\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Devoir Commun (4h)} 
\newcommand{\ch}{Chapitres 1 \`a 3}
\newcommand{\Ch}{Correction}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\newcommand{\num}{3}	
\newcommand{\tps}{4h}
\newcommand{\coef}{4}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha


\begin{ExoF}  \hfill \textbf{(11 points)}
\begin{enumerate}
 \item Grâce au graphique, on conjecture que :
 \begin{enumerate}
  \item $y=1$ et $x=1$ sont asymptotes à la courbe représentative de $f$.
  \item $\Lim{+\infty}f(x)=1$ et $\Lim{1^+}f(x)=+\infty$ 
  \item La solution de l'équation $f(x)=2$ est environ 9
  \item    \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=3.5,lgt=2.5]{$x$ / 0.7, variations de $f(x)$/1.2}%
{$1$ , $+\infty$}
\tkzTabVar{+/$+\infty$, -/$1$}
\end{tikzpicture}
 \end{enumerate}
 \item $\Lim{+\infty} \dfrac8x = 0$ \quad ;  \quad  $\Lim{+\infty} \dfrac{12}{x^2} = 0$ 
 \hfill Donc  \quad  $\Lim{+\infty} 1+\dfrac8x + \dfrac{12}{x^2}= 1+0+0=1$
 \item $\Lim{0^+} \dfrac8x = +\infty$  \quad ;  \quad  $\Lim{0} \dfrac{12}{x^2} = +\infty$ 
 \hfill Donc  \quad  $\Lim{+\infty} 1+\dfrac8x + \dfrac{12}{x^2}= +\infty$
 \item \begin{enumerate}
        \item $f(x)=1+8\times \dfrac1x + 12 \times \dfrac1{x^2}$ \\
 $f'(x)=0+8\times\dfrac{-1}{x^2}+12\times\dfrac{-2}{x^3}=-\dfrac8{x^2}-\dfrac{24}{x^3}=\dfrac{-8x}{x^3}-\dfrac{24}{x^3}
 =\dfrac{-8x-24}{x^3}$
\item[\textbf{b. et c.}] $f'(x)=0 \stackrel{x\neq 0}{\iff} -8x-24=0 \iff -8x=24 \iff x=-3$\hfill D'où le tableau\\
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2.5,lgt=2]{$x$ / 0.7, signe de $-8x-24$ / 1,signe de $x^3$ / 1,signe de $f'(x)$ / 1,
variations de $f$/1.2}%
{$0$ , $+\infty$}
\tkzTabLine{,-,}
\tkzTabLine{,+,}
\tkzTabLine{,-,}
\tkzTabVar{+/$-\infty$, -/$1$}
\end{tikzpicture}
       \end{enumerate}
\item la solution de $f(x)=2$ est comprise entre $9,2$ et $9,3$
\item Finalement, on a confirmé aucune conjecture.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}\hfill \textbf{(11 points)}
 \begin{enumerate}
  \item Le TGV freine, donc sa vitesse décroit tandis que sa vitesse croit. \\
  Ainsi, la courbe $C_1$ est celle de $V$ tandis que la courbe $C_2$ est celle de $D$.
  \item Le temps d'arrêt est $t=60$ s, car c'est à cet instant que la courbe $C_1$ coupe l'axe des abscisses.
  \item On regarde $C_2$ et on lit l'image de $t=60$. On trouve alors que la distance est de $42\,000$ m.
\item \begin{enumerate}
       \item $360$ km/h  représente $360\,000$ m/h car $1$ km $=1000$ m.\\
       De plus $1$ h contient $3600$ secondes. Donc la vitesse initiale est $\dfrac{360\,000}{3\,600}=1\,000$ m/s.\\
       Ainsi, $V(0)=1\,000$
       \item $V$ est une primitive de l'accélération $a$. Or $a(t)=-0.5t$.\\
       Donc on sait que $V(t)=-0.5\dfrac{t^2}2+k=-0.25t^t+k$ où $k$ est une constant à déterminer grâce à la condition
       initiale $V(0)=1000$.\\
       Or, $V(0)=1000 \iff -0.25\times 0^2+k=1000 \iff k=1000$.\\
       On retrouve bien $V(t)=-\dfrac14t^2+1000$.
      \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Il est évident que $D(0)=0$
        \item $D$ est une primitive de $V$ donc on sait que $D(t)=-0.25\dfrac{t^3}3 + 1000 t +k$ où $k$
        est une constante à déterminer grâce à la condition initiale $D(0)=0$.\\
        Or $D(0)=-\dfrac{0.25}3 \times 0 + 1000 \times 0 +k=k$. \quad Donc $k=0$ et 
        $D(t)=-0.25\dfrac{t^3}3 + 1000 t$
       \end{enumerate}
 \item $V(t)=0 \iff -\dfrac14t^2+1000 =0 \iff -\dfrac14t^2=-1000 \iff t^2=4000 \stackrel{t>0}{\iff} t=\sqrt{4000} \simeq 
 63.24$\\
 Il s'agit que temps mis par le TGV pour s'arrêter après le coup de frein.
 \item On cherche donc $D(\sqrt{4000})=-0.25\dfrac{\sqrt{4000}^3}3 + 1000 \sqrt{4000} \simeq 42\,164$ m
  \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(6 points)}
 \begin{enumerate}
  \item On sait que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de $I$.\\
  Suivant les énoncés on a donc $F'(4)=f(4)=6$ ou $F'(3)=f(3)=2$
  \item ~
  \item \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2.5,lgt=3]{$x$ / 0.7, signe de $f(x)=F'(x)$ / 1, variations de $F$/1.2}%
{$-\infty$, $-4$, $0$ ,$2$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/$ $, -/$ $, +/$ $, -/$ $, +/$ $}
\end{tikzpicture}
\item D'après le tableau de variations établi, on peut clairement éliminer 
\begin{itemize}
 \item pour la version A : les courbes 1 et 3. La courbe 2 peut donc représenter $F$
 \item pour la version B : les courbes 2 et 3.  La courbe 1 peut donc représenter $F$
\end{itemize}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(12 points)}
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item $y=3x-4$
  \item $-\dfrac23$
  \item $f'(x)=-\dfrac2{(x-3)^3}$ \\
  et \og $f$ est strictement décroissante sur $[5;6]$ \fg
  \item $\dfrac1{10}(2x+3)^5$
  \item \og $g$ est une primitive de $f$ \fg \\et \og $f$ est la dérivée de $h$\fg 
\item \includegraphics[scale=0.5]{courbe1}
\item $\Lim{-\infty}f(x)=4$ et $\Lim{-1^+}f(x)=-\infty$
\item $y=-3$ et $x=-1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}








\end{document}
