  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Les bases du calcul}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir Maison 1}
\vspace*{2mm}
\\
On appelle \og fraction egyptienne \fg toute fraction de la forme $\dfrac{1}{n}$ où $n$ désigne un nombre entier naturel non nul (i.e $n\in\N^*$). Dans l'egypte ancienne, on écrivait les nombres rationnels positifs inférieurs à $1$ que sous la forme de somme de fractions  egyptiennes toutes différentes.
\Expl{La fraction $\dfrac{25}{28}$ peut par exemple s'écrire $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}$.}

\Cadre[Objectif]{Le but du problème est de présenter quelques méthodes de décomposition de nombres rationnels en 
somme de \og fractions égyptiennes \fg toutes différentes.} 

\textbf{Partie A  : Quelques exemples}
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que :
$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{21}{28}+\dfrac{4}{28}=\dfrac{25}{28} $$
\item %Calculer la somme des six \og fractions égyptiennes \fg :
$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}=\dfrac{32}{64}+\dfrac{16}{64}+\dfrac{8}{64}+\dfrac{4}{64}+\dfrac{2}{64}+\dfrac{1}{64}=\dfrac{32+16+8+4+2+1}{64}=\dfrac{63}{64} $$
\item %Décomposer $\dfrac{5}{8}$ en somme de \og fractions egyptiennes \fg toutes différentes.
$$ \dfrac{5}{8}=\dfrac{4}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}$$
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Présentation d'une méthode de décomposition dans un cas particulier } \\
On s’intéresse au cas où la fraction à décomposer a un numérateur égal à 2 et un dénominateur égal 
 produit de deux nombres entiers naturels \textbf{impairs} $p$ et $q$.  
 \begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  %Démontrer la formule :
On a :
$$ \dfrac{1}{p\left(\frac{p+q}{2}\right)}+\dfrac{1}{q\left(\frac{p+q}{2}\right)}=\dfrac{2}{p(p+q)}+\dfrac{2}{q(p+q)}=\dfrac{2q}{pq(p+q)}+\dfrac{2p}{pq(p+q)}=\dfrac{2p+2q}{pq(p+q)}=\dfrac{2(p+q)}{pq(p+q)}=\dfrac{2}{pq}$$
\item %Expliquer pourquoi $\frac{p+q}{2}$ est un nombre entier naturel.
$p$ et $q$ désignent deux nombres impairs, par conséquent la somme $p+q$ est un nombre pair, et donc $\dfrac{p+q}{2}$ est un entier naturel.
\item %Justifier que les dénominateurs des fractions précédentes (de la question $1$) sont des nombres entiers naturels. 
D'après la question précédente, $\dfrac{p+q}{2}$ est un entier naturel, par conséquent le produit $p\dfrac{p+q}{2}$ est aussi un nombre entier naturel, de même que le produit $q\dfrac{p+q}{2}$.\\
Ainsi les dénominateurs des fractions de la formule de la question $1$ sont bien des nombres entiers naturels.
\end{enumerate}
\item %\textbf{En utilisant la formule établie à la question $1$}, trouver deux décompositions différentes de $\dfrac{2}{15}$
%en somme de \og fractions égyptiennes \fg différentes. \footnote{On remarquera que $15=1\times 15$ }
On remarque que $15=3\times 5$, $3$ et $5$ sont bien deux nombres entiers naturels impairs, par conséquent d'après la question $1.$ on a :
$$ \dfrac{2}{15}=\dfrac{1}{3(3+5)/2}+\dfrac{1}{5(3+5)/2}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}$$
On obtient alors une première décomposition en somme de fractions egyptiennes. En décomposant $15=1\times 15$ on obtient cette fois :
$$ \dfrac{2}{15}=\dfrac{1}{1(1+15)/2}+\dfrac{1}{15(1+15)/2}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{120}$$
\item %Soit $n$ un nombre entier naturel non nul. En écrivant $2n+1=1\times (2n+1)$, donner une décomposition de la fraction $\dfrac{2}{2n+1}$ en somme de deux fractions \og egyptiennes \fg différentes.
Toujours en utilisant la formule de la question $1.$ on obtient :
$$ \dfrac{2}{2n+1}=\dfrac{1}{1(1+2n+1)/2}+\dfrac{1}{(2n+1)(1+2n+1)/2}=\dfrac{1}{(2n+2)/2}+\dfrac{1}{(2n+1)(n+1)}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{(2n+1)(n+1)}$$
\item \textbf{Application} : %
%Appliquer le résultat de la question précédente pour $\dfrac{2}{21}$ et $\dfrac{2}{101}$.
On remarque que $21=2\times 10+1$, ainsi on applique le résultat précédent pour $n=10$ et on obtient :
$$ \dfrac{2}{21}=\dfrac{1}{10+1}+\dfrac{1}{21(10+1)}=\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{231}$$
On remarque que $101=2\times 50+1$, on applique le résultat précédent pour $n=50$ et on obtient :
$$ \dfrac{2}{101}=\dfrac{1}{50+1}+\dfrac{1}{101(50+1)}=\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{5151}$$
\end{enumerate}
\\
\textbf{Seul les élèves motivés, curieux et à l'aise avec le calcul tenteront de répondre à cette dernière question}
\\
\textbf{Partie C : \og Algorithme glouton \fg de Fibonacci}\\
En $1201$, Léonard de Pise $(1175-1250)$, dit \og Fibonacci \fg, prouva que tout nombre rationnel compris 
entre 0 et 1 peut s'écrire sous la forme d'une somme de \og fractions égyptiennes \fg toutes différentes 
et proposa la méthode suivante pour obtenir une telle décomposition : 
 \\
\og Soustraire à la fraction donnée la plus grande fraction égyptienne possible qui lui est inférieure, 
répéter l'opération avec la nouvelle fraction, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on obtienne une fraction égyptienne. \fg
\\
%Appliquer cet algorithme à $\dfrac{13}{81}$ et donner une décomposition de la fraction $\dfrac{13}{81}$ en somme de \og trois fractions egyptiennes \fg toutes différentes. 
On remarque que :
$$ \dfrac{1}{7}<\dfrac{13}{81}<\dfrac{1}{6}$$
Ce qui montre que la plus grande fraction égyptienne qui est inférieure à $\dfrac{13}{81}$ est $\dfrac{1}{7}$, on applique alors l'algorithme :
$$ \dfrac{13}{81}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{91}{567}-\dfrac{81}{567}=\dfrac{10}{567}$$
On remarque que :
$$ \dfrac{1}{57}<\dfrac{10}{567}<\dfrac{1}{56}$$
On réitère l'algorithme glouton :
$$ \dfrac{10}{567}-\dfrac{1}{57}=\dfrac{1}{10773}$$
Nous obtenons une fraction egyptienne, nous pouvons donc stopper l'algorithme.\\
Au final on a vu que :
$$ \dfrac{13}{81}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{10}{567}\Longleftrightarrow \dfrac{13}{81}=\dfrac{10}{567}+\dfrac{1}{7}$$
Or, $\dfrac{10}{567}=\dfrac{1}{10773}+\dfrac{1}{57}$, 
On peut alors conclure, et donner une décomposition en fraction egyptienne de $\dfrac{13}{81}$ qui est :
$$ \dfrac{13}{81}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{57}+\dfrac{1}{10773}$$
\end{document}