\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Les Fonctions Logarithmes}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{3}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{wire.eps}{The Wire}{David Simon}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Sur écoute (The Wire) est une série télévisée américaine, créée par David Simon et Ed Burns.\\
Elle a pour sujet la criminalité dans la ville de Baltimore, à travers la vision de ceux qui la vivent au 
quotidien : policiers, trafiquants en tous genres, politiques, enseignants, journalistes, résidents de 
Baltimore, etc.
\\
Avec un aspect de quasi-documentaire par son réalisme et son non-manichéisme, la série est acclamée par la 
critique, bien qu'elle n'ait pas connu un succès commercial important. Elle est souvent considérée comme la 
meilleure série télévisée jamais diffusée à la télévision, et l'une des fictions les plus abouties dans les 
années 2000, notamment pour sa représentation réaliste quasi littéraire de la vie urbaine, et son 
exploration profonde des thèmes socio-politiques de l'Amérique. 
\\
Le tour de force de la série est de s'engager, sur le plan social, en montrant sans détour les pans les 
plus sombres du décor américain, son revers le plus inavouable, tout en mettant en scène une multitude de 
points de vue réalistes qui multiplient les questions dérangeantes sans jamais proposer de solution miracle. Il n'y a pas de fausse objectivité rassurante et pas de subjectivité accusatrice sous-jacente, l'épisode ne fait que montrer le plus passivement possible, il en résulte un étrange bourdonnement qui persiste longtemps après sa diffusion.
}{0.5}{0.5}{
\item Découvrir les fonctions qui transformeent les produits en sommes
 \item Etudier la fonction Ln
 \item Etudier une fonction du type $x\longmapsto \ln(u(x))$
}

\TITRE{voilier.eps}{0.4}


\begin{Intro}{Au fil du temps}{
Comme souvent en mathématiques, 
un même objet  (ici le logarithme
népérien) peut être défini de différentes manières (nous en verrons deux) en aboutissant malgré tout 
aux mêmes propriétés~: le procédé de fabrication change, mais le produit
fini est le même.
}
\end{Intro}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb

\section{La fonction Ln}
\subsection{Découverte graphique de la fonction Ln}

\begin{act}
Votre calculatrice possède une touche $\ln$ pour calculer l'image d'un nombre par la fonction appelé \og logarithme népérien \fg
(du nom de John Napier, XVIII$^e$ qui découvrit les fonctions logarithmes).
\begin{enumerate}
 \item Vérifiez que $\ln(5) \simeq 1.609$
 \item Testez la fonction $\ln$ avec un nombre négatif de votre choix. Que constatez-vous ?
 \item Observez la représentation graphique de la fonction $\ln$ sur votre calculatrice puis 
 conjecturez graphiquement les réponses aux questions suivantes :
 \begin{enumerate}
  \item Quel est l'ensemble de définition de la fonction $\ln$ ?
  \item Quel est le sens de variation de la fonction $\ln$ ?\\
  En déduire le signe de sa fonction dérivée.
  \item La fonction $\ln$ possède-t-elle des asymptotes ? Si oui, préciser les équations.
  \item Quelles sont les limites de la fonction $\ln$ aux bornes de son ensemble de définition.
  \item Résumer cela dans un tableau.
  \item Combien de solutions ont les équations $\ln(x)=0$ et $\ln(x)=1$ ? Pourquoi ?
   \end{enumerate}
\item En utilisant un tableau de valeurs, résoudre ces équations à $10^{-3}$ près. 
\item Votre calculatrice contient également une touche $e^x$. 
\begin{enumerate}
 \item Calculer $\ln(e^1)$.
 \item Conjecturer la valeur de $e^1$  à $10^{-3}$ près puis vérifier à la calculatrice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

La fonction inverse $x\longmapsto \dfrac1x$ admet des primitives sur $]0;+\infty[$. Parmi celles-ci, on s'intéresse
à celle qui s'annule pour $x= 1$.

\begin{defi}
 On appelle fonction logarithme népérien, notée $\ln$, l'unique primitive de la fonction 
 inverse $x\longmapsto\dfrac1x$ sur $]0;+\infty[$ qui s'annule pour $x=1$.\\
 Ainsi, la fonction $\ln:x\longmapsto \ln(x)$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$ et
 pour tout $x>0$ on a $\big(\ln(x)\big)'=\dfrac1x$.\\
 De plus $\ln(1)=0$
\end{defi}

Pour tout $x>0$ on a $\big(\ln(x)\big)'=\dfrac1x>0$ donc la fonction $\ln$ est strictement croissante
sur $]0;+\infty[$.\\

