\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Exercices}
\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Primitives}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
\newcommand{\num}{3}	
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha


\begin{ExoF} 
Pour cet exercice, on utilisera les réponses données par le logiciel Xcas.
\\
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{center}
   \includegraphics[scale=0.5]{Exo1}
\end{center}          
          \end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{enumerate}
 \item Soient $f$,$g$,$h$,  les fonctions définies sur $[0;+\infty[$ par
\begin{multicols}{3}
 $f(x)=\dfrac{x(3x+2)}{(3x+1)^2}$ \\
 $g(x)=\dfrac{2}{(3x+1)^3}$ \\
 $h(x)=\dfrac{x^2}{3x+1}$
 \end{multicols}
 Dans chaque cas, entourer la bonne réponses
 \end{enumerate} 
 \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.3}
 \begin{tabular}{|C{1.5cm}*{2}{|C{3cm}}|} \hline
 $g$ est & une primitive de  $f$ & la dérivée de  $f$  \tabularnewline\hline
 $h$ est & une primitive de  $f$ & la dérivée de  $f$ \tabularnewline\hline
 $f$ est & une primitive de  $g$ & une primitive de  $h$  \tabularnewline\hline
  \end{tabular} \renewcommand{\arraystretch}{1}
  \end{center}
   \begin{enumerate}
  \item[\textbf{2.}] Soit $r$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $r(x)=-\dfrac{18}{(3x+1)^4}$.\\
  Donner deux primitives de $r$ sur $[0;+\infty[$. 
\end{enumerate}                                    
\end{minipage}
\end{ExoF}


\noindent\begin{minipage}{12cm}
    \begin{ExoF}
 $f$ est une fonction définie et dérivable sur $[-2;4]$.\\
 Sa courbe représentative est donnée dans le repère ci-contre.\\
 Par lecture graphique, dresser le tableau de variations d'une de ces primitives $F$.
\end{ExoF}
 \end{minipage} \qquad
\begin{minipage}{7cm}
          \includegraphics[scale=1]{Exo3}
\end{minipage}

\begin{ExoF}
 $f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.\\
 Sa courbe représentative est donnée dans le repère ci-dessous à gauche.\\
 Une des trois courbes ci-dessous à droite représente graphiquement une primitive de la fonction $f$.
 \\ Déterminer laquelle en justifiant.
\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{Exo4}
\end{center}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=3x^2+2x-7$. 
 \begin{enumerate}
  \item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=x^3+x^2-7x$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
  \item Déterminer toutes les fonctions $G$ primitives de $f$ sur $\R$.
 \item Déterminer la fonction $G$, primitive de $f$ sur $\R$ telle que $G(-1)=8$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


 \begin{ExoF}
\begin{enumerate}
       \item Déterminer une primitive sur $]0;+\infty[$ de la fonction $f:x\longmapsto x^3+4x^2-5x+1$
       \item Donner les primitives sur $\R$ de $f$.
       \item Déterminer la primitive de $f$ telle que $f(0)=2$
      \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
       \item Déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction $f:x\longmapsto \cos\big(2x-\dfrac{\pi}6\big)$
       \item Donner les primitives sur $\R$ de $f$.
       \item Déterminer la primitive de $f$ telle que $f\left(\dfrac{\pi}3\right)=-1$
      \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item  Sur la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-1;3]$ par 
  $f(x)=3(x^2-2x)$
 \item  Compléter le tableau suivant à partir du graphique obtenu :
   \begin{center}
   \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=3.5,lgt=2.5]{$x$ / 0.7, Signe de $f(x)$/1.2}%
{$-1$ ,$ $,  $ $, $3$}
\tkzTabLine{,,,,,,}
\end{tikzpicture}
 \end{center}
        \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $[-1;3]$ telle que $F(0)=-2$
        \item En utilisant la question 1, établir le tableau de variation de $F$.
        \item A l'écran de votre calculatrice, tracer la courbe représentative de $F$ 
        et vérifier vos résultats.
       \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{ExoF}
 
