\documentclass[4apaper,12pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Cours}
\newcommand{\ch}{Chapitre 10}
\newcommand{\Ch}{Echantillonnage et estimation}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{10}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}




\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours

\section{Echantillonnage}
\subsection{Introduction}
\begin{act}
 
Un candidat A est élu à une élection avec $52\%$ des voix.\\
On effectue un sondage sur un échantillon de cent personnes 
choisies au hasard à la sortie des urnes. 
\begin{itemize}
 \item La fréquence de gens qui ont voté pour le candidat A dans 
l’échantillon de 100 personnes peut-elle être exactement $52\%$ ?\\
\item Peut-elle être différente de $52\%$ ? \\
\end{itemize}
Pour chaque personne interrogée, on s’intéresse à son vote : 
\begin{itemize}
 \item Soit pour 
\item Soit pour 
\end{itemize}
On considère que chaque personne interrogée a voté indépendamment 
des autres.\\
La variable aléatoire $X$ qui à chaque échantillon de cent 
personnes associe le nombre de succès suit donc la
loi %binomiale $B(100~;~0,52)$
\\

Comme $n$ est assez grand et $p$ n'est pas trop proche de 0 ou ni de 1,
on peut considérer que les conditions sont réunies pour 
approximer cette loi binomiale par une 
loi %normale de paramètres $\mu=np=52$  et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}\simeq 5$.
\\

On sait alors que  \qquad
$P\left(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu+ 2\sigma\right) \simeq ...$

La fréquence de gens qui ont voté pour A est donnée par 
$\dfrac{X}n$. \\On a donc \qquad
$P\left(\qquad\qquad\qquad \leq \dfrac{X}n \leq \qquad\qquad\qquad \right) \simeq ... $

\vfill
Concrètement, cela signifie que ...\\\\\\
\newpage


On a effectué une simulation sur tableur pour 200 échantillons 
de 100 personnes : 
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.5]{IntroEch}
\end{center}


%Simulation du vote pour chaque personne : \fbox{=SI(ALEA()<0.52;1;0)}\hfill 
%Fréquence par échantillon : \fbox{=Moyenne()}\\

On observe sur tableur qu'environ $95\%$ 
des fréquences d’échantillons de taille 100 sont bien dans l'intervalle $[0,42 ~;~ 0,62]$
\end{act}

\subsection{Intervalle de fluctuation asymptotique à environ $95\%$}
\begin{defi}[Proposition]
Quand on prélève un échantillon de taille $n$ dans une 
population qui contient une proportion $p$ d'un caractère 
étudié, alors la fréquence $f$ de ce caractère dans 
l’échantillon appartient à l’intervalle 
$$I_f=\left[p-1.96\sqrt{\dfrac{ p(1-p)}n} \leq \dfrac{X}n \leq p+1.96\sqrt{\dfrac{ p(1-p)}n} \right] $$
avec une probabilité d'environ $95\%$.\\

Cet intervalle est appelé \textbf{Intervalle de fluctuation asymptotique à $95\%$}. Il est 
à connaître par coeur.
\end{defi}

\Rq{Pour avoir le droit d'affirmer cela, il suffit de pouvoir 
approximer la loi binomiale par la loi normale, ie que 
$n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$
}

\Expl{
Lors de l’élection présidentielle de 2002, $16,2\%$ 
des bulletins exprimés étaient en faveur de Lionel Jospin.\\
A la sortie des urnes, un sondeur a interrogé un millier de 
personnes. Soit $f$ la fréquence de personnes qui ont voté
L. Jospin dans cet échantillon. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique 
 de f à $95\%$. Interpréter.
\item  Qu’arrive-t-il à l’intervalle si l’échantillon 
devient de taille $n= 2 000$ ? et $n=10 000$ ?
\end{enumerate}
}

