\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Cours}
\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Calculs d'aires et Int\'egrales}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{6}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\DocCha


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours

\section{Aire \og sous une courbe \fg d'une fonction continue positive}
\subsection{Définition géométrique de l'intégrale}
On se place dans un repère orthogonal \Oij du plan. \\
On considère une fonction $f$ qui est \textbf{continue}, ie dont la courbe se trace avec un trait continue, et 
\textbf{positive} sur un intervalle $[a;b]$.\\
on voudrait calculer l'aire du domaine colorié \og sous la courbe représentative de $f$ \fg, ie l'aire 
située entre la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

\begin{center}
 \includegraphics[]{intro}\\
 Cette aire s'exprime en unités d'aire (u.a.) : aire du rectangle de côté 1 unité sur chaque axe.
 Demander si quelqu'un a des idées de méthodes pour calculer cette aire 
 puis montrer le fichier géogébra de la méthode des rectangles (pour 
 justifier ensuite la notation $dx$ dans l'intégrale et le $\int$)
\end{center}

On note cette aire $\int_a^b f(x)dx$ , ce qui se lit \og Intégrale de $a$ à $b$ de $f$ \fg.


\Rqs{
\item La notation $f(x)dx$ correspond à l'aire d'un rectangle de hauteur $f(x)$ et de largeur infiniment 
proche de $0$,
que l'on note $dx$. On doit ensuite sommer toutes ces aires, d'où la forme de $S$ que prend l'intégrale.
\item Si $f$ est positive, il est clair que son intégrale est alors positive.
}

\Expls{
\begin{enumerate}
 \item Représenter graphiquement un domaine d'aire $\int_1^4 2dx$ et calculer cette aire.
 \item Représenter graphiquement un domaine d'aire $\int_0^1 (2-x)dx$ et calculer cette aire.
\end{enumerate}
}
\newpage
\subsection{Méthode de calcul d'une intégrale}

\begin{theo}
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et $F$ l'un de ses primitives sur $[a;b]$.\\
 Alors l'aire sous la courbre représentative de $f$ est donnée par $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$
\end{theo}

\begin{multicols}{2}
\Expl{Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=2-x^2$ sur $[1;4]$.
Calculer $\int_1^4 (2-x^2)dx$. }
\Sol{On suivra toujours ce modèle de rédaction :\\
\begin{eqnarray*}
 \int_1^4 (2-x^2)dx&=&\left[2x-\dfrac{x^3}3\right]_1^4 \qquad\qquad \text{On cherche une primitive $F$  de } f\\
 && \qquad\qquad\qquad\qquad \text{et on l'écrit entre crochets avec les bornes}\\
 &=& 2\times 4-\dfrac{4^3}3 \qquad\qquad\text{on écrit } F(b)\\
 && - \left(2\times 1-\dfrac{1^3}3\right) \qquad\qquad\text{on écrit } -F(a) \text{avec des parenthèses !!}\\
 &=& 8-\dfrac{256}3-\left(2-\dfrac13\right) \qquad\qquad\text{on compte}\\
 &=& ...
\end{eqnarray*}
}
\begin{center}
\includegraphics[]{expl1} 
\end{center} 
\end{multicols}



\Expl{
\begin{enumerate}
 \item On considère la fonction $f:x\longmapsto x^2+1$ et on nomme $D$ le domaine délimité par la courbe de la
 fonction $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=2$.
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
 \item Hachurer le domaine $D$ sur le graphique ci-dessous.
 \item Calculer l'aire de D  \\\\\\
\end{enumerate}
 \begin{center}
  \includegraphics[scale=0.7]{expl0}
 \end{center}
\end{multicols}
\item Calculer l'aire sous la courbe représentant la fonction $x\longmapsto \dfrac{20}{x}$ sur l'intervalle $[1;10]$
\item Calculer l'aire sous la courbe représentant la fonction $x\longmapsto \dfrac{20}{x+2}$ sur l'intervalle $[1;10]$
\item Calculer l'aire sous la courbe représentant la fonction $x\longmapsto \dfrac{20x}{x^2+2}$ sur l'intervalle $[1;10]$
\end{enumerate}
}

\subsection{Propriétés de l'intégrale}

\begin{prop}
 On considère une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.
 \begin{itemize}
  \item linéarité 1 : Si $k$ est un réel positif quelconque, alors 
  $$\int_a^b k\times f(x)dx = k \times \int_a^b f(x)dx$$
  \item linéarité 2 : Si $g$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ alors 
  $$\int_a^b \left(f(x) + g(x) \right)dx =  \int_a^b f(x)dx + \int_a^bg(x)dx$$
  \item Relation de Chasles : Si $c\in[a;b]$ alors $$\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx = \int_a^b f(x)dx$$
 \end{itemize}
\end{prop}

\Expl{
\includegraphics[]{proprietes}
}

\section{Aire et intégrale d'une fonction de signe quelconque}
Cf cours de Fabrice, texto (merci !!)


\end{document}
