\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Suites G\'eom\'etriques}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha


\begin{ExoF} Inspiré d'Antilles-Guyanne juin 2011 Arts Appliqués 
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = - x^2 + 4x + 3.\]
 
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f }$ représentative de la fonction $f$ dans un repère 
orthonormal.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$.\\
\textit{On demande un minimum de justification, et non une réponse brute !}
\item Dresser le tableau des variations de $f$. \\
\textit{\textbf{On attend ici des calculs}, mais pensez à vérifier la cohérence avec le graphique donné en annexe.}
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^4 f(x)\:\text{d}x$.
\item Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine dont l'aire vient d'être calculée.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(8.25,7.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(8.25,7.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(4,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(8,7)
\uput[u](8.25,0){$x$}\uput[l](0,7.25){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.7}{4 x mul 3 add x dup mul sub}
\uput[d](2,7){$\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF} Métropole septembre 2011 Arts Appliqués
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~3] par 

\[g(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - 2x + \dfrac{5}{2}\] 
 
La courbe représentative de cette fonction est une partie P de la parabole représentée en annexe dans un repère orthogonal du plan. Unités graphiques : 2~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive G de la fonction g sur l'intervalle [0, 3]. 
\item Calculer l'intégrale $I =  \displaystyle\int_{0}^3   g(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [3~;~6] par 

\[h(x) = 3 \ln x - 3\ln 3 + 1\]

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le même repère que celui de la partie A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par $h^{\prime}$ la dérivée de la fonction $h$. Vérifier que : 
		
Pour tout réel $x$ de l'intervalle [3~;~6], $h^{\prime}(x) = \dfrac{3}{x}$. 
		\item Quel est le sens de variation de $h$ sur l'intervalle [3, 6] ? 
		\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse 3.
		 
On admettra que T est également tangente à la courbe P au même point.
	\end{enumerate} 
\item Compléter le tableau de valeurs suivant. Les résultats seront arrondis au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&3&3,5&4&4,5&5&5,5&6\\ \hline
$h(x)$&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Tracer la courbe $\Gamma$ et la droite T dans le repère joint en annexe.
\item Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle [3~;~6] par 

\[H (x) = 3x \ln x - (3\ln 3 + 2)x. \]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $H$ est une primitive de la fonction $h$ sur l'intervalle [3~;~6]. 
		\item On appelle $J$ l'aire (en unités d'aires) de la partie du plan limitée par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 3$ et $x = 6$. Déterminer la valeur arrondie de $J$ au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle C la réunion des courbes P et $\Gamma$.
 
Construire sur le graphique la courbe C$'$ symétrique de C par rapport à l'axe des abscisses. 
\item On veut connaître l'aire d'un logo dont le contour est formé par C, C$'$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 6$. 

Justifier que l'aire de ce logo est égale, en cm$^2$, à $4(I + J)$. En donner la valeur arrondie à l'unité.
\end{enumerate} 

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-4)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-4)(7,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1.5,-4)(7,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridwidth=0.3pt,subgridcolor=orange](-1.5,-4)(7,7)
\uput[u](2,0.5){P}\uput[d](7.2,0){$x$}\uput[l](0,6.7){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{3}{x dup mul 0.5 mul 2 x mul sub 2.5 add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-1.5}{0}{x dup mul 0.5 mul 2 x mul sub 2.5 add}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{3}{5.5}{x dup mul 0.5 mul 2 x mul sub 2.5 add}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Métropole Juin 2011 Génie Mécanique
\medskip

\textbf{Objectif :} \emph{Le but de ce problème est de comparer, sur un exemple, deux méthodes de calcul de volumes.}

\smallskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10] par 

\[f(x) = - x\ln x + 2x.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x\in[1~;~10]$ par : $f'(x) = - \ln x + 1.$
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ en fonction des valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~10].
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10].
 	\end{enumerate}
\item On appelle $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan (unités : 1~cm en abscisses, 1~cm en ordonnées).
	
