\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Activit\'es}
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Partons \`a la d\'erive}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
\newcommand{\num}{1}	
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\pagestyle{empty}
\setcounter{section}{1}
\section{Calculs de limites}
Dans tout ce qui suit :
\begin{itemize}
 \item $u$ et $v$ sont deux fonctions définies sur un même intervalle $I$
 \item $\alpha$ peut être remplacé par $+\infty$ ou $-\infty$ ou un réel $a$.
 \item $L$ et $L'$ désignent deux nombres réels.
\end{itemize}

\subsection{Produit d'une fonction par une constante $k\neq 0$: $ \Lim{\alpha} k\times u(x)$}
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}C{3cm} *{3}{|C{4cm}} |} \hline
\rowcolor{blue!20} Si $\Lim{\alpha} u(x)=$ & \makebox[3em]{$L$}&$+\infty$&$-\infty$\tabularnewline\hline
Alors $\Lim{\alpha}\,~ k\times u(x)=$  \\&  &    &  
\tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
  \end{center}

  \vspace{0.5cm}
\Expls{Déterminer les limites en $+\infty$ et $-\infty$ des fonctions suivantes définies sur $\R$ :
$$f(x)=-3x^2 \qquad \qquad ;\qquad \qquad 
 g(x)=-2x  \qquad \qquad\text{et} \qquad \qquad h(x)=4x^3+7 $$
 Dresser ensuite leur tableau de variations complet.
}

\newpage

\subsection{Somme de deux fonctions : $ \Lim{\alpha} \big(u(x)+v(x)\big)$}
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}C{3cm} *{6}{|C{2.1cm}} |} \hline
\rowcolor{blue!20} Si $\Lim{\alpha} u(x)=$ & \multicolumn{3}{|c|}{\makebox[3em]{$L$}}&\multicolumn{2}{|c|}{$+\infty$}&$-\infty$\tabularnewline\hline
 \rowcolor{blue!20} Et $\Lim{\alpha} v(x)=$  & \makebox[3em]{$L'$} & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$  \tabularnewline \hline
Alors $\Lim{\alpha}\big(u(x)+v(x)\big)=$  &  &  & &  &&   \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
  \end{center}

\Expls{
  \begin{enumerate}
   \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=4x^2-\dfrac{10}x +3$.\\
Déterminer si possible sa limite en $+\infty$ et en $0$.
 \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^3+5x$.\\
Déterminer si possible sa limite en $+\infty$ et en $-\infty$.
 \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=x^3+5x^2$.\\
Déterminer si possible sa limite en $+\infty$ et en $-\infty$.
  \end{enumerate}
}

\newpage



\subsection{Produit de deux fonctions : $ \Lim{\alpha} \big(u(x)\times v(x)\big)$}
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}C{3cm} *{6}{|C{2cm}} |} \hline
\rowcolor{blue!20} Si $\Lim{\alpha} u(x)=$ & \makebox[3em]{$L$}&\multicolumn{2}{|c|}{$L\neq 0$} & \multicolumn{2}{|c|}{0} &$+\infty$ ou $-\infty$\tabularnewline\hline
 \rowcolor{blue!20} Et $\Lim{\alpha} v(x)=$  & \makebox[3em]{$L'$} & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$ \tabularnewline \hline
Alors $\Lim{\alpha}\big(u(x)\times v(x)\big)=$ \\ & &  \multicolumn{2}{|c|}{}
&\multicolumn{2}{|c|}{} &     \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
  \end{center}


\Expls{
\begin{enumerate}
        \item En utilisant les exemples précédents, compléter  :\\
$$\Lim{+\infty}\left(4x^2-\dfrac{10}x +3\right)(-3x^2) = ... \qquad\qquad \text{ et }
\qquad\qquad \Lim{-\infty}\left(4x^2-\dfrac{10}x +3\right)(-3x^2) = ...$$ 
\item \begin{enumerate}
 \item Montrer que $x^3+5x^2=x^3\left(1+\dfrac5x\right)$.
 \item En déduire la limite de $x^3+5x^2$ en $-\infty$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\vspace{6.5cm}

\begin{theo}
~\hfill ~\\
~\hfill ~\\
~\hfill ~\\
\end{theo}


\Expl{
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^3+27x+1$. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $\Lim{-\infty} f(x)$
 \item  Déterminer $\Lim{+\infty} f(x)$
 \item Etablir le tableau de variation complet de $f$. Pour cela :
 \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
 \item Calculer de $f'(x)$
  \item Résoudre $f'(x)=0$
  \item Dresser un tableau avec le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{enumerate}
}
\newpage

