  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 3 : Généralités sur les fonctions }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\newcommand{\Annee}{2011-2012}	
\newcommand{\Cl}{$2^{\text{nde}}$}	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 4}
\rhead{Probabilités}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 4}

\begin{multicols}{2}
Avec mes amis, nous jouons souvent au yam's menteur (5 dés). Il est établi entre nous que l'ordre décroissant de ce que l'on obtient avec les dés est :
\begin{itemize}
 \item Yams : 5 dés identiques
 \item Carrés : 4 dés identiques
  \item Suite : 5 numéros qui se suivent
 \item Full : 3 dés identiques + 2 autres identiques
 \item Brelan : 3 dés identiques
 \item Double-paire : 2 fois 2 dés identiques
 \item Paire : 2 dés identiques
 \item Rien : Aucune des figures précédentes.
\end{itemize}
La puissance d'une figure devrait évidemment dépendre de sa probabilité d'apparition. 
\\
\includegraphics[scale=0.5]{yams.eps}
\end{multicols}

\textbf{Partie A : Un peu de dénombrement}\\
Un joueur lance $5$ dés, il regarde la figure obtenue. Par exemple sur la figure ci-dessus il a obtenu une paire de $2$, un $3$, un $5$ et un $6$.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Le Yams}
\begin{enumerate}
\item Imaginer un arbre (on en donnera une esquisse) représentant la situation du jeu, afin de déterminer le nombre d'issues total. 
\\Expliquer pourquoi il y a $7776$ possibilités au total.
\item Déterminer le nombre total de Yams.
\item On note $Y$ l'événement \og le joueur a obtenu un Yams \fg. \\
Démontrer que $$ P(Y)=\dfrac{1}{1296}$$
\end{enumerate}
\item \textbf{Le carré}
\begin{enumerate}
\item Un joueur a obtenu un carré de $4$ avec un $1$. Expliquer pourquoi il y a $5$ manières différentes d'obtenir cette combinaison.
\item Déterminer le nombre total de carré $4$. (\underline{Attention} : Un Yams n'est pas considéré comme un carré).
\item En déduire le nombre total de carré.
\item On note $C$ l'événement \og le joueur a obtenu un carré \fg. \\
Démontrer que $$ P(C)=\dfrac{25}{1296}$$
\end{enumerate}
\item \textbf{Le Full}
\begin{enumerate}
\item Un joueur a obtenu un full de $6$ par les $5$ i.e trois $6$ et deux $5$. \\La notation suivante : $66565$ signifie qu'avec les deux premiers dés il a obtenu $6$, avec le troisième il a obtenu $5$, avec le quatrième il a obtenu un $6$ et enfin avec le dernier il a obtenu un $5$. \\
En utilisant cette notation démontrer qu'il y a  $10$ manières différentes d'obtenir un full de $6$ par les $5$.
\item En complétant le tableau suivant, expliquer pourquoi il y a $30$ full différents :\\
(\underline{Attention} : Un Yams ou un carré n'est pas considéré comme un full).
\\
\Rq{La notation $3\times 6$ et $2\times 5$ signifie qu'il y a trois $6$ et deux $5$ dans la combinaison du joueur.}
\begin{center}
  \begin{tabular}{| >{\columncolor[gray]{0.85}} >{\centering}m{4cm} |>{\centering}m{1.8cm} |>{\centering}m{1.8cm} |>{\centering}m{1.8cm} |>{\centering}m{1.8cm} |>{\centering}m{1.8cm} |>{\centering}m{1.8cm} |}
  \hline
      \rowcolor[gray]{0.85} \backslashbox{paire de}{brelan de} & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \tabularnewline \hline
      $1$ &  ? &  &  & & & \tabularnewline \hline
      $2$ &  & &  & & &\tabularnewline \hline
      $3$ &  &  & & & &\tabularnewline \hline
      $4$ & & &  & & &\tabularnewline \hline
      $5$ &  & &  & & & $3\times 6$ et $2\times 5$\tabularnewline \hline
      $6$ &  &  &  & & &\tabularnewline \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  \item Déterminer le nombre total de full.
  \item On note $F$ l'événement \og le joueur a obtenu un full \fg.\\
  Démontrer que $$ P(F)=\dfrac{50}{1296}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 Il devient complexe de dénombrer chacune des différentes combinaisons, à titre informatif, on donne le tableau suivant qui résume le nombre total de combinaison et donc les probabilités de chacune des figures :
 \begin{center}
  \begin{tabular}{| >{\columncolor[gray]{0.85}} >{\centering}m{2.5cm} |>{\centering}m{1.4cm} |>{\centering}m{1.4cm} |>{\centering}m{1.4cm} |>{\centering}m{1.4cm} |>{\centering}m{1.4cm} |>{\centering}m{1.4cm} |>{\centering}m{1.4cm} |>{\centering}m{1.4cm} |>{\centering}m{1.4cm} |}
  \hline
      \rowcolor[gray]{0.85}Combinaison & Rien & Paire & Double Paire & Brelan & Full & Suite & Carré & Yams & Total  \tabularnewline \hline
      Nombres &  480 &  3600 & 1800 & 1200 &300 &240 & 150 & 6 & 7776 \tabularnewline \hline
      Probabilités &  $\frac{80}{1296}$ &  $\frac{600}{1296}$ &$   \frac{300}{1296}$&$  \frac{200}{1296}$& $\frac{50}{1296}$ &$\frac{40}{1296}$ & $\frac{25}{1296}$ & $\frac{1}{1296}$ & 1\tabularnewline \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  
 \textbf{Partie B : Une situation de jeu}\\
 Une partie de Yams menteur entre deux joueurs $L.$ et $D.$ touche à sa fin. Pour ne pas heurter certaines âmes sensibles nous ne révélerons pas les enjeux de cette partie mais ceci sont si importants que chacun des deux joueurs souhaite prendre les meilleures décisions afin de remporter la partie. \\
 Nous allons essayer de les aider dans leur choix. \\
 \textbf{La situation} : $L.$ lance les $5$ dés et annonce un brelan de $5$. $D.$ accepte, observe les dés et doit maintenant obtenir une meilleure combinaison. Pour cela il écarte les trois $5$ ($L.$ n'avait pas menti) et relance les deux dés restants.
 %\begin{enumerate}
Avant d'effectuer son annonce $D.$ voudrait connaître la probabilité, dans son cas, d'obtenir un carré de $5$.
\begin{enumerate}
\item Effectuer un arbre de probabilité modélisant cette expérience aléatoire (on rappelle que $D.$ n'a lancé que deux dés).
\item Déterminer la probabilité que $D.$ obtienne au moins un carré de $5$. 
\item $D.$ décide d'annoncer un carré de $5$, sans tenir compte de ses dés. Commenter son choix. Que feriez-vous à la place de $L.$ ? 
\end{enumerate}
%\end{enumerate}
\textbf{La fin} : $L.$ refusa l'annonce de $D.$, malheureusement pour $L.$ il y avait effectivement un carré de $5$.
\end{document}