De plus, on admet que $\Lim{0^+}\ln(x)=-\infty$ et $\Lim{+\infty}\ln(x)=+\infty$ : l'axe des ordonnées
$x=0$ est asymptote verticale à la courbe réprésentative de la fonction $\ln$ et il n'y a
pas d'asymptote horizontale.\\

Le tableau suivant résume l'ensemble de ces informations :
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=6,lgt=3]{$x$/1, Signe de $ \dfrac{1}{x} $/1, Variation  de $\ln x$/3} {$0$  ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,}%
  \tkzTabVar {-/ $-\infty$ , + /$+\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$1$} {$0$}
  \tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$e$} {$1$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\Rqs{
\item Ainsi chaque nombre de $]-\infty;+\infty[$ possède un unique antécédent par la fonction $\ln$. \\
On appelle $e$ l'unique antécédent de $1$ : $\ln(e)=1$. Pour information $e\simeq 2.718$
\item 
De plus, si $a$ et $b$ sont des réels positifs, alors :
$$\ln(a)=\ln(b) \iff a=b$$
$$\ln(a)<\ln(b) \iff a<b$$
$$\ln(a)>\ln(b) \iff a>b$$
En particulier $\ln(x)<0 \iff 0<x<1$ et $\ln(x)>0 \iff x>1$ (rajouter le signe de $\ln(x)$ dans le tableau)
}

\Expls{$\ln(3x+4)=0 \iff 3x+4=1 \iff 3x=-3 \iff x=-1$\\
$\ln(3x+4)=1 \iff 3x+4=e \iff 3x=e-4 \iff x=\dfrac{e-4}{3}$\\
$\ln(x^2)=\ln(4) \iff x^2=4 \iff x=2 \text{ ou } x=-2$ \hfill Vérifier que $x^2>0$ pour les deux solutions !\\
$\ln(x^2-3)=\ln(2x) \iff x^2-3=2x \iff x^2-2x-3=0 \iff ... \iff x=-1 \text{ ou } x=3$\\
Attention ! Si $x=-1$ alors $x^2-3<0$ donc $x=-1$ ne peut pas être solution !\\
$\ln(x-3)>0 \iff x-3>1 \iff x>4$\\
$\ln(1-x)>1 \iff 1-x>e \iff 1-e>x$\\
$\ln(x+3)>\ln(2x)$ ...
}
\begin{center}
 \psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-3.5)(7,3.1)
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{7} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{3.1}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-0.5,-3.5)(7,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.2cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=lightgray, subgriddiv=1](-5,-35)(70,31)
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x ln}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.01}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\psdot(2.718,1)
\uput[dl](2.7,0){$e$}
\uput[l](6,2.5){$y=\ln(x)$}
\psline[linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,1)(0,1)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Expl{
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^{+*}$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.\\
Dresser son tableau de variation puis conjecturer ses limites en cas de FI.
}

\begin{theo}[Limites à connaître par coeur]
\begin{enumerate}
\item $\Lim{0^+}\ln x=-\infty\qquad \text{et}\qquad \Lim{+\infty}\ln x=+\infty$
\item $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0 \qquad $ et  $\qquad  \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0$, avec $n\in\N^*$\\
%\item $ \Lim{0^+} x\ln x=0 \qquad $ et $\qquad \Lim{0^+} x^n\ln x=0$, avec $n\in\N^*$\\
% \item $ \Lim{1} \dfrac{\ln x}{x-1}=1$
\end{enumerate}
\end{theo}

\Expls{Déterminer les primitives de la fonction  $f$ définie sur $\R^{+*}$ par $f(x)=4x+\dfrac1x$.\\

Déterminer les primitives de la fonction  $g$ définie sur $\R^{+*}$ par $g(x)=\dfrac3x+\dfrac4{x^2}$.\\
}

\newpage

\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x+\ln(x)$. On note $\mathscr C$ sa courbe 
 représentative dans un repère orthogonal.
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Calculer $f'(x)$
         \item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\mathscr C$ au point $A(1;1)$
        \end{enumerate}
 \item A l'écran de la calculatrice, tracer la courbe $\mathscr C$ et la droite $T$ pour vérifier 
 vos résultats.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=1-5\ln(x)$. 
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer les limites suivantes :
  $$\Lim{+\infty}f(x)\qquad \text{et}\qquad \Lim{0^+}f(x)$$
  \item \begin{enumerate}
         \item Calculer $f'(x)$
         \item Dresser le tableau de variations de $f$
        \end{enumerate}
 \item A l'écran de la calculatrice, tracer la courbe $\mathscr C$ pour vérifier 
 vos résultats.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=1-5\ln(x)$. 
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer $ \Lim{0^+}f(x)$. Interpréter graphiqument le résultat obtenu.
  \item \begin{enumerate}
         \item Calculer $f'(x)$
         \item Dresser le tableau de variations de $f$
        \end{enumerate}
 \item A l'écran de la calculatrice, tracer la courbe $\mathscr C$ pour vérifier 
 vos résultats.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R^{+*}$ par $f(x)=\dfrac1x$ telle
 que $F(2)=4$.
\end{ExoF}

