\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Ln}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
\newcommand{\num}{4}	
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha


\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x+\ln(x)$. On note $\mathscr C$ sa courbe 
 représentative dans un repère orthogonal.
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Calculer $f'(x)$
         \item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathscr C$ au point $A(1;1)$
        \end{enumerate}
 \item A l'écran de la calculatrice, tracer la courbe $\mathscr C$ et la droite $T$ pour vérifier 
 vos résultats.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=1-5\ln(x)$. 
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer les limites suivantes :\qquad 
  $\Lim{+\infty}f(x)\qquad \text{et}\qquad \Lim{0^+}f(x)$
  \item \begin{enumerate}
         \item Calculer $f'(x)$
         \item Dresser le tableau de variations de $f$
        \end{enumerate}
 \item A l'écran de la calculatrice, tracer la courbe $\mathscr C$ pour vérifier 
 vos résultats.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=1-5\ln(x)$. 
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer $ \Lim{0^+}f(x)$. Interpréter graphiqument le résultat obtenu.
  \item \begin{enumerate}
         \item Calculer $f'(x)$
         \item Dresser le tableau de variations de $f$
        \end{enumerate}
 \item A l'écran de la calculatrice, tracer la courbe $\mathscr C$ pour vérifier 
 vos résultats.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R^{+*}$ par $f(x)=\dfrac1x$ telle
 que $F(2)=4$.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Résoudre $(0.9)^n\leq 0.5$ \qquad et \qquad $\ln(1.2)^n\geq 15$
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Métropole sept 2014 (exercice 2) \hfill (5 points)}

 
Une équipe aérospatiale se propose d'envoyer un satellite de $10$~tonnes en orbite autour de la Terre par l'intermédiaire d'une fusée à un seul étage. Cette fusée a une masse à vide, c'est-à-dire sans carburant ni satellite, de $40$~tonnes.
 
L'éjection des gaz permet à la fusée de décoller et de s'élever dans les airs jusqu'à la consommation totale du propergol, carburant contenu dans ses réservoirs. La vitesse d'éjection des gaz est $V_{\text{e}} = \np{3200}$~m.s$^{-1}$.
 
La vitesse finale de la fusée vitesse atteinte lorsque les réservoirs sont vides, varie en fonction de la masse de propergol contenue au départ dans les réservoirs. Elle doit être de $\np{8000}$~m.s$^{-1}$ pour permettre la mise en orbite souhaitée.
 
Le but de l'exercice est de déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre cette mise en orbite du satellite.
 
On note $x$ la masse, en tonnes, de propergol contenu au décollage dans les réservoirs de la fusée. La masse $x$ est comprise entre 100 et 900 tonnes. La masse totale de la fusée est alors $(x + 50)$~tonnes.
 
Il est établi que la vitesse finale de la fusée, $f(x)$, exprimée en m· s$^{-1}$, est donnée par
 
\[f(x) = V_{\text{e}} \times [\ln(x + 50) - \ln 50]\]
 
où $x$ est un réel de l'intervalle [100~;~900].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [100~;~900], $f(x) = \np{3200} \times \ln (0,02x + 1)$.
 
On pourra choisir l'une ou l'autre des expressions de $f(x)$ pour répondre à chacune des questions suivantes. 
\item  	
	\begin{enumerate}
		\item Si les réservoirs contiennent au décollage 100~tonnes de propergol, quelle sera la vitesse finale de la fusée ? 
		\item Avec 400~tonnes de propergol au décollage la mise en orbite sera-t-elle possible ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre la mise en orbite souhaitée. 
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} \textbf{Antille-Guyanne juin 2014 (exercice 4) \hfill (6 points)}
 

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = (2 - \ln x) \ln x.\]
 
Sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal est donnée sur la feuille \textbf{ANNEXE}. 


\begin{enumerate}
\item Lire sur le graphique la limite de la fonction $f$ en 0. Retrouver ce résultat à l'aide de l'expression de $f(x)$. 
\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ est définie par $f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ est dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ puis donner les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On appelle A et B les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses (Voir le graphique). Calculer les abscisses des points A et B. 
		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A. Tracer la droite $\mathcal{T}$ sur le graphique donné en annexe.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la fonction $F$ définie par 

\[F(x) = - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x\]

 est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
%\item On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}^2$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine $\mathcal{D}$. 
%		\item Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$. 
%	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE à remettre avec la copie (page suivante)}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-1,-8.5)(12.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.9,-8.5)(12.5,2)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](0,-9)(12.5,2)
\uput[ul](1,0){A}\uput[u](7.4,0){B}\uput[d](10,-0.7){$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{12.5}{2 x ln sub x ln mul}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\end{ExoF}


\begin{ExoF} \textbf{Nouvelle Calédonie nov 2013 (exercice 3) \hfill (7 points)}
 
\textbf{PARTIE A :}


$f$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

$f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. 

