\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Primitives}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\footskip=30pt


\setcounter{NumLecon}{3}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{wire.eps}{The Wire}{David Simon}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Sur écoute (The Wire) est une série télévisée américaine, créée par David Simon et Ed Burns.\\
Elle a pour sujet la criminalité dans la ville de Baltimore, à travers la vision de ceux qui la vivent au 
quotidien : policiers, trafiquants en tous genres, politiques, enseignants, journalistes, résidents de 
Baltimore, etc.
\\
Avec un aspect de quasi-documentaire par son réalisme et son non-manichéisme, la série est acclamée par la 
critique, bien qu'elle n'ait pas connu un succès commercial important. Elle est souvent considérée comme la 
meilleure série télévisée jamais diffusée à la télévision, et l'une des fictions les plus abouties dans les 
années 2000, notamment pour sa représentation réaliste quasi littéraire de la vie urbaine, et son 
exploration profonde des thèmes socio-politiques de l'Amérique. 
\\
Le tour de force de la série est de s'engager, sur le plan social, en montrant sans détour les pans les 
plus sombres du décor américain, son revers le plus inavouable, tout en mettant en scène une multitude de 
points de vue réalistes qui multiplient les questions dérangeantes sans jamais proposer de solution miracle. Il n'y a pas de fausse objectivité rassurante et pas de subjectivité accusatrice sous-jacente, l'épisode ne fait que montrer le plus passivement possible, il en résulte un étrange bourdonnement qui persiste longtemps après sa diffusion.
}{0.5}{0.5}{
\item Déterminer l'ensemble des primitives de fonctions simples
 \item Déterminer la primitive d'une fonction simple vérifiant une condition initiale donnée
 \item Interpréter la dérivée et les primitives d'une fonction graphiquement
}

\TITRE{voilier.eps}{0.4}


\begin{Intro}{Au fil du temps}{
En mathématiques, la dérivation élémentaire est le calcul permettant de définir une variation 
de phénomène par 
unité de temps ou par unité géométrique. 
En bref, la fonction dérivée $f'$ donne toutes les informations sur les variations de $f$ ...\\
Pourtant, la découverte des fonctions dérivées ne se fit qu'au XVII$^e$ et a été l'un des moments forts des 
mathématiques. \newline La dérivation a 
également été une extraordinaire découverte pour la Physique : la connaissance des variations d'une fonction s'est révélée
essentielles à la description des phénomènes naturels car les théories physiques parlent avant tout des variations 
de la nature.\\

C'est Blaise Pascal qui, le premier, mène des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait \og touchantes \fg.
Grâce aux travaux de Fermat, on sait également qu'une fonction (continue) change son mode de variation en passant par un 
point où sa tangente a une pente nulle,
l'extremum, ce qui renseigne sur la forme géométrique de cette fonction. Mais l'ambition des mathématiciens du XVII$^e$ siècle est bien plus générale : il s'agit pour eux de montrer qu'une fonction contient dans son expression mathématique
toutes les informations sur ses tangentes et, \textbf{inversement}, que les informations données par les tangentes à une fonction 
inconnue doivent permettre de reconstruire celle-ci (ce qui équivaut à reconstruire un trajet en voiture à partir uniquement
de ses variations de vitesse et de direction). C'est cela qui nous intéressera dans ce chapitre.\\
Mais cette intuition sur le lien entre la fonction et ses tangentes se heurte à un problème : le nombre de tangentes
à une courbe est infini car chaque point à la sienne ! Comme les mathématiciens de l'époque ne savent pas raisonner
avec l'infini, il leur parait impossible de calculer la pente exacte d'une tangente au point $(x; f(x))$, d'autant plus
qu'au sens géométrique un point n'a pas de tangente ! 
}
\end{Intro}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
\newpage



\section{Rappels}



\begin{defi}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. \\
On appelle \textbf{primitive} de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable telle que $\forall x \in I$ , $F'(x)=f(x)$.\\
\end{defi}


\Expls{
  \begin{itemize}
   \item $x\longmapsto x^2$ et $x\longmapsto x^2-5$ sont des primitives de $x\longmapsto 2x$ sur $\R$.
 \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $ f(x)=x^2-2x+\cos x$\\
Déterminons (mentalement) une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.\\
La fonction $F$ définie par $ F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+\sin x$
convient.\\ 
En effet pour tout $x\in\R$, la fonction $F$ est dérivable (comme somme de fonctions qui le sont) et  
$$F'(x)=\dfrac{3x^2}{3}-2x+\cos x=f(x)$$
Remarquons que la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+\sin x+12 $
convient aussi puisque la dérivée d'une constante est nulle. 
\item Montrer que $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac14\cos(4x+2)$ est une primitive de $f$
définie sur $\R$ par $f(x)=\sin(4x+2)$
  \end{itemize}
 }