Représenter graphiquement $\mathcal{C}$ dans ce repère.
\item On considère l'équation (E) : $f(x) = 0$ sur l'intervalle [1~;~10].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation (E).
		\item Pour chacune des solutions trouvées, donner une valeur approchée à $10^{- 2}$ près, en explicitant votre méthode.
 	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$, définie pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~10], par
	
	\[F(x) = x^2\left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2}\ln x\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10].
		\item Sur la représentation graphique réalisée précédemment, hachurer la portion $S$ du plan
comprise entre $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 7$.
		\item À l'aide de la représentation graphique, évaluer (en unités d'aire) l'aire de la portion $S$.
		
Justifier la méthode utilisée.
		\item Calculer la valeur exacte de cette aire en unités d'aire.
 	\end{enumerate}
\item On veut déterminer le volume $V_{s}$ du solide engendré par la rotation de la partie hachurée autour de l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate}
		\item Méthode par calcul formel :
		
À l'aide d'un logiciel de calcul formel on obtient :

		\[V_{s} = \pi\left(\dfrac{343(\ln 7)^2}{3} - \dfrac{\np{4802}\ln 7}{9} +
\dfrac{\np{1900}}{3}\right)\, \text{unités de volume.}\]
		
En déduire une valeur approchée de $V_{s}$ à $10^{-2}$ près.
		\item Méthode des trois niveaux :
		
\emph{La méthode, dite des trois niveaux, permet d'estimer le volume d'un solide.}
		
\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,8.5)
\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(0.4,0.1)(6.2,0.1)
\psline[arrowsize=2pt 3]{<->}(3.3,0.8)(6.2,0.8)
\psline[linestyle=dashed](0.4,5.15)(0.4,0.1)
\psline[linestyle=dashed](6.2,5.15)(6.2,0.1)
\psline[linestyle=dashed](3.3,0.8)(3.3,5.15)
\rput(0.4,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){1.95}{90}{270}}}%
\rput(0.4,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){1.95}{-90}{90}}}%
\rput(3.3,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){2.9}{90}{270}}}%
\rput(3.3,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){2.9}{-90}{90}}}%
\rput(6.2,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){1.92}{90}{270}}}%
\rput(6.2,5.15){\scalebox{0.205}[0.99]{\psarc(0,0){1.92}{-90}{90}}}%
\pscurve[linewidth=1.2pt](0.4,7.1)(1,7.5)(2,7.9)(3,8.05)(4,7.95)(5,7.68)(6,7.25)(6.2,7.1)
\pscurve[linewidth=1.2pt](0.4,3.2)(1,2.8)(2,2.4)(3,2.25)(4,2.35)(5,2.62)(6,3.05)(6.2,3.2)
\uput[ur](0.4,5.15){A$_{0}$}\uput[ur](3.3,5.15){A$_{1}$}\uput[ur](6.2,5.15){A$_{2}$}
\uput[u](3.3,0.1){$h$} \uput[u](4.75,0.8){$\frac{h}{2}$}
\psdots(0.4,5.15)(3.3,5.15)(6.2,5.15)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=lightgray]{0.4}{6.2}{2 x mul x ln x mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

Par cette méthode, le volume estimé d'un solide de révolution de hauteur $h$ est égale à

$V_{e} = \dfrac{1}{6}h\left(\text{A}_{0} + 4\text{A}_{1} +\text{A}_{2}\right)\, \text{où}\, A_{0}$ 
est l'aire de la section gauche, A$_{1}$ l'aire de la section
intermédiaire et A$_{2}$ l'aire de la section droite.

Compléter, par des valeurs approchées au centième, le tableau des surfaces ci-dessous 
\begin{center}
\textbf{Tableau des surfaces}

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Surface & Section gauche&Section intermédiaire			&Section droite\\ \hline
Rayons	&				&$f(4) = - 4\ln (4) + 8 \approx 2,45$&\\ \hline
Aires	&12,57			&								&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


En déduire une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de $V_{e}$.
		\item On considère que la méthode des trois niveaux est acceptable si le rapport
$\dfrac{V_{e}}{V_{s}}$ est compris entre 0,95 et 1,05. Peut-on affirmer que cette méthode des trois niveaux est acceptable pour cet exemple ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%% Annexe


 
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Réunion juin 2011 Génie Electronique

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~10] par 

\[f(x) = \ln x + ax + b,\]

où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels, et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle ]0~;~10].
 
