\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\typedoc}{Correction DS1 (D\'eriv\'ee 1h)} 
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{D\'eriv\'ee}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\newcommand{\num}{1}	
\newcommand{\tps}{1h}
\newcommand{\coef}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}

\DocCha




\noindent \begin{minipage}{8cm}
 \begin{ExoF}\hfill \textbf{(4.5 points)}
 $$ f(-6)=-1\qquad\qquad\qquad\qquad f(-4)=3$$
$$ f'(-6)=4.5\qquad\qquad\qquad\qquad f'(-4)=0$$
$$f(0)=-1 \qquad\qquad\qquad\qquad f'(-2)=-1.5 $$
\end{ExoF}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{center}
 \psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-7,-3)(3,5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=lightgray](0,0)(-7,-3)(3,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-7,-3)(3,5) 
\HermiteDDL(-7,-6,5,0)(-6,-1,4.5,1.2)(-4,3,0,0.8)(-2,1,-1.5,1.2)(0,-1,0,1)(1.5,0,1.8,0)(4,10,7,0) 
 \uput[ur](2.5,1){$\mathscr C_f$}
 \psdot(-5,3.5) \psdot(-3,2.5)
\end{pspicture*} 
\end{center} 
\end{minipage}




\begin{ExoF} Pour chaque fonction $f$ suivante, calculer la dérivée $f'(x)$ \hfill \textbf{(6 points)}
\begin{itemize}
 \item $f(x)=4x^5-5x^4+\dfrac{x^3}{10}+x+23$ : 
 \\ $f'(x)=4\times 5x^4-5\times 4x^3+\dfrac{3x^2}{10}+1+0$ \hfill Donc \quad \fbox{$f'(x)=20x^4-20x^3+\dfrac3{10}x^2+1$}
 \item $f(x)=\dfrac{3x^2-4}{x-1}$ : \hfill on utilise la 
 formule \quad \fbox{$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$}\\
  $\begin{array}{llcl}
 \text{Avec }  & u(x)=3x^2-4 & \text{ et } & v(x)=x-1\\
 \text{Alors } & u'(x)=6x & \text{ et } & v'(x)=1       
       \end{array}$\\
 D'où $f'(x)=\dfrac{6x\times(x-1)-1 \times (3x^2-4)}{(x-1)^2}=\dfrac{6x^2-6x-3x^2+4}{(x-1)^2}$ \hfill Donc \quad \fbox{$f'(x)=\dfrac{3x^2-6x+4}{(x-1)^2}$}
 \item $f(x)=(-2x+17)^{100}$ : \hfill on utilise la 
 formule \quad \fbox{$\left(u^n\right)'=n\times u' \times u^{n-1}$}\\
  $\begin{array}{llcl}
 \text{Avec }  & u(x)=-2x+17 & \text{ et } & n=100\\
 \text{Alors } & u'(x)=-2 & \text{ et } & n-1=99       
       \end{array}$\\
  D'où $f'(x)=100\times (-2) \times (-2x+17)^{99}$ \hfill Donc \quad \fbox{$f'(x) = -200(-2x+17)^{99}$}
\end{itemize}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Sur $[-5;5]$ par $g(x)=x^3+2,4x^2-2,4x+1$
\hfill \textbf{(7 points)}
\begin{enumerate}
 \item %Calculer $g'(x)$.\\
 $g'(x)=3x^2+2,4 \times 2x-2,4 \times 1 + 0$ \hfill Donc \quad  \fbox{$g'(x)=3x^2+4,8x-2,4$}
 \item %Etudier le signe de $g'(x)$.\\
 \textbf{Pour étudier le signe de $g'(x)$ on commence par chercher $x$ tel que $g'(x)=0$}.\\
 Or  $g'$ est un polynôme de degré 2. \quad Donc on calcule $\Delta = b^2-4ac = 4,8^2-4\times 3 \times (-2,4) =51,84 $.\\
