle au plan $(ABC)$ par hypothèse.\\
Déterminons ce point. Les droites $(UV)$ et $(AB)$ sont contenues dans le plan $(SAB)$, de plus elles ne sont pas parallèles (sinon $(UV)$ serait parallèle au plan $(ABC)$), par conséquent elles sont sécantes en un point $D$.\\
Comme $D\in (AB)$, $D$ est un point du plan $(ABC)$, et par conséquent $D$ est l'intersection cherchée.
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.44,-0.36)(4.3,7.08)
\psline(0.3,6.38)(-2.28,2.08)
\psline(-2.28,2.08)(0.5,1.02)
\psline(0.3,6.38)(3.58,2.02)
\psline(0.5,1.02)(3.58,2.02)
\psline[linestyle=dotted](-2.28,2.08)(3.58,2.02)
\psline(0.3,6.38)(0.5,1.02)
\psplot{-3.44}{4.3}{(-4.66--1.4*x)/-1.47}
\psplot{-2.28}{4.3}{(--3.37-1.06*x)/2.78}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-2.28,2.08)
\rput[bl](-2.64,2.08){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.58,2.02)
\rput[bl](3.68,1.86){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.5,1.02)
\rput[bl](0.5,0.62){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.3,6.38)
\rput[bl](0.18,6.54){$S$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1.03,4.16)
\rput[bl](-1.26,4.4){$U$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.44,2.76)
\rput[bl](0.52,2.84){$V$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.42,-0.09)
\rput[bl](3.5,0.02){\darkgray{$D$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\Exoi{\textit{Droite parallèle à un plan}\hfill (5 points)\\
Dans un pavé droit $ABCDEFGH$, on place les points $I$, $J$ et $K$ respectivement sur les arêtes $[AB]$, $[CD]$ et $[GH]$ tels que :
$$ BI=CJ=HK$$
\begin{enumerate}
\item On sait que $BI=HK$, de plus comme $ABCDEFGH$ est un pavé $(BI)//(HK)$, par conséquent le quadrilatère $IBKH$ est un parallélogramme. 
\item Les droites $(BK)$ et $(IH)$ sont parallèles puisque le quadrilatère $IBKH$ est un parallélogramme.
\item La droite $(BK)$ est parallèle à une droite du plan $(HIJ)$ (la droite $(IH)$ donc elle est parallèle au plan $(HIJ)$.
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.6,-1.3)(8.8,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.05](1.3,2.7)(2.7,4.3)(6.3,0.9)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](2.7,4.3)(6.3,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](6.3,0.9)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](4.9,-0.7)(1.3,2.7)
\psline[linecolor=zzttqq](1.3,2.7)(4.9,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](4.5,4.3)(6.7,-0.7)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{6.7}{8.8}{(--18.5-2.9*x)/1.3}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq]{0.6}{4.5}{(-10.3--1.6*x)/-0.7}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.9,-0.7)
\rput[bl](5,-0.6){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4.5,4.3)
\rput[bl](4.6,4.4){$K$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.3,0.9)
\rput[bl](6.4,1){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exoi{\textit{Intersection plans plans}\hfill (4 points)\\
Soit $SABCD$ une pyramide dont la base $ABCD$ est un trapèze avec $(AB)//(CD)$. Déterminer l'intersection des plans $(SAC)$ et $(SBD)$, puis des plans $(SAB)$ et $(SCD)$.
\begin{itemize}
\item \underline{\textbf{Intersection des plans $(SAC)$ et $(SBD)$}}\\
L'intersection entre les plans $(SAC)$ et $(SBD)$ est une droite.\\
On cherche deux points de cette droite. \\
Le premier est évident, il s'agit du point $S$, commun donc aux deux plans $(SAC)$ et $(SBD)$, trouvons un autre point commun à ces deux plans.
\\
De plus comme $ABCD$ est un trapèze, les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont sécantes en un point $F$. Ce point $F$ est à la fois sur $(AC)$ et sur $(BD)$ donc aussi sur $(SAC)$ et sur $(SBD)$. Ainsi on a :
$$ (SAC)\cap (SBD)=(FS)=\Delta$$
\item  \underline{\textbf{Intersection des plans $(SAB)$ et $(SCD)$}}\\
L'intersection entre les plans $(SAB)$ et $(SCD)$ est une droite.\\
Cette droite passe par le point $S$, commun donc aux deux plans $(SAB)$ et $(SCD)$.