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3.5)(13.2,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](-2,-4)(14,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-3.5)(13.2,6)
\psplot[plotpoints=5000]{-1.5}{2.5}{1 2 x mul sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{13.2}{x ln 2 mul 4 x div add 5 sub}
\uput[r](0.3,5){$\mathcal{C}$}\uput[l](2,-3){$\mathcal{T}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
$\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.

$\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées $(1~;~-1)$. 

$\mathcal{T}$ passe par le point de coordonnées (0~;~1).

 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, déterminer $f(1)$. 
		\item Déterminer $f'(1)$. 
		\item Donner une équation de $\mathcal{T}$. 
	\end{enumerate}
\item On sait que $f(x)$ est de la forme $f(x) = 2\ln x+ \dfrac{a}{x} + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Déterminer alors les valeurs de $a$ et $b$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}



\textbf{PARTIE B :}


 
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.  
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. Que peut-on en déduire graphiquement ? 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$, vérifier que \[f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2}.\] 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Établir le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$. 
\item En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation $f(x) = 0$, pour $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à [1~;~3]. 
		\item %On admet que 
		Vérifier que la fonction $F$ définie pour $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$ par 
		
		\[F(x) = (2x + 4) \ln x - 7x\]
		
est une primitive de $f$. 

%Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ en unités d'aires.
 
%On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Polynésie juin 2014 (exercice 4) \hfill (7 points)}
 Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
 
\[f(x) = 6 \ln x + ax + b\] 

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, 

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.
 
Le point A(1~;~1) appartient à $\mathcal{C}_{f}$.
 
$\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale en son point d'abscisse 2.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé $\mathcal{C}_{f}$ (trait plein) ainsi que les courbes $\Gamma$ et $\Omega$.
 
L'une de ces deux courbes est la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ de $f$ et l'autre représente une primitive $F$ de $f$. 

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-9)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-9)(6,4)
\psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.1215}{6}{x ln 6 mul 3 x mul sub 4 add}
\psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0.85}{6}{6 x div 3 sub}
\psplot[plotpoints=80,linewidth=1.5pt,linestyle=dotted]{0.01}{6}{x ln x mul 6 mul x dup mul 1.5 mul sub 2 x mul sub 4.5 sub}
\uput[l](1,3){$\Gamma$}
\uput[ur](3,1.6){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dr](2,-6.2){$\Omega$}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Indiquer laquelle des deux courbes est la représentation graphique de $F$. 
\item Par lecture graphique, déterminer $f(1)$ et $f'(2)$. 
\item Donner l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$. 
\item À l'aide des résultats précédents, montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, 

\[f(x) = 6\ln x - 3x + 4.\]

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
Dans cette partie, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec la courbe $\mathcal{C}_{f}$ fournie dans la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $0$. Interpréter graphiquement cette limite. 
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$,\: $f'(x) = \dfrac{3}{x}(2 - x).$ 
\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis donner les variations de la fonction $f$. 
\item En déduire que la fonction $f$ admet un extremum dont on calculera la valeur exacte. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}

\medskip
 
Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par: 
 
\[H(x) = 6x\ln x  - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x.\]

 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$. 
%\item Calculer la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. 
%\item Donner une interprétation graphique du nombre $I$. 
%\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique, donner la valeur de $F(1)$. 
		\item En déduire une expression de $F(x)$ pour tout $x$ dans l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Antilles Guyane  juin 2013 (exercice 4) \hfill (6 points)}

 Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
 
\[f(x) = \dfrac{1}{x} - \ln x.\] 
 
On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. 

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessous, on donne $\mathcal{C}_{f}$ et les courbes $C$ et 
$\Gamma$. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée $f'$ de $f$, et l'autre une des primitives $F$ de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer laquelle des deux courbes $C$ et $\Gamma$ représente graphiquement $f'$. Justifier. 
		\item Par lecture graphique, donner $F(1)$. 
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(9,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.9,-4)(9,3.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.39}{6.5}{1 x div x ln sub}\uput[r](0.4,3){$\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0.646}{8}{x 1 add x dup mul div neg}\uput[r](0.7,-3.9){$\Gamma$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linestyle=dotted]{0.04}{6.6}{x ln   1  x  sub mul x add}\uput[r](0.05,-2){$C$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Dans cette question, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le dessin. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. 
Interpréter graphiquement cette limite. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on peut écrire : $f'(x) = \dfrac{- x - 1}{x^2}$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis donner le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[H(x) = x - (x - 1) \ln x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire l'expression de la fonction $F$ de la question 1. 
		%\item Calculer $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}