  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2011-2012}


\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Les vecteurs du plan}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{2nde}$}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 5}
\rhead{Les vecteurs}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Surveillé 5}

\Exoi{\textbf{Construction de point}\hfill (6 points)\\
$ABC$ est un triangle quelconque.
\\
Placer les points $E$, $F$, $G$, $H$, $I$ et $J$ tels que :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$.
\item $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$.
\item $\overrightarrow{AF}=-2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
\item $\overrightarrow{IA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
\item $\overrightarrow{AH}=-3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.
\item $\overrightarrow{JB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}




\Exoi{\textbf{Vecteurs et parallélogrammes}\hfill (4 points)\\
$ABCD$, $ABDE$ et $ACDF$ sont des parallélogrammes. 
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.34,-0.54)(2.06,2.86)
\psline(-1.64,1.96)(1.56,1.74)
\psline(1.56,1.74)(0.38,0.16)
\psline(-1.64,1.96)(-2.82,0.38)
\psline(-2.82,0.38)(0.38,0.16)
\psline(1.56,1.74)(-2.82,0.38)
\psline(-6.02,0.6)(-2.82,0.38)
\psline(-1.64,1.96)(-6.02,0.6)
\psline(-1.64,1.96)(0.38,0.16)
\psline(-4.84,2.18)(-1.64,1.96)
\psline(-4.84,2.18)(-2.82,0.38)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1.64,1.96)
\rput[bl](-1.56,2.04){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.56,1.74)
\rput[bl](1.64,1.82){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.38,0.16)
\rput[bl](0.48,-0.14){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-2.82,0.38)
\rput[bl](-2.92,0.06){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-6.02,0.6)
\rput[bl](-6.14,0.68){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-4.84,2.18)
\rput[bl](-4.76,2.26){$F$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner en justifiant trois vecteurs égaux à $\overrightarrow{AB}$.
\item En déduire que :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $A$ est le milieu de $[BF]$.
\item $D$ est le milieu de $[EC]$.
\item $ADEF$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}}

\Exoi{\textbf{Relation de Chasles et parallélisme.}\hfill (5 points)\\
 Soit $ABC$ un triangle quelconque. On considère les points $M$ et $N$ tels que : 
 $$ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BC}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
 \textbf{But : démontrer que les droites (CM) et (BN) sont parallèles}
 \begin{enumerate}
\item Réaliser une figure.
\item \textit{Expression du premier vecteur $\overrightarrow{CM}$ en fonction des points de la figure de base (A, B et C).}
\\Démontrer que : $ \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{BC}$
\item \textit{Expression du deuxième vecteur $\overrightarrow{BN}$ en fonction des points de la figure de base (A, B et C) } 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
\item En décomposant $\overrightarrow{BA}$ par $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$, montrer que :
$$ \overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}$$
\end{enumerate}
\item En déduire que $\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{BN}$ puis conclure.
\end{enumerate}
}
\pagebreak

\Exoi{\textbf{Relation de Chasles-Alignement}\hfill (5 points+bonus)\\
 Soit $ABC$ un triangle quelconque. On considère les points $M$, $N$ et $P$ tels que : 
 $$ 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\vec{0}\qquad \text{;}\qquad 3\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NC}=\vec{0}\qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\vec{0}$$
\textbf{But : Démontrer que $M$, $N$ et $P$ sont alignés.}\\
\Rq{On pourra utiliser le résultat d'une question même si on n'y pas répondu.}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que $ \overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}$.
\item Démontrer que $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{CA}$.
\item Démontrer que $\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Préciser la position du point $P$.
\item Réaliser une figure.
\end{enumerate}
%\item Réaliser une figure.
\item \textit{ Expression du premier vecteur $\overrightarrow{NM}$ en fonction des points de la figure de base (A, B et C) }.\\ 
Démontrer que $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$.\\
En déduire que :
$$ \overrightarrow{NM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$$
\item  \textit{ Expression du deuxième vecteur $\overrightarrow{PM}$ en fonction des points de la figure de base (A, B et C) }
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$.
\item En déduire que $\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
\item Démontrer que $\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{10}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.\\
En déduire que :
$$ \overrightarrow{MP}=\dfrac{1}{10}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$
%\item En utilisant $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$, démontrer que $ \overrightarrow{JI}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
\end{enumerate}
\item Montrer que $4\overrightarrow{MP}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$, puis conclure.
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill\textbf{Question Cactus}\\
$I$, $J$, $K$ et $L$ sont les milieux respectifs des côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$ d'un quadrilatère $ABCD$.\\
Voici la figure, mais le quadrilatère $ABCD$ a été effacé.\\
Peut-on le retrouver ?}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.96,-0.52)(3.08,2.62)
\psline(-1.64,1.96)(2.58,1.9)
\psline(2.58,1.9)(0.38,0.16)
\psline(0.38,0.16)(-3.84,0.22)
\psline(-3.84,0.22)(-1.64,1.96)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1.64,1.96)
\rput[bl](-1.56,2.04){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.58,1.9)
\rput[bl](2.66,1.98){$J$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.38,0.16)
\rput[bl](0.48,-0.14){$K$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-3.84,0.22)
\rput[bl](-3.94,-0.1){$L$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}