\subsection{Inverse d'une fonction : $ \Lim{\alpha} \dfrac{1}{u(x)}$}
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}C{3cm} |C{2cm}|C{7cm}|C{2cm}|} \hline
\rowcolor{blue!20} Si $\Lim{\alpha} u(x)=$ & \makebox[3em]{$L\neq 0$} & 0 &$\pm\infty$\tabularnewline\hline
 &  &  &  \tabularnewline
 Alors $\Lim{\alpha}\dfrac{1}{u(x)}=$ \\ &  &  &  \tabularnewline
 &  &  &  \tabularnewline\hline  \end{tabular}\\
  \end{center}
\vspace{0.5cm}

\Expl{
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ; 2 [ \cup ]2 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac1{x-2}$. \\
On désigne par $\mathscr C$  sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
 \item  Déterminer $\Lim{+\infty} f(x)$ et  $\Lim{-\infty} f(x)$.
 \item Que peut-on en déduire pour $\mathscr C$ ?
 \item Déterminer $\lim\limits_{x \stackrel{>}{\longrightarrow}2 } f(x)$
 et $\lim\limits_{x \stackrel{<}{\longrightarrow}2 } f(x)$
  \item Que peut-on en déduire pour $\mathscr C$ ?
\end{enumerate}
}  
  



  \newpage
  
\subsection{Quotient de deux fonctions : $ \Lim{\alpha} \dfrac{u(x)}{v(x)}$}
On utilisera le fait que 
$$\dfrac{u(x)}{v(x)}=\ldots\ldots \times \ldots\ldots $$

Mais cette méthode n'est pas toujours concluante...

\Expl{Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ; 0.5 [ \cup ]0.5 ; +\infty[$ par 
$f(x)=\dfrac{3x^2+4x-5}{2x-1}$.\\
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Limites en }$0.5$ :
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer  $\lim\limits_{x\stackrel{>}{\longrightarrow}0.5} 3x^2+4x-5$
 \item Déterminer $\lim\limits_{x\stackrel{>}{\longrightarrow}0.5} \dfrac1{2x-1}$
 \item En déduire $\lim\limits_{x\stackrel{>}{\longrightarrow}0.5} f(x)$
 \item En utilisant la même méthode, déterminer $\lim\limits_{x\stackrel{<}{\longrightarrow}0.5} f(x)$
 \item Quelle(s) asymptote(s) peut-on en déduire ?
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Limites en l'infini} :
  \begin{enumerate} 
  \item Déterminer $\Lim{+\infty} 3x^2+4x-5$
 \item Déterminer $\Lim{+\infty} \dfrac1{2x-1}$
  \item Peut-on alors déterminer la limite de $f(x)$ en $+\infty$ ? Pourquoi ?
 %\item Montrer que \quad $3x^2+4x-5=3x^2\left(1+\dfrac{4}{3x}-\dfrac5{3x^2}\right)$ \qquad
 %et que \qquad $2x-1=2x\left(1-\dfrac1{2x}\right)$.
 %\item Utiliser ces nouvelles écrires pour changer montrer que 
 %$$f(x)=\dfrac{3x}{2}\times \dfrac{1+\dfrac{4}{3x}-\dfrac5{3x^2}}{1-\dfrac1{2x}}$$
 %\item En déduire alors $\Lim{+\infty} f(x)=+\infty$
  %\item En utilisant la même méthode, déterminer $\Lim{-\infty} f(x)=+\infty$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}
  
 
\vspace{2.5cm}
%\newpage
\subsection{Fonctions composées  : $u^n$ avec $n\in\N$ et $\sqrt{u}$ avec $u>0$}
\setcounter{Acti}{3}
\begin{act}
Soient $u$ et $v$ définies sur $\R$ par $\qquad u(x)=-2x+5 \qquad$ et $\qquad v(x)=4x^2-5x+1$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les limites de $u$ et $v$ en $+\infty$ et en $-\infty$
 \item On définit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par 
 $$f(x)=\big(u(x)\big)^3=(-2x+5)^3
 \qquad \text{ et }  \qquad g(x)=\big(v(x)\big)^{100}=(4x^2-5x+1)^{100} $$
  A votre avis, comment déterminer les limites de $f$ et  $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$ ? 
 \item  On définit désormais les fonctions $h$ et $k$ par 
 $$h(x)=\sqrt{u(x)}=\sqrt{-2x+5}
 \qquad \text{ et }  \qquad k(x)=\sqrt{v(x)}=\sqrt{4x^2-5x+1} $$
\begin{enumerate}
  \item Résoudre les inéquations $\quad u(x)\geq 0$ \quad et \quad $v(x)\geq 0$
  \item En déduire les domaines de définition des fonctions $f$ et $g$.
  \item A votre avis, comment déterminer  $\Lim{-\infty}f(x)$,  $\Lim{-\infty}g(x)$ et $\Lim{+\infty}g(x)$ ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}








\end{document}