  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2009-2010}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macro_dwicky_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Les bases du calcul}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Devoir Maison 1}
\vspace*{2mm}
\\
On appelle \og fraction egyptienne \fg toute fraction de la forme $\dfrac{1}{n}$ où $n$ désigne un nombre entier naturel non nul (i.e $n\in\N^*$). Dans l'egypte ancienne, on écrivait les nombres rationnels positifs inférieurs à $1$ que sous la forme de somme de fractions  egyptiennes toutes différentes.
\Expl{La fraction $\dfrac{25}{28}$ peut par exemple s'écrire $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}$.}

\Cadre[Objectif]{Le but du problème est de présenter quelques méthodes de décomposition de nombres rationnels en 
somme de \og fractions égyptiennes \fg toutes différentes.} 

\textbf{Partie A  : Quelques exemples}
\begin{enumerate}
\item Vérifier que :
$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{25}{28} $$
\item Calculer la somme des six \og fractions égyptiennes \fg :
$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64} $$
\item Décomposer $\dfrac{5}{8}$ en somme de \og fractions egyptiennes \fg toutes différentes.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Présentation d'une méthode de décomposition dans un cas particulier } \\
On s’intéresse au cas où la fraction à décomposer a un numérateur égal à 2 et un dénominateur égal 
 produit de deux nombres entiers naturels \textbf{impairs} $p$ et $q$.  
 \begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer la formule :
$$ \dfrac{2}{pq}=\dfrac{1}{p\left(\frac{p+q}{2}\right)}+\dfrac{1}{q\left(\frac{p+q}{2}\right)}$$
\item Expliquer pourquoi $\frac{p+q}{2}$ est un nombre entier naturel.
\item Justifier que les dénominateurs des fractions précédentes (de la question $1$) sont des nombres entiers naturels. 
\end{enumerate}
\item \textbf{En utilisant la formule établie à la question $1$}, trouver deux décompositions différentes de $\dfrac{2}{15}$
en somme de \og fractions égyptiennes \fg différentes. \footnote{On remarquera que $15=1\times 15$ }
\item Soit $n$ un nombre entier naturel non nul. En écrivant $2n+1=1\times (2n+1)$, donner une décomposition de la fraction $\dfrac{2}{2n+1}$ en somme de deux fractions \og egyptiennes \fg différentes.
\item \textbf{Application} : Appliquer le résultat de la question précédente pour $\dfrac{2}{21}$ et $\dfrac{2}{101}$.
\end{enumerate}
\\
\textbf{Seul les élèves motivés, curieux et à l'aise avec le calcul tenteront de répondre à cette dernière question}
\\
\textbf{Partie C : \og Algorithme glouton \fg de Fibonacci}\\
En $1201$, Léonard de Pise $(1175-1250)$, dit \og Fibonacci \fg, prouva que tout nombre rationnel compris 
entre 0 et 1 peut s'écrire sous la forme d'une somme de \og fractions égyptiennes \fg toutes différentes 
et proposa la méthode suivante pour obtenir une telle décomposition : 
 \\
\og Soustraire à la fraction donnée la plus grande fraction égyptienne possible qui lui est inférieure, 
répéter l'opération avec la nouvelle fraction, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on obtienne une fraction egyptienne. \fg
\\
Appliquer cet algorithme à $\dfrac{13}{81}$ et donner une décomposition de la fraction $\dfrac{13}{81}$ en somme de \og trois fractions egyptiennes \fg toutes différentes. 

\end{document}