\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\DocCha



\section{Rappels}



\begin{defi}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. \\
On appelle \textbf{primitive} de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable telle que $\forall x \in I$ , ....\\
\end{defi}


\Expls{
  \begin{itemize}
   \item Les fonctions $F$ et $G$ définies sur $\R$ par $F(x)=x^2$ et $G(x)= x^2-5$ 
   sont des primitives de la fonction $f$ définie par $f(x)=...$\\
   \vspace{2cm}
   \item Montrer que $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac14\cos(4x+2)$ est une primitive de $f$
définie sur $\R$ par $f(x)=\sin(4x+2)$\\
\vspace{2cm}
 \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $ f(x)=x^2-2x+\cos x$\\
Déterminer mentalement une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.\\
\vspace{2cm}
  \end{itemize}
 }

\Rq{
  Si $f$ admet une primitive sur $I$, alors elle en admet ....
}



\section{Existence et unicité}

\begin{theo}
 Soit $F$ une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$.
Alors les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions du type $x \longmapsto ...........$ \\

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. \\
Il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ satisfaisant la condition initiale $F(a)=b$
\end{theo}
\newpage
\textbf{Illustration :}
\begin{center}
\newrgbcolor{ffqqtt}{1 0 0.2}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-8)(8,2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-8)(8,2)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-8)(8,2)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x-4}
\psline(7.93,0.3)(9.55,0.3)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x-2}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x-1}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x-3}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x-4}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x-5}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x+1}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x+2}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x+3}
\psplot[linecolor=gray,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{3*x^2/2-4*x+4}
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](2,-8)(2,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](3,-8)(3,2)
\psline{<->}(2,-7)(2,-6)
\psline{<->}(2,-5)(2,-4)
\psline{<->}(2,-3)(2,-2)
\psline{<->}(2,-1)(2,0)
\psline{<->}(2,1)(2,2)
\psline{<->}(0,1)(0,2)
\psline{<->}(0,-3)(0,-2)
\psline{<->}(0,-4)(0,-5)
\psline{<->}(0,-1)(0,0)
\psline{<->}(3,-3.5)(3,-2.5)
\psline{<->}(3,-1.5)(3,-0.5)
\psline{<->}(3,0.5)(3,1.5)
\rput[tl](1.8,-6.6){1}
\rput[tl](1.8,-4.6){1}
\rput[tl](1.8,-2.6){1}
\rput[tl](1.8,-0.6){1}
\rput[tl](1.8,1.4){1}
\rput[tl](3.1,-2.8){1}
\rput[tl](3.1,-0.8){1}
\rput[tl](3.1,1.2){1}
\rput[bl](-1.17,-7.95){\ffqqtt{$f(x) = 3x - 4$}}
\rput[bl](4.4,-5){Compteur $c = -2$, de 1 en 1}
\rput[bl](4,-4.58){\blue{$F(x) = \dfrac32x^2 - 4x - 2$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Vérifier  que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in\R$. 
 \item Etudier le signe de $f(x)$
 \item Compléter alors le tableau suivant :
 \begin{center}
   \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=3.5,lgt=2.5]{$x$ / 1, Signe de $F'(x)=\quad$/1, Variations de $F$ / 2}%
{$-\infty$ ,$ $,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,,,,}
\tkzTabVar{,,}
\end{tikzpicture}
 \end{center}
\item Trouver la primitive $F$ de $f$ tel que $F(2)=4$.
\end{enumerate}



\Expl{\begin{enumerate}
       \item Déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction $f:x\longmapsto x^4$
       \item Donner toutes les primitives sur $\R$ de $f$.
       \item Déterminer la primitive de $f$ telle que $f(5)=7$
      \end{enumerate}
}






\newpage
 \section{Retrouver des primitives}
 Dans ce qui suit, $a$, $b$ et $C$ sont des constantes réelles quelconques et $n$ est un 
 entier positif non nul. 
\renewcommand{\arraystretch}{2}

