  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2011-2012}


\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Les vecteurs du plan}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{2nde}$}	
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Coordonnées et vecteurs}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir maison 7 : La droite d'Euler}
\vspace*{1cm}
\\
\textbf{Dans ce devoir, toute trace de recherche, même non fructueuse, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
\Rq{Dans ce devoir, on montre dans un cas particulier un résultat toujours vraie, à savoir que l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit d'un triangle sont trois points alignés.}
\vspace*{1cm}

On se donne un repère orthonormal dans lequel on considère les points :
$$ A(-1;-1)\qquad B(0;4)\qquad C(5;-1)\qquad O(2;1)$$

On réalisera une figure que l'on complètera tout au long de l'exercice.

\begin{enumerate}
\item \textbf{Où l'on détermine la nature du triangle $ABC$}
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AC}$.
\item Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$.
\item Conclure quant à la nature du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Où l'on montre que $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$}
\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $OA$, $OB$ et $OC$. \\
En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle de centre $O$ dont on donnera le rayon.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\item \textbf{Où l'on détermine les coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$.}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du milieu $B'$ du segment $[AC]$.
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BB'}$, puis celles du vecteur $\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BB'}$.
\item On rappelle que le centre de gravité $G$ est l'unique point qui vérifie $\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BB'}$.
\\
En déduire que $G$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Où l'on détermine les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$}
\\
On utilisera le résultat suivant, qui n'est pas au programme de la classe de seconde :
\Thc{Dans un repère orthonormal on donne $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$. Dans ce cas on a :
$$ \vec{u}\perp \vec v\Longleftrightarrow xx'+yy'=0$$}
\begin{enumerate}
\item On note $H(0;0)$.\\
Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BH}$, $\overrightarrow{CH}$ et $\overrightarrow{AH}$.
\item En appliquant le théorème ci-dessus, montrer que $\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}$, que $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ et que $\overrightarrow{CH}\perp \overrightarrow{AB}$.
\item En déduire que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Où l'on montre que l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont trois points alignés, ils forment une droite que l'on appelle la droite d'Euler.}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{OG}$ et $\overrightarrow{OH}$.
\item Déterminer un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{OG}=k\overrightarrow{OH}$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}