\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Suites G\'eom\'etriques}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
\newcommand{\num}{5}	
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF}
 Dans un laboratoire de chimie, un stagiaire utilise un liquide dont l'évaporation est importante.\\
 A l'originie, il y a 75 cL de liquide dans la bouteille. Le stagiaire referme mal cette bouteille et
 on considère alors que le liquide perd chaque jour $5\%$ de son volume par évaporation.\\
 On note $u_n$ la quantité de liquide, exprimée en cL, présente dans la bouteille au bout de $n$ jours. Ainsi, $u_0=75$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
  \item Exprimier $u_{n+1}$ en fonciton de $u_n$. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?
  \item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
  \item Calculer la quantité de liquide restant dans la bouteille au bout de $7$ jours (arrondir au dixième).
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
En janvier 2007, Bob louait son appartement à 400$\euro$ /mois. A partir de 2008, son loyer a augmenté tous les
ans de $2\%$.
On note $u_n$ le montant des loyers versés par Bob l'anné $2007+n$. 
Ainsi $u_0=400 \times 12 = 4800$.\\
Quel est le montant total des loyers versés par Bob de janvier 2007 à décembre 2014 inclus ?
\end{ExoF}


\begin{ExoF} Métropole juin 2013 \hfill 6 points %exo4

Document 1

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline 
\emph{La plupart des lignes électriques font circuler du courant alternatif. Certaines font circuler du courant continu à très haute tension qui occasionne moins de pertes que le courant alternatif, notamment lorsque les lignes sont immergées, mais aussi lorsque les distances sont très importantes.}\\ 
\emph{En 2012, la plus longue liaison électrique à courant continu en service dans le monde relie la centrale hydro-électrique de Xiangjiaba à la ville de Shanghai. Elle mesure environ $\np{1900}$~km ; sa puissance électrique initiale est de $\np{6400}$~MW ; le courant est transporté sous une tension de $800$~kV.}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Lorsque du courant électrique circule dans un câble, une partie de la puissance électrique est perdue. On estime les pertes de puissance électrique d'un courant continu à très haute tension à 0,3\,\% pour une distance de $100$~kilomètres.

 
\textbf{Partie A :} 
On note $p_{0} = \np{6400}$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $p_{n}$ la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout d'une distance de $n$ centaines de kilomètres. Ainsi $p_{1}$ est la puissance électrique restant dans la ligne au bout de $100$~km.

 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_{1} = 0,997p_{0}$. 
\item Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba--Shanghai au bout de $200$~km ? 
\item Déterminer la nature de la suite $\left(p_{n}\right)$ puis exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
 
 
\textbf{Partie B :} 
On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
\textbf{Variables}
 $n$ : un nombre entier naturel \\
\hspace{1.5cm}$q$ : un nombre réel \\ 
\hspace{1.5cm}$p$ : un nombre réel \\ 
\textbf{Entrée} \\ 
\hspace{1.5cm}Saisir $n$ \\ 
\textbf{Initialisation} \\ 
\hspace{1.5cm}Affecter à $p$ la valeur \np{6400} \\ 
\hspace{1.5cm}Affecter à $q$ la valeur $0,997$ \\ 
\textbf{Traitement} \\ 
\hspace{1.5cm}Répéter $n$ fois \\ 
\hspace{2.5cm}Affecter à $p$ la valeur $p \times q$ \\ 
\textbf{Sortie}\\ 
\hspace{1.5cm}Afficher $p$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On entre dans l'algorithme la valeur $n = 3$.
 
Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies à l'unité près par défaut).
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&$n$ &$q$ &$p$\\ \hline 
Entrées et initialisation&3 &0,997 &\np{6400}\\ \hline 
1\up{er} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline  
2\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline 
3\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Interpréter la valeur de $p$ obtenue au troisième passage dans la boucle de l'algorithme. 
\item Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de $300$~km ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba--Shanghai ? 
\item D'autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d'étude.
 