\Rq{
  Si $f$ admet une primitive sur $I$, alors elle en admet une infinité.
}


\begin{ExoF} 
Pour cet exercice, on utilisera les réponses données par le logiciel Xcas.
\\
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{center}
   \includegraphics[scale=0.5]{Exo1}
\end{center}          
          \end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{enumerate}
 \item Soient $f$,$g$,$h$,  les fonctions définies sur $[0;+\infty[$ par
\begin{multicols}{3}
 $f(x)=\dfrac{x(3x+2)}{(3x+1)^2}$ \\
 $g(x)=\dfrac{2}{(3x+1)^3}$ \\
 $h(x)=\dfrac{x^2}{3x+1}$
 \end{multicols}
 Dans chaque cas, entourer la bonne réponses
 \end{enumerate} 
 \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.3}
 \begin{tabular}{|C{1.5cm}*{2}{|C{3cm}}|} \hline
 $g$ est & une primitive de  $f$ & la dérivée de  $f$  \tabularnewline\hline
 $h$ est & une primitive de  $f$ & la dérivée de  $f$ \tabularnewline\hline
 $f$ est & une primitive de  $g$ & une primitive de  $h$  \tabularnewline\hline
  \end{tabular} \renewcommand{\arraystretch}{1}
  \end{center}
   \begin{enumerate}
  \item[\textbf{2.}] Soit $r$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $r(x)=-\dfrac{18}{(3x+1)^4}$.\\
  Donner deux primitives de $r$ sur $[0;+\infty[$. 
\end{enumerate}                                    
\end{minipage}
\end{ExoF}


\noindent\begin{minipage}{10cm}
    \begin{ExoF}
 $f$ est une fonction définie et dérivable sur $[-2;4]$.\\
 Sa courbe représentative est donnée dans le repère ci-contre.\\
 Par lecture graphique, dresser le tableau de variations d'une de ces primitives $F$.
\end{ExoF}
 \end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
          \includegraphics[scale=1]{Exo3}
\end{minipage}

\begin{ExoF}
 $f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.\\
 Sa courbe représentative est donnée dans le repère ci-dessous à gauche.\\
 Une des trois courbes ci-dessous à droite représente graphiquement une primitive de la fonction $f$.
 \\ Déterminer laquelle en justifiant.
\end{ExoF}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{Exo4}
\end{center}




\section{Existence et unicité}

\begin{theo}
 Soit $F$ une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$.
Alors les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions du type $x \longmapsto F(x)+c$ où $c\in\R$.\\

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. \\
Il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ satisfaisant la condition initiale $F(a)=b$
\end{theo}
\textbf{Illustration :}
\begin{center}
\newrgbcolor{ffqqtt}{1 0 0.2}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-8)(8,2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-8)(8,2)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-8)(8,2)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x-4}
\psline(7.93,0.3)(9.55,0.3)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x-2}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x-1}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x-3}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x-4}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x-5}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x+1}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x+2}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x+3}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x+4}
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](2,-8)(2,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](3,-8)(3,2)
\psline{<->}(2,-7)(2,-6)
\psline{<->}(2,-5)(2,-4)
\psline{<->}(2,-3)(2,-2)
\psline{<->}(2,-1)(2,0)
\psline{<->}(2,1)(2,2)
\psline{<->}(0,1)(0,2)
\psline{<->}(0,-3)(0,-2)
\psline{<->}(0,-4)(0,-5)
\psline{<->}(0,-1)(0,0)
\psline{<->}(3,-3.5)(3,-2.5)
\psline{<->}(3,-1.5)(3,-0.5)
\psline{<->}(3,0.5)(3,1.5)
\rput[tl](1.8,-6.6){1}
\rput[tl](1.8,-4.6){1}
\rput[tl](1.8,-2.6){1}
\rput[tl](1.8,-0.6){1}
\rput[tl](1.8,1.4){1}
\rput[tl](3.1,-2.8){1}
\rput[tl](3.1,-0.8){1}
\rput[tl](3.1,1.2){1}
\rput[bl](-1.17,-7.95){\ffqqtt{$f(x) = 3x - 4$}}
\rput[bl](4.4,-5){Compteur $c = -2$, de 1 en 1}
\rput[bl](4,-4.58){\blue{$F(x) = \dfrac32x^2 - 4x - 2$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
On a bien $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in\R$. Or :
$$F'(x)=0 \iff f(x)=0 \iff 3x-4=0 \iff x=\dfrac43$$
Ce qui donne le tableau suivant :
 \begin{center}
   \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=3.5,lgt=2.5]{$x$ / 1, Signe de $F'(x)=f(x)$/1, Variations de $F$ / 3}%
{$-\infty$ ,$\dfrac43$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\tkzTabVar{+/$+\infty$, -/$F\left(\dfrac43\right)$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
 \end{center}
Peut-on trouver une primitive $F$ de $f$ tel que $F(2)=4$ ? 