\\
De plus la droite $\Delta_1$ parallèle à $(AB)$ passant par $S$ est une droite du plan $(SAB)$. Comme $(AB)//(CD)$ la droite $\Delta_1$ est aussi une droite du plan $(SCD)$, on a donc :
$$ (SAB)\cap (SBD)=\Delta_1$$
\end{itemize}
}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.02,0.19)(4.9,7.87)
\psline[linestyle=dotted](-1.58,1.44)(2.8,1.42)
\psline(0.84,0.6)(-1.58,1.44)
\psline[linestyle=dotted](2.8,1.42)(3.76,0.59)
\psline(1.2,6.88)(-1.58,1.44)
\psline[linestyle=dotted](1.2,6.88)(2.8,1.42)
\psline(3.76,0.59)(1.2,6.88)
\psline(1.2,6.88)(0.84,0.6)
\psline(0.84,0.6)(3.76,0.59)
\psplot[linecolor=qqqqzz]{-3.02}{4.9}{(--30.16-0.02*x)/4.38}
\psline[linestyle=dotted](-1.58,1.44)(3.76,0.59)
\psline[linestyle=dotted](2.8,1.42)(0.84,0.6)
\psplot[linecolor=zzqqqq]{-3.02}{4.9}{(--10.06-5.95*x)/0.42}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.58,1.44)
\rput[bl](-1.83,1.46){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.8,1.42)
\rput[bl](2.87,1.46){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.84,0.6)
\rput[bl](0.91,0.64){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.76,0.59)
\rput[bl](3.83,0.62){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.2,6.88)
\rput[bl](1.33,7){$S$}
\rput[bl](-2.68,6.49){\qqqqzz{$\Delta_1$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.62,0.93)
\rput[bl](1.69,0.97){$F$}
\rput[bl](1.34,7.56){\zzqqqq{$\Delta$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exoi{\textit{Calcul dans l'espace}\hfill (7 points)\\
Soit $ABCD$ un t\'etra\`edre r\'egulier (les faces sont des triangles \'equilat\'eraux). 
Soient $I$, $J$, et $K$ les milieux respectifs de $[AD]$, $[BD]$, $[CD]$.
\begin{enumerate}
\item D'après le théorème des milieux, la droite passant par $I$ et $J$ (milieux de deux côtés du triangle $ADB$) est parallèle au troisième côté, ici $(AB)$, de plus $$ IJ=\dfrac{AB}{2}$$
\item On vient de le faire dans la question précédente, le théorème des milieux donne en plus du parallélisme l'égalité de longueur suivante :
$$ IJ=\dfrac{AB}{2}$$
\item En raisonnant de la même manière que dans les deux premières questions on a aussi :
$$ JK=\dfrac{1}{2}BC\qquad \text{et}\qquad IK=\dfrac{1}{2}AC$$
On a $$\mathscr P'=IJ+JK+IK=\dfrac{AB}{2}+\dfrac{BC}{2}+\dfrac{AC}{2}=\dfrac{1}{2}(AB+BC+AC)=\dfrac{1}{2}\mathscr P$$ 
\item Le triangle $IJK$ est une réduction du triangle $ABC$ coefficient $ \dfrac{1}{2}$, par conséquent  on a  :
$$\mathscr A'=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\mathscr A=\dfrac{1}{4}\mathscr A$$ 
\item Le triangle $IJK$ est une réduction du triangle $ABC$ coefficient $ \dfrac{1}{2}$, par conséquent  on a  :
$$\mathscr V'=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \mathscr V=\dfrac{1}{8}\mathscr V$$
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.6,-0.78)(3.04,4.72)
\psline(0.04,4.08)(-1.9,0.4)
\psline(-1.9,0.4)(1.14,-0.3)
\psline(1.14,-0.3)(2.46,0.4)
\psline(2.46,0.4)(0.04,4.08)
\psline(0.04,4.08)(1.14,-0.3)
\psline[linestyle=dotted](2.46,0.4)(-1.9,0.4)
\psline(-0.93,2.24)(0.59,1.89)
\psline(0.59,1.89)(1.25,2.24)
\psline[linestyle=dotted](1.25,2.24)(-0.93,2.24)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-1.9,0.4)
\rput[bl](-2.36,0.44){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.46,0.4)
\rput[bl](2.62,0.28){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.14,-0.3)
\rput[bl](1.06,-0.64){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.04,4.08)
\rput[bl](-0.08,4.34){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-0.93,2.24)
\rput[bl](-1.2,2.2){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.25,2.24)
\rput[bl](1.34,2.32){$J$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.59,1.89)
\rput[bl](0.68,1.96){$K$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}