On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7\,\% sur ces lignes. 
	\begin{enumerate}
		\item La ligne Xiangjiaba--Shanghai répond-t-elle à cette contrainte ? 
		\item Déterminer, à cent kilomètres près, la longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 \,\%.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF} Antilles-Guyane juin 2013   \hfill 4 points


\begin{enumerate}
\item 
L'algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d'une suite que l'on appellera $\left(u_{n}\right)$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
\emph{Entrée} :		& Saisir la valeur de l'entier naturel $n$\\ 
\emph{Traitement} :	& Affecter 2 à la variable $u$\\
&\hspace{0.75cm} Pour $i$ variant de 1 à $n$\\
&\hspace{1.5cm} Affecter $1,5u$ à $u$\\
&\hspace{0.75cm} Fin de Pour\\
\emph{Sortie} :&Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l'on saisit $n = 1$, puis $n = 2$ et enfin $n = 3$ ? 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n,$ \quad
$u_{n+1} = 1,5 u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression du terme $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs des termes $S_{0}, S_{1}$ et $S_{2}$. 
		\item Quelles modifications doit-on faire à l'algorithme précédent pour qu'il affiche la valeur du terme $S_{n}$ pour un $n$ donné ? 

Écrire ce nouvel algorithme sur sa copie. 
		\item Calculer le terme $S_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Polynésie juin 2014 \hfill  4 points


\og \emph{En 2009, les Français ont en moyenne produit $374$~kg de déchets ménagers par habitant.} \fg
 \hfill Source Ademe

\medskip
 
Le maire d'une commune de \np{53700} habitants constata avec déception que ses administrés avaient produit \np{23000}~tonnes de déchets en 2009, Il décida alors de mettre en place une nouvelle campagne de sensibilisation au recyclage des papiers, plastiques, verres et métaux.
Cela permit à la ville d'atteindre $400$~kg de déchets ménagers en moyenne par habitant en 2011 et d'espérer réduire ensuite cette production de 1,5\,\% par an pendant 5 ans.


 
\begin{enumerate}
\item Justifier la déception du maire en 2009. 
\item On note $d_{0} = 400$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $d_{n}$ la quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant de cette ville durant l'année $2011 + n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $d_{1} = 0, 985d_{0}$. 
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(d_{n}\right)$. Exprimer $d_{n}$ en fonction de $n$ puis calculer la limite de la suite $\left(d_{n}\right)$. 
		\item Quelle devrait être, à ce rythme là, la production en kilogrammes de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2014 ?
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Les variables sont l'entier naturel $N$ et le réel $d$.}\\
Initialisation :& Affecter à $N$ la valeur 0\\
 				& Affecter à $d$ la valeur 400\\ 
Traitement :	& Tant que $d > 374$\\ 
				& \hspace{0,5cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
				& \hspace{0,5cm} Affecter à $d$ la valeur $0,985d$\\
				& Fin Tant que\\
Sortie :		& Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Donner la valeur affichée pour $N$ et interpréter ce résultat. 
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} Métropole septembre 2014 \hfill 7 points
 
 
Chloé, âgée de 15 ans au 1\up{er} janvier 2014, réside dans une agglomération française. 
Pour anticiper le financement de son permis de conduire, elle décide de placer sur un produit d'épargne ses $600$~euros d'économies à partir du 1\up{er} janvier 2014.

 
\textbf{Information 1 :} conditions de souscription du livret jeune

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|} \hline
$\bullet~~$&Montant maximum de placement: \np{1600} euros\\ 
$\bullet~~$&Taux d'intérêt annuel de 2,75\,\%\\ 
$\bullet~~$&Avoir entre 12 et 25 ans\\ 
$\bullet~~$&Résider en France\\ 
$\bullet~~$&Montant minimum à l'ouverture : 10~euros\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