\newpage


\Expl{
Dans une serre où sont élevées des drosophiles, 
le pourcentage de mouches du type <<yeux rouge>> est censé 
être de $80\%$ si aucun facteur extérieur ne vient 
provoquer des mutations.\\
On prélève un échantillon de 1000 mouches et on en compte 
760 du type yeux rouges. \\

Peut-on détecter la présence d’un facteur extérieur ? \\
}

\Cadre[Méthode générale à suivre]{
\begin{enumerate}
 \item On repère dans l’énoncé l’hypothèse faite sur une 
proportion $p$ dans la population.
\item On détermine l’intervalle de fluctuation asymptotique à 
$95\%$ des fréquences sur les échantillons de taille $n$.
\item On prend une décision :
\begin{itemize}
 \item Si la fréquence $f$ observée dans l’échantillon appartient 
à l’intervalle de fluctuation, on accepte l’hypothèse selon
laquelle la proportion est bien $p$ dans la population, puisque
l'ensemble est cohérent.
\item Si la fréquence $f$ observée dans l’échantillon 
n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation, 
on rejette l’hypothèse selon laquelle la proportion 
est bien $p$ dans la population.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}

\newpage

\setcounter{section}{2}
\setcounter{subsection}{1}
\subsection{Intervalle de confiance d'une proportion}

\begin{defi}[Proposition]
Dans un échantillon de taille $n$, on observe une fréquence $f$
d'apparition d'un caractère.\\
On peut alors estimer que la proportion $p$ d'apparition 
de ce caractère dans la population totale appartient à 
l'\textbf{intervalle de confiance} 
$$I_c=\left[f-1.96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} ~ ;~ f+1.96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}\right]$$
avec un niveau de confiance de $95\%$ (ou encore au risque de $5\%$)
\end{defi}


\Rqs{
\item On se place encore une fois dans le cas où : $n\geq 30$ , $nf \geq 5$ et $n(1-f)\geq 5$. 
\item Cet intervalle a pour centre la fréquence $f$ de l'échantillon considéré et change en fonction de l'échantillon
considéré. Une même proportion $p$ a donc une infinité d'intervalles de confiance au seuil de $95\%$ ...
\item <<On distinguera confiance et probabilité :
\begin{itemize}
 \item avant le tirage d'un échantillon, 
 la procédure d'obtention de l'intervalle de confiance a
une probabilité de $0.95$ que cet intervalle contienne 
le paramètre inconnu $p$,
\item après le tirage, le paramètre $p$ est dans l'intervalle calculé avec une confiance $95\%$.>>
\end{itemize}
En effet, on ne peut pas dire que $p$ a 95 $\%$ de chances 
d'appartenir à un intervalle de
confiance donné tel que $[0,504 ; 0,696]$. 
Cette expression ne contient rien d'aléatoire, et $p$
est, ou non, dans cet intervalle, 
sans que le hasard n'intervienne. \\
On peut simplement dire par exemple que, 
\textbf{sur un grand nombre d'intervalles de confiances 
(obtenus à partir d'un grand nombre d'échantillons), 
environ 95$\%$ contiennent effectivement la valeur de $p$}, 
ou encore que l'on a $95\%$ de chances d'exhiber un 
intervalle contenant $p$ (avant le tirage de
l'échantillon). 
}


\Expl{
Un sondage dans une commune révèle que sur les $500$ personnes interrogées, $42\%$ 
sont mécontentes de l'organisation des transports. Déterminer, au risque de $5\%$, 
un intervalle de confiance du pourcentage $p$ de personnes mécontentes dans la commune.
}

\newpage

\subsection{Mieux comprendre le sens de la confiance ou du risque}
Travaillons sur un exemple d'élection où les scores étaient particulièrement
serrés : Le 10 mai 1981, François Mitterrand a été élu avec $51,75 \%$ des
voix, alors que Valery Giscard d'Estaing n'a recueilli que $48,25 \%$ des suffrages.\\
On suppose que l'on effectue des sondages le jour de l'élection, pour
estimer la proportion $p$ des partisans de Giscard dans l'électorat (en
réalité, $p = 0,4825$ mais supposons que nous ne le savons pas encore).\\