  \begin{ExoF}
  La courbe suivante $\mathscr D$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$.
  \begin{center}
   \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture*}(-6,-12)(10,12)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray!80,subgridcolor=lightgray](0,0)(-12,-6)(12,6)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6,-12)(10,12)
\psplot{-6}{10}{(-24--8*x)/4}
\rput[bl](4,4){$\mathscr D$ }
\end{pspicture*}
  \end{center}
  \begin{enumerate}
   \item Par lecture graphique :
   \begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
     \item Etablir le tableau de signes de $f$
     \item Déterminer $f(2)$
    \end{itemize}
   \end{multicols}
 \item Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\R$. En justifiant, déduire de la question précédente :
    \begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
     \item le sens de variation de $F$
     \item La valeurs de $F'(2)$
    \end{itemize}
   \end{multicols}
   \item Parmi les courbes ci-dessous, deux sont les courbes de primitives de $f$ : lesquelles ? Pourquoi ?
   \begin{center}
   \newrgbcolor{ttwwqq}{0.2 0.4 0}
\newrgbcolor{ccwwqq}{0.8 0.4 0}
\newrgbcolor{wwqqww}{0.4 0 0.4}
       \psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-6,-12)(10,8)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray!80,subgridcolor=lightgray](0,0)(-12,-12)(12,8)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6,-12)(10,8)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ttwwqq,plotpoints=200]{-8.327841758423427}{27.196937336829738}{x^2-6*x-1}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-8.327841758423427}{27.196937336829738}{x^2-6*x+2}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccwwqq,plotpoints=200]{-8.327841758423427}{27.196937336829738}{-x^2+6*x-1.5}
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200]{-8.327841758423427}{27.196937336829738}{-x^2+6*x-3.5}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-8.327841758423427}{27.196937336829738}{0.1*x^2-0.6*x-2}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=wwqqww,plotpoints=200]{-8.327841758423427}{27.196937336829738}{0.1*x^2-0.6*x}
\rput[bl](-2,7){\ttwwqq{$\mathscr C_4$}}
\rput[bl](6.1,7){\blue{$\mathscr C_1$}}
\rput[bl](-1.88,-10.4){\ccwwqq{$\mathscr C_3$}}
\rput[bl](6.3,-10.4){$\mathscr C_5$}
\rput[bl](-5.5,3.){\red{$\mathscr C_6$}}
\rput[bl](-5.,5.7){\wwqqww{$\mathscr C_7$}}
\end{pspicture*}
   \end{center}
 \item Déterminer graphiquement l'expression de $f$ puis retrouver ces deux expressions.
  \end{enumerate}

 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On lance une balle du troisième étage de la tour Eiffel (279 mètres). \\
 Son mouvement est rectiligne uniformément accéléré par la pesanteur ($9.8$ m.s$^{-2}$)
 \begin{enumerate}
  \item Ecrire la formule $a(t)$ de la fonction accélération en fonction du temps $t$ en secondes
  \item La fonction vitesse $V$ est une primitive de la fonction accélération $a$.\\
  Ecrire la formule $V(t)$ de la fonction vitesse en fonction du temps $t$.
  \item La fonction distance parcourue $D$ est une primitive de la fonction vitesse $V$.\\
  Ecrire la formule $D(t)$ de la fonction distance parcourue en fonction du temps $t$.
  \item \begin{enumerate}
         \item En déduire le temps de chute de la balle
         \item Déterminer la vitesse de la balle au moment de l'impact
         \item Comparer avec la vitesse moyenne de la balle sur le trajet.
        \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF} 
 
 \begin{ExoF}
  Un skieur professionnel se déplace sur une piste rectiligne. Le graphique ci-dessous représente 
  l'évolution de sa vitesse $v$ en m/s en fonction du temps $t$ en secondes.
  \begin{center}
   \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.5)(8,2.67)
\psgrid[xunit=1.0cm,yunit=1cm,subgriddiv=2,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(8,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xunit=0.0666cm,yunit=0.1cm,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=15,Dy=30,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-5)(120,40)
\psline[linecolor=red](0,0)(1,2)(5,2)(7,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](1,2)(1,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](5,0)(5,2)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.5,0.1){$O$}
\rput[bl](1.08,2.12){$A$}
\rput[bl](5.08,2.12){$B$}
\rput[bl](7.08,0.12){$C$}
\rput[bl](7.5,-0.3){$t$ (s)}
\rput[bl](-1,2.4){$v$ (m/s)}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
  \end{center}
On se propose de déterminer l'expression de la distance $d$ en mètres parcourue en fonction du temps $t$ en secondes.\\
Pour chaque phase du mouvement, la fonction vitesse $v$ est la dérivée de la fonction $d$ : ainsi, la fonction $d$ est 
une primitive de la fonction $v$.\\
\partieBac{Phase 1 : Mouvement uniformément accéléré}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $v=2t$.
 \item Déterminer la primitive $F$ de $v$ sur $[0;15]$ telle que $F(0)=0$.
 \item Pour $t$ appartenant à $[0;15]$, la distance $d$ est donnée par $d=F(t)$.\\
 Quelle est la distance $d_0$ parcourue au bout de 15 secondes ?
\end{enumerate}
\partieBac{Phase 2 : Mouvement uniforme}
Durant cette phase, la vitesse est constante : $v=30$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la primitive $G$ de $v$ sur $[15;75]$ telle que $G(15)=225$.
 \item Pour $t$ appartenant à $[15;75]$, la distance $d$ est donnée par $d(t)=G(t)$.\\
 Monter qu'au bout de 75 secondes, le skieur a parcouru 2\,025 m.
\end{enumerate}
\partieBac{Phase 3 : Mouvement uniformément décéléré.}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer une équation de la droite $(BC)$.
 \item En déduire que pour tout $t\in[75;105]$, la vitesse $v$ est donnée par $v=-t+105$
 \item Déterminer la primitive $H$ de $v$ sur $[75;105]$ telle que $H(75)=2\,025$.
 \item Pour $t$ appartenant à $[75;105]$, la distance $d$ est donnée par $d(t)=H(t)$.\\
Montrer que durant tout le trajet, le skieur a parcouru 2\,0475 m.
\end{enumerate}
 \end{ExoF}