\textbf{Information 2 :} coût moyen du permis de conduire

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{12cm}|} \hline 
La loi impose un minimum de $20$~heures de conduite avant de se présenter au permis.\\ 
Une enquête de la CLCV (Consommation, Logement et Cadre de Vie) publiée en août 2013  et menée auprès de $447$~auto-écoles souligne que ce forfait de $20$~heures est facturé du simple au double selon les régions.\\ Par ailleurs, même si le minimum imposé par la loi est de vingt heures de conduite, il en faut plutôt trente en moyenne.\\ 
Ainsi, en comptant les frais de dossier, il est préférable de prévoir un budget de \np{1500}~euros.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi Chloé remplit les conditions permettant de souscrire au livret jeune. 
\item Aura-t-elle une somme suffisante disponible au 1\up{er} janvier 2017 pour passer son permis si elle choisit de souscrire au livret jeune ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Chloé aura besoin de \np{1500}~euros pour financer son permis. Ses parents lui conseillent de verser chaque mois sur le livret la somme supplémentaire de 25~euros, à partir du 1\up{er} février 2014. Ils lui expliquent que le taux annuel du livret jeune correspond à un taux mensuel de 0,226\,\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Ses parents lui présentent un extrait d'une page de tableur qui simule l'évolution d'épargne : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A& B\\ \hline 
1 &01/01/2014 &600,00~\euro\\ \hline 
2 &01/02/2014 &626,36~\euro\\ \hline 
3 &01/03/2014 &652,77~\euro\\ \hline 
4 &01/04/2014 &679,25~\euro\\ \hline 
5 &01/05/2014 &705,78~\euro\\ \hline 
6 &01/06/2014 &732,38~\euro\\ \hline 
7 &... &...\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, dans la feuille de calcul ci-dessus, la formule à saisir dans la cellule B2 est : \fbox{$= \np{1,00226} \times \text{B}1 + 25$}. 
		\item Déterminer la somme qui serait disponible sur le livret au 1\up{er} juillet 2014.
	\end{enumerate} 
\item Chloé veut déterminer au bout de combien de mois elle aurait l'argent nécessaire pour financer son permis en suivant le conseil de ses parents. 

Elle décide de noter $u_{n}$ la somme, en euros, disponible le $n$-ième mois après l'ouverture du livret. Ainsi, $u_{0}$ vaut 600~euros. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
		\item Chloé décide d'écrire l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline		 
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{0,3cm}$n$ : un nombre entier naturel\\
\hspace{0,3cm}$u$ : un nombre réel\\ 
\textbf{Initialisation}\\ 
\hspace{0,3cm}Affecter à $n$ la valeur $0$\\ 
\hspace{0,3cm}Affecter à $u$ la valeur $600$\\ 
\textbf{Traitement}\\ 
\hspace{0,3cm} Tant que \ldots\ldots\\ 
		\hspace{0,6cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ 
		\hspace{0,6cm}Affecter à $u$ la valeur \ldots\ldots\\ 
\hspace{0,3cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\ 
\hspace{0,3cm}Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Trois lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter pour que Chloé puisse déterminer le nombre de mois cherché.
		\item Au bout de combien de mois Chloé aura-t-elle l'argent nécessaire pour financer son permis si elle suit les conseils de ses parents ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\end{ExoF}


\begin{ExoF} Nouvelle Calédonie Novembre 2013 \hfill 5 points
 

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par 

\[u_{n+1} = 0,4u_{n} + 3\quad \text{et}\quad u_{0} = - 1.\]
 
\textbf{PARTIE A :}

 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de $u_{n}$.

On obtient les résultats suivants :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}m{0.8cm}|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|*{9}{@{}>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X@{}|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L\\ \hline
1&Valeur de $n$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
2&Valeur de $u_{n}$&
\scriptsize$- 1$&\scriptsize2,6&\scriptsize 4,04& 4,616&4,8464&4,9386&4,9754&4,9902&4,9961&4,9984&4,9994 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entrée dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?

\medskip
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~} $= 0,4^n +3$&\textbf{b.~} $= \$\text{B}\$2*0,4+3$ 	&\textbf{c.~} $=\text{B}2*0,4+3$ &\textbf{d.~} $= 0,4~\hat{}~\text{C}1+3$
\end{tabularx}

\item Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\emph}l X|}\hline 
\emph{Variables} :		& 	$p$ et $n$ sont des entiers naturels, $u$ est un nombre réel\\ 
\emph{Entrée} :		& 	saisir la valeur de $p$\\ 
\emph{Initialisation} :& 	$n$ prend la valeur $0$, $u$ prend la valeur $- 1$\\ 
\emph{Traitement} :	& 	tant que $|u - 5| > 10^{-p}$\\ 
&	\hspace{0,25cm}\begin{tabular}{|l}
$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
$u$ prend la valeur $0,4u + 3$
\end{tabular}\\
& fin tant que\\
\emph{Sortie} :& 	afficher la valeur de $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque $p = 2$.
\end{enumerate}


