\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e} 
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Ln}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\newcommand{\num}{4}	
\newcommand{\tps}{1h}
\newcommand{\coef}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha


\begin{ExoF}  \hfill \textbf{(3 points)}\\
 Résoudre les deux inéquations suivantes :
 $$3^n\geq 1000 \qquad \qquad\qquad\qquad 0.3^n \leq 0.001$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(3 points)}\\
 Compléter avec le plus d'informations possibles le tableau suivant :
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=3,lgt=3]{$x$/1, Signe de $ (\ln(x))'=\qquad $/2, Variation  de $\ln x$/3} 
  {$0$,$1$,$e$,$+\infty$}%
  \tkzTabLine {,,}%
  \tkzTabVar {-/ $ $ , R+ /$ $ }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{ExoF}


\newpage

\begin{ExoF} \textbf{ \hfill (14 points)} %Antilles Guyane  juin 2013

 Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
 
\[f(x) = \dfrac{1}{x} - \ln x.\] 
 
On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. 

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessous, on donne $\mathcal{C}_{f}$ et les courbes $C$ et 
$\Gamma$. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée $f'$ de $f$, et l'autre une des primitives $F$ de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer laquelle des deux courbes $C$ et $\Gamma$ représente graphiquement 
		$f'$ et laquelle représente graphiquement $F$. \textbf{Justifier}. 
		\item Par lecture graphique, donner $F(1)$. 
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(9,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.9,-4)(9,3.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.39}{6.5}{1 x div x ln sub}\uput[r](0.4,3){$\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0.646}{8}{x 1 add x dup mul div neg}\uput[r](0.7,-3.9){$\Gamma$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linestyle=dotted]{0.04}{6.6}{x ln   1  x  sub mul x add}\uput[r](0.05,-2){$C$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Dans cette question, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le dessin. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en détaillant les étapes, la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. \\
Interpréter graphiquement cette limite. 
		\item Déterminer, en détaillant les étapes, la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Montrer que l'on peut écrire : $f'(x) = \dfrac{- x - 1}{x^2}$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$ puis donner le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[H(x) = x - (x - 1) \ln x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire l'expression de la fonction $F$ de la question 1. 
		%\item Calculer $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}











\end{document}