\Expl{\begin{enumerate}
       \item Déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction $f:x\longmapsto x^4$
       \item Donner toutes les primitives sur $\R$ de $f$.
       \item Déterminer la primitive de $f$ telle que $f(5)=7$
      \end{enumerate}
}

\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=3x^2+2x-7$. 
 \begin{enumerate}
  \item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=x^3+x^2-7x$ est une primitive de $f$ sur $\R$.\\
  \item Déterminer toutes les fonctions $G$ primitives de $f$ sur $\R$.
 \item Déterminer la fonction $G$, primitive de $f$ sur $\R$ telle que $G(-1)=8$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}




\newpage
 \section{Retrouver des primitives}
 Dans ce qui suit, $a$, $b$ et $C$ sont des constantes réelles quelconques et $n$ est un 
 entier positif non nul. 
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|C{5cm}|C{5cm}|C{3cm}|} \hline
  \rowcolor{blue!20} $f(x)$ & $F(x)$ & Intervalle de validité \tabularnewline\hline  
  $a$ (constante) & $ax+C$ & $\R$ \tabularnewline\hline  
 $x$  & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} $\dfrac{x^2}2+C$ & $\R$ \tabularnewline\hline  
  $x^n$  & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ & $\R$ \tabularnewline\hline  
 $\dfrac1{x^2}$  & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} $-\dfrac{1}{x}+C$ & $]-\infty ; 0[$ ou $]0 ; + \infty[$ \tabularnewline\hline   
$\dfrac1{x^n}$ \quad  ($n\neq 1$)  & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} $-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}+C$ & $]-\infty ; 0[$ ou $]0 ; + \infty[$ \tabularnewline\hline   
$\cos(x)$ & $\sin(x)+C$ & $\R$ \tabularnewline\hline
 $\sin(x)$ & $-\cos(x)+C$  & $\R$ \tabularnewline\hline
$\cos(ax+b)$ & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} $\dfrac1a \sin(ax+b)+C$ & $\R$ \tabularnewline\hline
 $\sin(ax+b)$ & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} $-\dfrac1a\cos(ax+b)+C$  & $\R$ \tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}

\Expl{Trouver les fonctions primitives des fonctions $f$ définies sur $\R$ par 
$$f(x)=x^{2014} \qquad \qquad f(x)=\dfrac1{x^{2014}}\qquad \qquad f(x)=\sin(3x-4) \qquad\qquad f(x)=\cos(3x-4)$$
}

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ admettant pour primitive 
respective une fonction $U$ et une fonction $V$. Alors :
\begin{itemize}
 \item les primitives de la fonction $f(x)=au(x)$ sur $I$ sont les fonctions $F(x)=aU(x)+C$ 
 \item les primitives de la fonction $f(x)=u(x)+v(x)$ sur $I$ sont les fonctions $F(x)=U(x)+V(x)+C$
\end{itemize}

\Expl{Ceci permet notamment de trouver les primitives de n'importe quel polynôme.\\
Trouver les fonctions primitives des fonctions $f$ définies sur $\R$ par 
$$f(x)=4x^{2}-2x+1 \qquad \qquad f(x)=2x^{10}-6x^5+16x^2+0.7$$
}