 
\textbf{PARTIE B :}


 
On étudie maintenant la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$v_{n} = 6 \times  (0,4)^n$.


 
\begin{enumerate}
\item Donner la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ et ses éléments caractéristiques. 
\item Déterminer la limite de $\left(v_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item On admet que pour tout entier naturel $n :\: u_{n} = 5 - v_{n}$. Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en fonction de $n$ la somme $v_{0} + v_{1} + \ldots	+ v_{n}$. 
		\item En déduire en fonction de $n$ la somme $u_{0} + u_{1} + \ldots	+ u_{n}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF} Nouvelle Calédonie mars 2014 \hfill 5 points

L'iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. II peut cependant être dangereux lorsqu'on le reçoit en grande quantité.
 
On considère un échantillon d'une population de noyaux d'iode 131 comportant $10^6$~noyaux au début de l'observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3\,\%.
 
On note $u_{n}$ le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de $n$ jours. On a donc $u_{0} = 10^6$.

 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$. 
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.
 
Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131. 
\item On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|c|l X|}\hline 
1	&\textbf{Variables :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\ 
2	&\textbf{Initialisation :}& 	Affecter la valeur $0$ à $n$\\ 
3	&					& Affecter la valeur $10^6$ à $u$\\

4	&\textbf{Traitement :}& Tant que $u > \dfrac{10^6}{2}$ \\

5	&					&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\  
6	&					&\hspace{0,5cm}$u$ prend la valeur $u \times  0,917$\\ 
7	&					&Fin tant que\\ 
8	&\textbf{Sortie :}	&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item À quoi correspond la valeur $n$ en sortie de cet algorithme ? 
		\item Si on programme cet algorithme, quel résultat affiche-t-il ? 
		\item Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3\,\%.
		 
Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de $10^8$~noyaux?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Métropole juin 2014 \hfill 6 points %exo4
 


\emph{Au cours de son évolution, une tornade se déplace dans un corridor de quelques centaines de mètres de large sur quelques kilomètres de long.}



\textsf {\textbf{\textsc{document 1 :}}}


\emph{L'échelle de Fujita est une échelle servant à classer les tornades par ordre de gravité, en fonction des dégâts qu'elles occasionnent. Une partie de cette échelle est présentée dans le tableau ci-dessous.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering}m{3cm}|X|}\hline
\textbf{Catégorie} & \textbf{Vitesse des vents en $\text{km}.\text{h}^{-1}$} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Dégâts occasionnés}} \\ \hline \hline
F0 & 60 à 120 & \textbf{Dégâts légers :} dégâts sur cheminées, arbres, fenêtres,\ldots \\ \hline
F1 & 120 à 180 & \textbf{Dégâts modérés :} automobiles renversées, arbres déracinés,\ldots \\ \hline
F2 & 180 à 250 & \textbf{Dégâts importants :} toits arrachés, hangars et dépendances démolis, \ldots \\ \hline
F3 & 250 à 330 & \textbf{Dégâts considérables :} murs extérieurs et toits projetés, maisons et bâtiments de métal effondrés, forêts abattues, \ldots \\ \hline
F4 & 330 à 420 & \textbf{Dégâts dévastateurs :} murs effondrés, objets en acier ou en béton projetés comme des missiles, \ldots \\ \hline
F5 & 420 à 510 & \textbf{Dégâts incroyables :} maisons rasées ou projetées sur de grandes distances, murs extérieurs et toits arrachés sur de gros bâtiments, \ldots \\ \hline
\end{tabularx}

\newpage

\textsf {\textbf{\textsc{document 2 :}}}

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{À partir des mesures relevées lors d'observations de phénomènes semblables, des météorologues ont admis la règle suivante : \og la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 \% toutes les 5 minutes \fg .}

\emph{On appelle \og durée de vie \fg{} d'une tornade le temps nécessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents devienne inférieure à 120 $\text{km}.\text{h}^{-1}$.}
\end{minipage}}

\medskip

Lors de la formation d'une tornade, on a mesuré la vitesse des vents par un radar météorologique et on a trouvé une vitesse initiale de  $420 \text{km}.\text{h}^{-1}$.