\subsection{Propriétés algébriques des logarithmes}
\begin{act}
 Compléter un tableau de valeurs de la fonction $\ln$ 
 et tenter de trouver la relation $\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)$.\\
 Parler du côté historique.
\end{act}

\begin{theo}
La fonction $\ln$ transforme les produits en sommes, ie pour tout $a>0$ et $b>0$ on a :
$$ \ln ab=\ln a+\ln b$$  
\end{theo}

\Expl{$\ln(6)=\ln(2)+\ln(3)$
}

\begin{coro}
Pour tous $a$ et $b$ strictement positif et pour $n\in\Z$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln \left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln b$
\item $ \ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$
\item $\ln \left(a^n\right)=n \ln (a)$
\item $\ln \sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\ln a$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{coro}

\Expl{$\ln(64)=\ln(2^6)=6\ln(2)$ \qquad et \qquad $\ln(0.01)=-2\ln(10)$\\
\textbf{Application} : Résoudre $(1.07)^n\geq 2$ \qquad et \qquad $\ln(0.8)^n\geq 0.3$
}

\begin{ExoF}
 Résoudre $(0.9)^n\leq 0.5$ \qquad et \qquad $\ln(1.2)^n\geq 15$
\end{ExoF}

\subsection{Les fonctions du type $x\longmapsto \ln\big(u(x)\big)$}

Limites + dérivée + primitives

\section{Les fonctions Log$_a$}
\begin{act}
 En fait, la fonction logarithme népérien n'est pas la seule à transformer les produits en sommes.\\
Toutes les fonctions logarithmes le font, en particulier la fonction logarithme décimal, notée Log,
définie sur $]0; +\infty[$ par Log : $x \longmapsto \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$.\\
Faire un tableau de valeur pour observer cela avec les puissance de 10, faire observer sa courbe à la TI
\end{act}

\begin{defi}
 Les fonctions logarithmes en base a ...
\end{defi}

\begin{prop}
 les mêmes propriétés algébriques que ln
\end{prop}

\Expl{
Des études statistiques montrent que, pour des intensités acoustiques et des fréquences moyennes, 
la sensation perçue par l'oreille humaine varie approximativement comme le logarithme de l'intensité
acoustique.\\
Le niveau sonore $L$ d'un son, en décibel (dB), est donné en fonction de l'intensité
acoustique $I$, en watt par mètre carré (w/m$^2$), par la relation 
$$L=10log\dfrac{I}{10^{-12}}$$
Le seuil d'audibilité $L=0$ est obtenu par $I=10^{-12}$ w/m$^2$.\\
Le seuil de douleur (seuil maximum supportable par l'oreille) est $L=130$ dB.\\
On se propose d'installer des éoliennes à 2000m d'une zone d'habitations.\\
A cette distance, le niveau sonore d'une éolienne est $L_1=20$ dB.
\begin{enumerate}
 \item Calculer l'intensité acoustique $I_1$ en w/m$^2$ correspondant à l'installation
 d'une éolienne.
 \item Si on installe $n$ éoliennes, l'intensité acoustique correspondante est, en w/m$^2$, $I_n=nI_1$\\
 Montrer que le niveau sonore obtenu $L_n$, en dB, est $L_n=20+10log(n)$
 \item On souhaite que le niveau sonore obtenu ne dépasse pas 30 dB.\\
 Quel est le nombre maximum d'éoliennes que l'on peut installer ?
\end{enumerate}
}


\Expl{
Le pH d'un solution dépend de la concentration $[H_3O^+]$ en ions hydronium $H_3O^+$ : $pH=-log[H_3O^+]$
; (concentration : nombre de moles présentes dans un litre de solution).\\
Si pH<7, la solution est acide ; si pH=7, la solution est neutre ; si ph>7, la solution est basique.
\begin{enumerate}
 \item Une solution $A$ a une concentration molaire en ions $H_3O^+$ égale à $3.2 \times 10^{-7}$ mol/L/\\
 Calculer son pH. Est-elle acide ou basique ?
 \item Le pH d'une solution basique est de 9. Calculer la concentration molaire en ions $H_3O^+$ de cette solution.
\end{enumerate}
}



\end{document}