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
 \begin{center}
 \begin{tabular}{|C{5cm}|C{5cm}|} \hline
  \rowcolor{blue!20} $f(x)$ & $F(x)$  \tabularnewline\hline    
  $u'(x)\times u(x)$ & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} $\dfrac1{2}\big(u(x)\big)^{2} +C$   \tabularnewline\hline  
  $u'(x)\times \big(u(x)\big)^n$ & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} $\dfrac1{n+1}\big(u(x)\big)^{n+1} +C$   \tabularnewline\hline  
  $\dfrac{u'(x)}{\big(u(x)\big)^2}$ & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} $-\dfrac{1}{u(x)}+C$   \tabularnewline\hline  
 $\dfrac{u'(x)}{\big(u(x)\big)^n}$ \quad ($n\neq 1$)  & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} $-\dfrac1{(n-1)\big(u(x)\big)^{n-1}} +C$ \tabularnewline\hline  
 \end{tabular}
\end{center}

\Expl{Trouver les fonctions primitives des fonctions $f$ définies sur $\R$ par 
$$f(x)=2x\times\left(x^2-1\right)^{4} \qquad \qquad f(x)=10\times \left(10x-2.2\right)^9 
\qquad \qquad f(x)=2\cos\left(2x+\dfrac{\pi}3\right)\sin\left(2x+\dfrac{\pi}3\right) \qquad\qquad f(x)=\dfrac{6x}{\left(3x^2+1\right)^2}$$
}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
       \item Déterminer une primitive sur $]0;+\infty[$ de la fonction $f:x\longmapsto x^3+4x^2-5x+1$
       \item Donner les primitives sur $\R$ de $f$.
       \item Déterminer la primitive de $f$ telle que $f(0)=2$
      \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
       \item Déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction $f:x\longmapsto \cos\big(2x-\dfrac{\pi}6\big)$
       \item Donner les primitives sur $\R$ de $f$.
       \item Déterminer la primitive de $f$ telle que $f\left(\dfrac{\pi}3\right)=-1$
      \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item  A l'écran de la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-1;3]$ par 
  $f(x)=3(x^2-2x)$.
 \item  Compléter le tableau suivant à partir du graphique obtenu :
   \begin{center}
   \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=3.5,lgt=2.5]{$x$ / 1, Signe de $f(x)$/1.5}%
{$-1$ ,$ $,  $ $, $3$}
\tkzTabLine{,,,,,,}
\end{tikzpicture}
 \end{center}
        \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Déterminer la primitive $F$ de $f$ sir $[-1;3]$ telle que $F(0)=-2$
        \item En utilisant la question 1, établir le tableau de variation de $F$.
        \item A l'écran de votre calculatrice, tracer la courbe représentative de $F$ 
        et vérifier vos résultats.
       \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{ExoF}

  \begin{ExoF}
  La courbe suivante $\mathscr D$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$.
  \begin{center}
   \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture*}(-6,-12)(10,12)
\psgrid[xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray!80,subgridcolor=lightgray](0,0)(-12,-6)(12,6)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6,-12)(10,12)
\psplot{-6}{10}{(-24--8*x)/4}
\rput[bl](4,4){$\mathscr D$ }
\end{pspicture*}
  \end{center}
  \begin{enumerate}
   \item Par lecture graphique :
   \begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
     \item Etablir le tableau de signes de $f$
     \item Déterminer $f(2)$
    \end{itemize}
   \end{multicols}
 \item Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\R$. En justifiant, déduire de la question précédente :
    \begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
     \item le sens de variation de $F$
     \item La valeurs de $F'(2)$
    \end{itemize}
   \end{multicols}
   \item Parmi les courbes ci-dessous, deux sont les courbes de primitives de $f$ : lesquelles ? Pourquoi ?
   \begin{center}
   \newrgbcolor{ttwwqq}{0.2 0.4 0}
\newrgbcolor{ccwwqq}{0.8 0.4 0}
\newrgbcolor{wwqqww}{0.4 0 0.4}
       \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-6,-12)(10,8)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=gray!80,subgridcolor=lightgray](0,0)(-12,-12)(12,8)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6,-12)(10,8)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ttwwqq,plotpoints=200]{-8.327841758423427}{27.196937336829738}{x^2-6*x-1}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-8.327841758423427}{27.196937336829738}{x^2-6*x+2}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccwwqq,plotpoints=200]{-8.327841758423427}{27.196937336829738}{-x^2+6*x-1.5}
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200]{-8.327841758423427}{27.196937336829738}{-x^2+6*x-3.5}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-8.327841758423427}{27.196937336829738}{0.1*x^2-0.6*x-2}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=wwqqww,plotpoints=200]{-8.327841758423427}{27.196937336829738}{0.1*x^2-0.6*x}
\rput[bl](-2,7.5){\ttwwqq{$\mathscr C_4$}}
\rput[bl](6.1,7.5){\blue{$\mathscr C_1$}}
\rput[bl](-1.88,-10.4){\ccwwqq{$\mathscr C_3$}}
\rput[bl](6.3,-10.4){$\mathscr C_5$}
\rput[bl](-5.5,3.){\red{$\mathscr C_6$}}
\rput[bl](-5.,5.7){\wwqqww{$\mathscr C_7$}}
\end{pspicture*}
   \end{center}
 \item Déterminer graphiquement l'expression de $f$ puis retrouver ces deux expressions.
  \end{enumerate}
 \end{ExoF}
 