\noindent \emph{L'objectif de ce problème est d'estimer la durée de vie de cette tornade.}
 \emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $ 10 \text{km}.\text{h}^{-1}$.}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Cinq minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de  $378 \text{km}.\text{h}^{-1}$.

Vérifier que ce résultat correspond à la règle admise.

À quelle catégorie appartient la tornade à ce moment là ?
\item Vérifier que, quinze minutes après la mesure initiale, cette tornade occasionne des dégâts classés comme \og dégâts considérables\fg .
\end{enumerate}
\item Pour déterminer la durée de vie de cette tornade, un étudiant propose de modéliser le phénomène par une suite géométrique de raison $q$. Il commence à élaborer l'algorithme ci-dessous.
\begin{center}
{\setlength{\fboxsep}{.5cm}
\fbox{\begin{minipage}{.5\linewidth}
\textbf{Variables}

\hspace{1em}$n$ : un nombre entier naturel

\hspace{1em}$v$ : un nombre réel

\hspace{1em}$q$ : un nombre réel

\textbf{Initialisation}

\hspace{1em}Affecter à $n$ la valeur 0

\hspace{1em}Affecter à $v$ la valeur 420

\hspace{1em}Affecter à $q$ la valeur 0,9

\textbf{Traitement}

\hspace{1em}Tant que \dotfill 

\hspace{2em}\dotfill

\hspace{2em}\dotfill

\hspace{1em}Fin Tant que

\textbf{Sortie}

\hspace{1em}Afficher $5 \times n$
\end{minipage}}}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Justifier la valeur 0,9 dans la phrase \og Affecter à $q$ la valeur 0,9 \fg .
\item Donner le premier terme et la raison de la suite géométrique proposée par l'étudiant.
\item Dans l'algorithme ci-dessus, des pointillés indiquent des parties manquantes.
Compléter la partie relative au traitement et la compléter pour que l'étudiant puisse déterminer la durée de vie de cette tornade.
\item Expliquer l'instruction \og Afficher $5 \times n$ \fg{} proposée par l'étudiant.
\end{enumerate}
\item On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite géométrique proposée par l'étudiant.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la durée de vie de cette tornade au sens défini dans le document 2.
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoF} Polynésie juin 2013 \hfill  5 points


 
On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par : 

\[u_{0} = 8\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\:\: u_{n+1} = 0,4 u_{n} + 3.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
 
On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite.
 
Une copie d'écran sur laquelle les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ ont été effacés est donnée ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 		&B\\ \hline
1	&$n$	&$u(n)$\\ \hline 
2	&0		&8\\ \hline 
3	&1		&\\ \hline 
4	&2		& \\ \hline
5	&3		&5,192\\ \hline 
6	&4		&\np{5,07681}\\ \hline 
7	&5 		&\np{5,03072}\\ \hline 
8	&6 		&\np{5,012288}\\ \hline 
9	&7 		&\np{5,0049152}\\ \hline 
10	&8 		&\np{5,00196608}\\ \hline 
11	&9 		&\np{5,00078643}\\ \hline 
12	&10 	&\np{5,00031457}\\ \hline 
13	&11 	&\np{5,00012583} \\ \hline
14	&12 	&\np{5,00005033}\\ \hline 
15	&13 	&\np{5,00002013}\\ \hline 
16	&14 	&\np{5,00000305}\\ \hline 
17	&15		&\np{5,00000322}\\ \hline 
18	&16 	&\np{5,00000129}\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\item Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d'obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas ? 
\item En utilisant cette copie d'écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Les variables sont l'entier naturel N et le réel U.}\\ Initialisation :& Affecter à N la valeur $0$\\ 
&Affecter à U la valeur 8\\ 
Traitement :& 	TANT QUE $\text{U} - 5 > 0,01$\\
& Affecter à N la valeur N + 1\\
& Affecter à U la valeur $0,4\text{U} + 3$\\
& Fin TANT QUE\\ 
 Sortie :& Afficher N\\ \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
Par rapport à la suite $\left(u_{n}\right)$, quelle est la signification de l'entier N affiché ? 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 5$. On admet que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de premier terme $v_{0} = 3$ et de raison $0,4$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
		\item Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3 ?
		 