\setcounter{partieBac}{0}
\begin{ExoF}
 On étudie le déplacement d'un chariot d'une machine pour découpage laser. Ce déplacement s'effectue
 en trois phases.
 \begin{itemize}
  \item Durant la phase 1, s'étendant sur l'intervalle de temps (en secondes) $[0,2]$, le mouvement du chariot
  est uniformément accéléré et le chariot passe d'une vitesse iinitiale nulle à une vitesse de 10 cm/s.
  \item Durant la phase 2, le chariot évolue à vitesse constante pendant l'intervalle de temps $[2,10]$.
  \item Durant la phase 3, s'étendant sur l'intervalle de temps $[10;12.5]$, le mouvement du chariot
  est uniformément retardé et le chariot passe d'une vitesse de 10 cm/s à une vitesse nulle.
 \end{itemize}
On cherche à déterminer la distance parcourue par le chariot en fonction du temps.\\
\partieBac{Fonction vitesse}
Durant chacune des trois phases du mouvement, l'accélération $a$ du chariot est constante : $a>0$
sur $[0;2]$, $a=0$ sur $[2;10]$ et $a<0$ sur $[10;12.5]$.\\
On rappelle que sur chacun de ces intervalles, la fonction $v$ correspondante à la vitesse du chariot
est une primitive de celle correspondant à l'accélération $a$.
\begin{enumerate}
 \item Tracer la représentation graphique de la fonction $v$ en fonction du temps.
 \item Montrer que si $t\in[0;2]$ alors $v(t)=5t$
 \item Montrer que si $t\in[10;12.5]$ alors $v(t)=-4t+50$
\end{enumerate}
\partieBac{Recherche de la distance parcourue}
On rappelle que pour chacune des phase, la fonction $d$ correspondante à la distance parcourue 
par le chariot en fonction du temps est une primitve de celle correspondant à la vitesse $v$.\\
Dans un fichier géogébra, on a tracé une primitive de $v$ pour les deux première phase.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture*}(-1,-10)(11,110)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-5)(11,110)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-5)(11,110)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{0}{2}{(5*x^2)/2}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{2}{10}{10*x}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Qu'est-ce qui ne convient pas ? Pourquoi ?
 \item De quelle condition initiale pour la fonction $d$ sur l'intervalle $[2;10]$ doit-on tenir compte ?
 \item Quelle est alors cette primitive ?
 \item Déterminer la primitive $d$ de $v$ sur l'intervalle $[10;12.5]$ en précisant la condition initiale.
 \item Déterminer alors la distance parcourue par le chariot au bout de 12.5 secondes.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=6x\left(3x^2-1\right)^5$
  \item Déterminer une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=18\left(6x+1\right)^3$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\noindent\begin{minipage}{7cm}
 \begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Compléter la recherche de primitive ci-contre.
  \item En procédant de même, déterminer les primitives sur $]0;+\infty[$ de la fonction $f$
  définie par $f(x)=\dfrac{10}{(5x+7)^2}$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}         
         \end{minipage}
         \begin{minipage}{10cm}
          \includegraphics[scale=1]{ExoFin}
         \end{minipage}

\begin{ExoF}\\
\begin{minipage}{12cm}
  Dans le mouvement d'un pendule (sans frottement et pour de petites oscillations),  la vitesse angulaire
 en radians par secondes est donnée par :
 $$\theta'(t)=\dfrac{\pi}{10}\cos(2t) \quad \text{ où } t \text{ est un temps en secondes} $$
 Dans ce type  de modèle on sait de plus que l'angle est exprimé en fonction
 du temps sous la forme $\theta(t)=\theta_0\cos(\omega t)$ où
 \begin{itemize}
  \item $\theta_0$ est l'angle maximal du pendule avec la verticale
  \item $\omega=\dfrac{2\pi}T$ avec $T$ période du mouvement en secondes.
 \end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $\theta(t)=\theta_0\cos(\omega t)$
 \item En déduire l'angle maximal $\theta_0$ et la période $T$ du mouvement en secondes
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
 \includegraphics[scale=1]{ExoPendule}
\end{minipage}
\end{ExoF}



\end{document}