\begin{ExoF}
 On lance une balle du troisième étage de la tour Eiffel (279 mètres). \\
 Son mouvement est rectiligne uniformément accéléré par la pesanteur ($9.8$ m.s$^{-2}$)
 \begin{enumerate}
  \item Ecrire la formule $a(t)$ de la fonction accélération en fonction du temps $t$ en secondes
  \item La fonction vitesse $V$ est une primitive de la fonction accélération $a$.\\
  Ecrire la formule $V(t)$ de la fonction vitesse en fonction du temps $t$.
  \item La fonction distance parcourue $D$ est une primitive de la fonction vitesse $V$.\\
  Ecrire la formule $D(t)$ de la fonction distance parcourue en fonction du temps $t$.
  \item \begin{enumerate}
         \item En déduire le temps de chute de la balle
         \item Déterminer la vitesse de la balle au moment de l'impact
         \item Comparer avec la vitesse moyenne de la balle sur le trajet.
        \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

 
 \begin{ExoF}
  Un skieur professionnel se déplace sur une piste rectiligne. Le graphique ci-dessous représente 
  l'évolution de sa vitesse $v$ en m/s en fonction du temps $t$ en secondes.
  \begin{center}
   \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.5)(8,2.67)
\psgrid[xunit=1.0cm,yunit=1cm,subgriddiv=2,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(8,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xunit=0.0666cm,yunit=0.1cm,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=15,Dy=30,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-5)(120,40)
\psline[linecolor=red](0,0)(1,2)(5,2)(7,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](1,2)(1,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](5,0)(5,2)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.5,0.1){$O$}
\rput[bl](1.08,2.12){$A$}
\rput[bl](5.08,2.12){$B$}
\rput[bl](7.08,0.12){$C$}
\rput[bl](7.5,-0.3){$t$ (s)}
\rput[bl](-1,2.4){$v$ (m/s)}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
  \end{center}
On se propose de déterminer l'expression de la distance $d$ en mètres parcourue en fonction du temps $t$ en secondes.\\
Pour chaque phase du mouvement, la fonction vitesse $v$ est la dérivée de la fonction $d$ : ainsi, la fonction $d$ est 
une primitive de la fonction $v$.\\
\partieBac{Phase 1 : Mouvement uniformément accéléré}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $v=2t$.
 \item Déterminer la primitive $F$ de $v$ sur $[0;15]$ telle que $F(0)=0$.
 \item Pour $t$ appartenant à $[0;15]$, la distance $d$ est donnée par $d=F(t)$.\\
 Quelle est la distance $d_0$ parcourue au bout de 15 secondes ?
\end{enumerate}
\partieBac{Phase 2 : Mouvement uniforme}
Durant cette phase, la vitesse est constante : $v=30$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la primitive $G$ de $v$ sur $[15;75]$ telle que $G(15)=225$.
 \item Pour $t$ appartenant à $[15;75]$, la distance $d$ est donnée par $d(t)=G(t)$.\\
 Monter qu'au bout de 75 secondes, le skieur a parcouru 2\,025 m.
\end{enumerate}
\partieBac{Phase 3 : Mouvement uniformément décéléré.}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer une équation de la droite $(BC)$.
 \item En déduire que pour tout $t\in[75;105]$, la vitesse $v$ est donnée par $v=-t+105$
 \item Déterminer la primitive $H$ de $v$ sur $[75;105]$ telle que $H(75)=2\,025$.
 \item Pour $t$ appartenant à $[75;105]$, la distance $d$ est donnée par $d(t)=H(t)$.\\
Montrer que durant tout le trajet, le skieur a parcouru 2\,0475 m.
\end{enumerate}
 \end{ExoF}