Pourquoi ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF} Métropole septembre 2013 \hfill 6 points %exo3
 

Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à $635$~milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à $100$~milligrammes par kilomètre.
 
La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7\,\% par an.


 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001. 
		\item Un véhicule émettait $500$~milligrammes par kilomètre en 2002.
		 
Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
	\end{enumerate} 
\item Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'UE atteindra son objectif. 

Louise a amorcé l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
\textbf{Variables}\\ 
\qquad $n$ : un nombre entier naturel \\
\qquad $p$ : un nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\ 
\qquad Affecter à $n$ la valeur $0$\\
\qquad Affecter à $p$ la valeur $635$\\ 
\textbf{Traitement}\\ 
\qquad Tant que \ldots\ldots\\ 
\qquad \qquad Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\qquad \qquad Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$\\
\qquad  Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie}\\ 
\qquad Afficher \ldots\ldots\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer l'instruction « Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$ ». 
		\item Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes  l'année $(2000 + n)$. On a ainsi $u_{0} = 635$. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. 
\end{enumerate}
 
\end{ExoF}




\begin{ExoF} Polynésie septembre 2014 \hfill  6 points

 
Une entreprise informatique a réalisé en 2013 un bénéfice de \np{22000}~\euro. La direction de cette entreprise se fixe pour objectif une hausse annuelle de son bénéfice de 4,5\,\%. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $b_{n}$ le bénéfice prévu pour l'année $2013 + n$, on a donc $b_{0} = \np{22000}$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les bénéfices $b_{1}$ et $b_{2}$ espérés pour 2014 et 2015. 
\item Montrer que $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques. 
\item Exprimer alors $b_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
$N$ prend la valeur 0\\ 
$B$ prend la valeur \np{22000}\\ 
Tant que $B \leqslant \np{40000}$\\ 
\hspace{0,5cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
\hspace{0,5cm}$B$ prend la valeur $1,045 * B$\\
Fin Tant que\\ 
$A$ prend la valeur $N + 2013$\\
Afficher $A$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Expliquer à quoi correspondent les variables N et B. 
\item Exécuter cet algorithme et donner le dernier résultat affiché. 
\item Expliquer à quoi correspond cette valeur. 
\item La direction souhaite savoir à partir de quelle année le bénéfice de l'entreprise sera supérieur à \np{40000}~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation suivante: 
 \qquad $\np{22000} \times 1,045^x > \np{40000}.$
 
		\item Quel lien existe-t-il entre le résultat de la question 2. de la partie B et l'ensemble des solutions de l'inéquation précédente ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
 
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Antilles Guyane juin 2014   \hfill 2 points
 
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Aucune justification n'est demandée.  
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}
 
\begin{enumerate}

\item $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison $0,98$.

$\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 2,8$ et de raison $1,02$. 

Le plus petit entier $n$ vérifiant $u_{n} \leqslant v_{n}$ est : 


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 14 &\textbf{b.~~} 15 &\textbf{c.~~} 16&\textbf{d.~~}17\\
\end{tabularx}
  
\item $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 1$ et de raison $\dfrac{5}{3}$.
 On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables}		& 	$n, u$\\ 
\textbf{Initialisation}	& $u$ prend la valeur 1\\ 
						&$n$ prend la valeur $0$\\ 
\textbf{Traitement}		& Tant que $u < \np{1000}$\\
						&\hspace{0.3cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
						&\hspace{0.3cm}$u$ prend la valeur $u \times \dfrac{5}{3}$\\
						&Fin tant que\\ 
\textbf{Sortie}			& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Cet algorithme affiche en sortie : 

	\begin{enumerate}
		\item  la valeur de $u_{\np{1001}}$
 		\item  la plus grande valeur de $n$ vérifiant $u_{n} < \np{1000}$ 
		\item  la plus petite valeur de $n$ vérifiant $u_{n} \geqslant \np{1000}$ 
		\item  la plus petite valeur de $u_{n}$ vérifiant $u_{n} \geqslant \np{1000}$
\end{enumerate} 

\end{enumerate}
 
\end{ExoF}


\end{document}