 \textbf{Rappels du tableau des dérivées des fonctions de référence :}
\begin{center}
\begin{tabular}{|C{7cm}|L{7cm}|C{3cm}|}
\hline
\rowcolor{blue!20} Fonction $f$ & \multicolumn{1}{|c|}{Fonction  dérivée $f'$} & Ensemble sur lequel on peut dériver \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} Si  $f(x)=a$ (constante) & Alors &  \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} Si $f(x)=x^2$ & Alors  &   \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} Si $f(x)=x^n$ avec $n \in \N^*$  & Alors  &   \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} Si $f(x)=\dfrac{1}{x}$  & Alors &  \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} Si $f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ avec $n\in\N^*$ et $n\neq 1$  & Alors &  \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} Si $f(x)=\cos{x}$  & Alors &  \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} Si  $f(x)=\sin{x}$  & Alors &  \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} Si $f(x)=\cos(ax+b)$  & Alors &  \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} Si  $f(x)=\sin(ax+b)$  & Alors &  \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage
 \textbf{Tableau des primitives des fonctions de référence :}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|L{7cm}|C{7cm}|C{3cm}|} \hline
  \rowcolor{blue!20}  \multicolumn{1}{|c|}{Fonctions primitives $F$} & Fonction $f$ & Intervalle de validité \tabularnewline\hline  
   Alors  & Si $f(x)=a$ (constante) & $\R$ \tabularnewline\hline  
  \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} Alors  & Si $f(x)=x$  & $\R$ \tabularnewline\hline  
   \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} Alors  & Si $f(x)=x^n$  & $\R$ \tabularnewline\hline  
  \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} Alors  & Si $f(x)=\dfrac1{x^2}$  & $]-\infty ; 0[$ ou $]0 ; + \infty[$ \tabularnewline\hline   
 \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} Alors  &Si $f(x)=\dfrac1{x^n}$ \quad  ($n\neq 1$)  & $]-\infty ; 0[$ ou $]0 ; + \infty[$ \tabularnewline\hline   
Alors  & Si $f(x)=\cos(x)$ & $\R$ \tabularnewline\hline
Alors   & Si $f(x)=\sin(x)$ &  $\R$ \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} Alors  &Si $f(x)=\cos(ax+b)$ & $\R$ \tabularnewline\hline
  \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} Alors  & Si $f(x)=\sin(ax+b)$ & $\R$ \tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}

\Expl{Trouver les fonctions primitives des fonctions $f$ définies sur $\R$ par 
$$f(x)=x^{2014} \qquad \qquad f(x)=\dfrac1{x^{2014}}\qquad \qquad f(x)=\sin(3x-4) \qquad\qquad f(x)=\cos(3x-4)$$
}

\newpage
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ admettant pour primitive 
respective une fonction $U$ et une fonction $V$. Alors :
\begin{itemize}
 \item les primitives de la fonction $f(x)=u(x)+v(x)$ sur $I$ sont les fonctions $F(x)=U(x)+V(x)+C$
 \item les primitives de la fonction $f(x)=au(x)$ sur $I$ sont les fonctions $F(x)=aU(x)+C$ 
\end{itemize}

\Rq{Ceci permet notamment de trouver les primitives de n'importe quel polynôme.
}

\Expl{
Trouver les fonctions primitives des fonctions $f$ définies sur $\R$ par 
$$f(x)=4x^{2}-2x+1 \qquad \qquad f(x)=2x^{10}-6x^5+16x^2+0.7$$
}

\vspace{4cm}

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
 \begin{center}
 \begin{tabular}{|C{7cm}|C{7cm}|} \hline
 \rowcolor{blue!20}  \multicolumn{1}{|c|}{Fonctions primitives $F$} & Fonction $f$\tabularnewline\hline     
 Alors $F(x)=\dfrac1{2}\big(u(x)\big)^{2} +C$ & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} Si $f(x)=u'(x)\times u(x)$   \tabularnewline\hline  
 Alors  $F(x)=\dfrac1{n+1}\times \big(u(x)\big)^{n+1} +C$ & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} Si $f(x)=u'(x)\times \big(u(x)\big)^n$   \tabularnewline\hline  
  Alors $F(x)=-\dfrac{1}{u(x)}+C$ & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex}Si   $f(x)=\dfrac{u'(x)}{\big(u(x)\big)^2}$ \tabularnewline\hline  
 Alors $F(x)=-\dfrac1{n-1}\times \dfrac1{\big(u(x)\big)^{n-1}} +C$ & \rule[-3ex]{-2pt}{8ex} Si $f(x)=\dfrac{u'(x)}{\big(u(x)\big)^n}$ \quad ($n\neq 1$)  \tabularnewline\hline  
 \end{tabular}
\end{center}

\Expl{Trouver les fonctions primitives des fonctions $f$ définies sur $\R$ par 
$$f(x)=2x\left(x^2-1\right)^{4} \qquad \qquad f(x)=10 \left(10x-2.3\right)^9 
\qquad \qquad f(x)=2\cos\left(2x+\dfrac{\pi}3\right)\sin\left(2x+\dfrac{\pi}3\right) \qquad\qquad f(x)=\dfrac{6x}{\left(3x^2+1\right)^2}$$
}




\end{document}