 
\setcounter{partieBac}{0}
\begin{ExoF}
 On étudie le déplacement d'un chariot d'une machine pour découpage laser. Ce déplacement s'effectue
 en trois phases.
 \begin{itemize}
  \item Durant la phase 1, s'étendant sur l'intervalle de temps (en secondes) $[0,2]$, le mouvement du chariot
  est uniformément accéléré et le chariot passe d'une vitesse iinitiale nulle à une vitesse de 10 cm/s.
  \item Durant la phase 2, le chariot évolue à vitesse constante pendant l'intervalle de temps $[2,10]$.
  \item Durant la phase 3, s'étendant sur l'intervalle de temps $[10;12.5]$, le mouvement du chariot
  est uniformément retardé et le chariot passe d'une vitesse de 10 cm/s à une vitesse nulle.
 \end{itemize}
On cherche à déterminer la distance parcourue par le chariot en fonction du temps.\\
\partieBac{Fonction vitesse}
Durant chacune des trois phases du mouvement, l'accélération $a$ du chariot est constante : $a>0$
sur $[0;2]$, $a=0$ sur $[2;10]$ et $a<0$ sur $[10;12.5]$.\\
On rappelle que sur chacun de ces intervalles, la fonction $v$ correspondante à la vitesse du chariot
est une primitive de celle correspondant à l'accélération $a$.
\begin{enumerate}
 \item Tracer la représentation graphique de la fonction $v$ en fonction du temps.
 \item Montrer que si $t\in[0;2]$ alors $v(t)=5t$
 \item Montrer que si $t\in[10;12.5]$ alors $v(t)=-4t+50$
\end{enumerate}
\partieBac{Recherche de la distance parcourue}
On rappelle que pour chacune des phase, la fonction $d$ correspondante à la distance parcourue 
par le chariot en fonction du temps est une primitve de celle correspondant à la vitesse $v$.\\
Dans un fichier géogébra, on a tracé une primitive de $v$ pour les deux première phase.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-5)(11,110)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-5)(11,110)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-5)(11,110)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red]{0}{2}{(5*x^2)/2}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{2}{10}{10*x}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Qu'est-ce qui ne convient pas ? Pourquoi ?
 \item De quelle condition initiale pour la fonction $d$ sur l'intervalle $[2;10]$ doit-on tenir compte ?
 \item Quelle est alors cette primitive ?
 \item Déterminer la primitive $d$ de $v$ sur l'intervalle $[10;12.5]$ en précisant la condition initiale.
 \item Déterminer alors la distance parcourue par le chariot au bout de 12.5 secondes.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=6x\left(3x^2-1\right)^5$
  \item Déterminer une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=18\left(6x+1\right)^3$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\noindent\begin{minipage}{7cm}
 \begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Compléter la recherche de primitive ci-contre.
  \item En procédant de même, déterminer les primitives sur $]0;+\infty[$ de la fonction $f$
  définie par $f(x)=\dfrac{10}{(5x+7)^2}$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}         
         \end{minipage}
         \begin{minipage}{10cm}
          \includegraphics[scale=1]{ExoFin}
         \end{minipage}


\begin{ExoF}\\
\begin{minipage}{12cm}
  Dans le mouvement d'un pendule (sans frottement et pour de petites oscillations),  la vitesse angulaire
 en radians par secondes est donnée par :
 $$\theta'(t)=\dfrac{\pi}{10}\cos(2t) \quad \text{ où } t \text{ est un temps en secondes} $$
 Dans ce type  de modèle on sait de plus que l'angle est exprimé en fonction
 du temps sous la forme $\theta(t)=\theta_0\cos(\omega t)$ où
 \begin{itemize}
  \item $\theta_0$ est l'angle maximal du pendule avec la verticale
  \item $\omega=\dfrac{2\pi}T$ avec $T$ période du mouvement en secondes.
 \end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $\theta(t)=\theta_0\cos(\omega t)$
 \item En déduire l'angle maximal $\theta_0$ et la période $T$ du mouvement en secondes
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
 \includegraphics[scale=1]{ExoPendule}
\end{minipage}
\end{ExoF}



\begin{ExoL}
 Foucher : fiches révisions p 91-92 (dérivée/primitives) et 59 à 61 (limites/asymptotes)
\end{ExoL}

\end{document}