On sait que le tableau de variations de $f$ sur ]0~;~10] est le suivant : 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(7.5,3)
\psframe(7.5,3)
\psline(0,2)(7.5,2)\psline(0,2.5)(7.5,2.5)\psline(2.5,0)(2.5,3)\psline(2.6,0)(2.6,2.5)
\uput[u](1.25,2.5){$x$}\uput[u](2.6,2.5){$0$}\uput[u](4.5,2.5){$2$}\uput[u](7.3,2.5){$10$}
\rput(1.25,2.25){Signe de $f'(x)$}\rput(3.5,2.25){+}\rput(4.5,2.25){$0$}\rput(6,2.25){$-$}
\rput(1.25,1){Variations de $f$}\uput[u](2.9,0){$- \infty$}\uput[d](4.5,2){$- 2 + \ln 2$}
\uput[u](6.8,0){$- 6 + \ln 10$}
\psline{->}(2.75,0.5)(4.3,1.5)\psline{->}(4.7,1.5)(6.75,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déduire du tableau de variations le signe de $f(x)$ sur l'intervalle ]0~;~10]. 
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$ pour tout réel $x$ de l'intervalle ]0~;~10]. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
À l'aide de données numériques du tableau de variations, calculer $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que, pour tout réel $x$ appartenant à ]0~;~10],

\[f(x) = \ln x - \dfrac{1}{2}x - 1.\] 
 
On considère la fonction $g$ définie sur ]0~;~10] par 

\[g(x) = (\ln x)^2 - x - 2\ln x\]

dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal \Oij{} est fournie 
ci-dessous.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g$ en $0$. 
		\item  Interpréter graphiquement le résultat précédent.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de ]0~;~10], $g'(x) = \dfrac{2f(x)}{x}$.
		\item Déterminer les variations de la fonction $g$ sur ]0~;~10].
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une seule solution $\alpha$ sur l'intervalle [0,1~;~10]. 
		\item Donner, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~10] par 

\[G(x) = x (\ln x)^2 - 4x\ln x + 4x - \dfrac{1}{2}x^2.\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur ]0~;~10]. 
\item Sur le graphique ci-dessous figure la courbe $\mathcal{C}$. Tracer la droite $T$ et hachurer le domaine $\Delta$ limité par la droite $T$, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. 
\item On admet que la droite $T$ est toujours située au dessous de la courbe $\mathcal{C}$. Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine.
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-10)(10.5,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-10)(10.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-10)(10,8)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.133}{10}{x ln x ln mul x sub x ln 2 mul sub}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](8,-8){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

 
\end{ExoF}


\begin{ExoF} Antilles juin 2011 Génie Electronique
 
\medskip  
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{On considère la fonction $h$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ est tracée ci-contre. La droite T est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{h}$ au point A de coordonnées (1~;~3); cette droite coupe l'axe des ordonnées au point B de coordonnées (0~;~1). On admet qu'il existe des nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre réel $x$ dans $]0~;~+\infty[,\, h(x) = a\ln x + b$.

\medskip
 
\emph{Dans la question suivante, toute recherche, même incomplète, ou initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation : }

\medskip

Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(2.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-1)(2.5,4.5)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](1,0)(1,3)(0,3)
\psplot{-1}{1.75}{2 x mul 1 add}
\uput[dr](1,3){A}\uput[dr](0,1){B}\uput[ul](1.2,3.4){T}\uput[r](0.2,-0.8){$\mathcal{C}_{h}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.134}{2.}{x ln 2 mul 3 add}
\end{pspicture}
}

\bigskip  
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie, pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, par :

\[g(x) = 2x\ln x + x - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$. 

Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, on a $g'(x) = 2\ln x + 3$. 
\item %Résoudre dans $]0~;~+\infty[$ l'inéquation $2\ln x + 3> 0$. 
A l'aide d'un tableau de valeurs à la calculatrice, déterminer les solutions de l'inéquation 
$2\ln(x) +3 >0$
\item Déterminer les limites de la fonction $g$ en $0$ et en $+\infty$. 
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~+\infty[$. On y fera figurer les limites de $g$ ainsi que sa valeur en $1$. 
\item Prouver que $g(x) < 0$ pour tout $x$ appartenant à ]0~;~1[ et $g(x) > 0$ pour tout $x$ appartenant à $]1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip  
 
\textbf{Partie C}

\medskip 
On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = x^2 \ln x - x + 1.\]
 
On admet que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $1$. 
\begin{enumerate}
\item En remarquant que $f(x) = x(x \ln x - 1) + 1$ pour tout $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$,  calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ est la fonction $g$, définie dans la partie B. 
		\item En déduire le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Pour chaque valeur, on inscrira dans le tableau l'arrondi au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0,2&0,5&1		&1,5&2	&2,5&3\\ \hline
$f(x)$	&	&	&$0$	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Dans le plan muni du repère orthonormé \Oij{} (unité : 2~cm), tracer la courbe $\mathcal{C}$  représentative de la fonction $f$. On utilisera une feuille de papier millimétré.
\end{enumerate}

\bigskip  
 
\textbf{Partie D}

\medskip 

Soit $\Delta$ la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ (construite dans la partie C) et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = 2$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer la partie $\Delta$ sur le graphique construit dans la partie C. 
		\item Par lecture graphique, encadrer par deux entiers consécutifs l'aire $\mathcal{A}$ de la partie $\Delta$ en centimètres carrés.
	\end{enumerate} 
\item 	On admet que la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ par: 

\[F(x) = \dfrac{x^3}{3}\ln x - \dfrac{x^3}{9} - \dfrac{x^2}{2} + x\] 

est une primitive de la fonction $f$ définie dans la partie C.
 
Déterminer la valeur exacte puis l'arrondi au millième de l'aire $\mathcal{A}$ de $\Delta$ en centimètres carrés. 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Nouvelle Calédonie novembre 2011 Génie Electronique
\medskip 

Dans tout le problème, on note I l'intervalle de $\R$ défini par I  $= ]0~;~ +\infty[$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle I par 

\[g(x) = x^2 - 2\ln x + 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle I, déterminer $g^{\prime}(x)$ puis étudier le signe de $g^{\prime}(x)$ sur l'intervalle I. 
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ sur l'intervalle I (les limites ne sont pas demandées). 
\item En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, on a $g(x) > 0$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I par: 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{1}{2}x - 1.\] 

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 4~centimètres. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. 
		\item En déduire l'existence d'une droite asymptote à la courbe $\mathcal{C}$, notée $D$, dont on précisera une équation.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{1}{2}x - 1$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au  voisinage de $+ \infty$. 
		\item Préciser la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\Delta$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{2x^2}$. 
		\item En déduire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les images de $1$ et de $2$ par la fonction $f$. 
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~2]. 
		\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\item Établir une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$. 
\item Tracer les droites $D,\: ,\Delta$ et $T$ puis la courbe $\mathcal{C}$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle I par 

\[h(x) = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2.\]
 
Calculer $h^{\prime}(x)$. 
\item En déduire que $\displaystyle\int_{2}^{\text{e}} \dfrac{\ln x}{x}\:\text{d}x =
\dfrac{1}{2}\left(1 - (\ln 2)^2\right)$.

\item On considère l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, son asymptote $\Delta$ et les droites d'équation $x = 2$ et $x = \text{e}$. 

Déduire de la question précédente une valeur approchée de $\mathcal{A}$ en centimètres carrés à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}
 
\end{ExoF}



\end{document}