\partieBac{Taille $n=100$ et niveau de confiance de $=90\%$ }
A l'aide d'un tableur, on a simulé des 10 sondages de 100 personnes à la sortie des urnes. \\
On a alors représenté les intervalles de confiance au niveau de confiance de $90\%$ de 
la proportion $p$ de votants pour Giscard pour chaque sondage.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{IC90}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Combien de sondages donne Giscard vainqueur (à tort évidemment) ?
\item Combien d'intervalles de confiance prévoient complètement la victoire de Mitterrand ?
\item Combien d'intervalles de confiance contiennent effectivement $p$ ?
\item Deux intervalles de confiances ont-ils obligatoirement le même centre ?
\item Deux intervalles de confiance peuvent-ils n'avoir aucun élément commun ?
\item Est-ce que $p = 0,4825$ appartient nécessairement à l'intervalle de confiance donnée par un
sondage ?
\item Quel est a priori, sur 100 sondages observés, le pourcentage d'intervalles à $90\%$ de confiance ne
contenant pas la valeur $p$ à estimer ?
\end{enumerate}

\newpage
\partieBac{Taille $n=100$ et niveau de confiance de $95\%$}
%Il suffit de modifier la cellule correspondante. Quel est l'impact sur l'IC ?\\
On reprend le principe précédent, mais avec un niveau de confiance de $95\%$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{IC95}
\end{center}

Quel impact constatez-vous sur les intervalles de confiance ?\\\\\\


%Les intervalles de confiance à $95 \%$ se "trompent" moins souvent (statistiquement, on peut
%observer qu'environ $95 \%$ contiennent la valeur p) parce qu'ils sont plus "longs".\\

%On peut observer de légers écarts d'amplitude entre les différents intervalles, selon que f est
%petit (échantillon 6) ou grand (échantillon 4).
\vspace{3cm}

\partieBac{Taille $n=1000$ et niveau de confiance de $95\%$}
%On fait une nouvelle feuille de calcul avec 10 nouveaux échantillons de taille $n=1000$.
On reprend le principe précédent, mais avec  10 nouveaux sondages de $1000$ personnes.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{IC1000}
\end{center}

Quel impact constatez-vous sur les intervalles de confiance ?\\\\\\

%La plus grande qualité de l'information se traduit par une amplitude
%notablement réduite des intervalles.\\
%Il y a toujours, statistiquement, $95 \%$ qui contiennent $p$ (sur l'image,
%l'échantillon 4 ne contient pas $p$).

\newpage
\subsection{Application : Comparaison de deux proportions}

\Expl{
On s’intéresse à l‘efficacité supposée d’un médicament 
pour soigner le dos. \\
Pour cela, on administre un placebo 
à 1300 patients et le médicament à 1300 autres.\\
La fréquence de personnes qui sont soulagées avec 
le placebo est de $40\%$. \\
La fréquence de personnes qui sont soulagées avec 
le médicament est de $44\%$.\\

Peut-on juger que ce médicament est efficace ? \\
}

\Cadre[Méthode]{ 
\begin{enumerate}
 \item On fait l‘hypothèse que deux échantillons de taille $n$ sont issus 
 de la même population relativement à un caractère, 
 et donc que les deux proportions sont égales.
\item  On détermine les deux intervalles de confiance à 
$95\%$ de $p$ pour chacun des échantillons
\item \begin{itemize}
       \item Si les deux intervalles de confiance 
       sont disjoints, alors la différence entre les deux fréquences est considérée comme significative :
       on rejette l’hypothèse selon laquelle les deux proportions sont égales 
       (avec un risque autour de $5\%$).
\item  Si les deux intervalles de confiance ne sont pas 
disjoints, on ne peut pas rejeter l’hypothèse selon 
laquelle les deux proportions sont égales.
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}




\end{document}