 Ainsi les racines de $g'$ sont \quad $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4,8-\sqrt{51,84}}{6}=\dfrac{-4,8-7,2}6=\dfrac{-12}{6}=-2$\\
 Et \quad $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4,8+7,2}6=\dfrac{2,4}{6}=0,4$\\
 De plus, la parabole représentative de $g'$ est ouverte vers le haut (car $a>0$). Donc $g'(x)$ est positif 
 à l'extérieur de ses racines.
 On obtient le tableau suivant :
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[ lgt=3, espcl=3]{$x$/0.5,Signe de $g’(x)$/1,Variations de $g$/3}
{ $-5$ , $-2$ , $0.4$ , $5$}%
\tkzTabLine { , + , z , - , z , + , }
\tkzTabVar {-/$g(-5)$ , +/$ g(-2)$ ,-/$g(0.4)$ ,  +/$g(5)$}
\end{tikzpicture}
 \end{center}
 \item %En déduire le tableau de variations de $g$ sur $[-5;5]$.\\
 On a déduit la dernière ligne du tableau grâce aux signes de $g'(x)$. \\
 De plus, \qquad $g(-5)=(-5)^3+2,4\times (-5)^2-2,4\times(-5)+1=-52$ \qquad $g(-2)=...=4,7$ \\
 Et \qquad\qquad\quad $g(0,4)=...=0,488$  \qquad $g(5)=...=174$
 \item %On appelle $\mathscr C_g$ la courbe représentative de $g$.\\
 %Déterminer l'équation de la tangente à $\mathscr C_g$ au point d'abscisse 1.\\
 L'équation générale d'une tangente au point d'abscisse $a$ est \quad \fbox{$T_a:y=f'(a)(x-a)+f(a)$} \quad  (pour une fonction $f$).\\
 Ici $a=1$ donc l'équation de la tangente est 
\quad $T_1:y=g'(1)(x-1)+g(1) $\\
 Or $g'(1)=3\times 1^2+4,8\times 1-2,4=5,4$ \quad et \quad $g(1)=1^3+2,4\times 1^2-2,4\times 1+1=2$\\
 D'où l'équation est \quad $y=5,4(x-1)+2$ \quad ou encore plus simplement \hfill \fbox{$T_1:y=5,4x-3,4$}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} \hfill \textbf{(2.5 points)}\\
\begin{center}
   \includegraphics[scale=0.5]{Exo4}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Soient $f$,$g$,$h$,  les fonctions définies sur $[0;+\infty[$ par
\begin{multicols}{3}
 $f(x)=\dfrac{x(3x+2)}{(3x+1)^2}$ \\
 $g(x)=\dfrac{2}{(3x+1)^3}$ \\
 $h(x)=\dfrac{x^2}{3x+1}$
 \end{multicols}
 Dans chaque cas, entourer la bonne réponse
 \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.3}
 \begin{tabular}{|C{2.5cm}*{2}{|C{6cm}}|} \hline
 $g$ est & une primitive de  $f$ & \roundbox{\textbf{la dérivée de  $f$}} \\car $f'=g$ (ligne 2)   \tabularnewline\hline
 $h$ est & \roundbox{\textbf{une primitive de  $f$}} \\car $h'=f$ (ligne 1) & la dérivée de  $f$ \tabularnewline\hline
 $f$ est & \roundbox{\textbf{une primitive de  $g$}} \\car $f'=g$ (ligne 2) & une primitive de  $h$  \tabularnewline\hline
  \end{tabular} \renewcommand{\arraystretch}{1}
  \end{center}
  \item Soit $r$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $r(x)=-\dfrac{18}{(3x+1)^4}$.\\
  Donner une primitive $R$ de $r$ sur $[0;+\infty[$.\\
  D'après XCas, une primitive de $r$ sur $[0;+\infty[$ est $R=g$ car $R'(x)=g'(x)=r(x)$ (ligne 3) .
\end{enumerate}



\end{ExoF}











\end{document}
