\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Limites de Fonctions}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{2}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{wire.eps}{The Wire}{David Simon}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Sur écoute (The Wire) est une série télévisée américaine, créée par David Simon et Ed Burns.\\
Elle a pour sujet la criminalité dans la ville de Baltimore, à travers la vision de ceux qui la vivent au 
quotidien : policiers, trafiquants en tous genres, politiques, enseignants, journalistes, résidents de 
Baltimore, etc.
\\
Avec un aspect de quasi-documentaire par son réalisme et son non-manichéisme, la série est acclamée par la 
critique, bien qu'elle n'ait pas connu un succès commercial important. Elle est souvent considérée comme la 
meilleure série télévisée jamais diffusée à la télévision, et l'une des fictions les plus abouties dans les 
années 2000, notamment pour sa représentation réaliste quasi littéraire de la vie urbaine, et son 
exploration profonde des thèmes socio-politiques de l'Amérique. 
\\
Le tour de force de la série est de s'engager, sur le plan social, en montrant sans détour les pans les 
plus sombres du décor américain, son revers le plus inavouable, tout en mettant en scène une multitude de 
points de vue réalistes qui multiplient les questions dérangeantes sans jamais proposer de solution miracle. Il n'y a pas de fausse objectivité rassurante et pas de subjectivité accusatrice sous-jacente, l'épisode ne fait que montrer le plus passivement possible, il en résulte un étrange bourdonnement qui persiste longtemps après sa diffusion.
}{0.5}{0.5}{
\item Découvrir la notion de limite
 \item Interpréter une représentation graphjique en termes de limites
 \item Interpréter graphiquement une limite en termes d'asymptote
 \item Déterminer la limite d'une fonction simple
}

\TITRE{nolimit.eps}{0.8}

\begin{Intro}
 Le zéro absolu (-273,15 $\no{}$C) est la température la plus basse que l'on puisse envisager. 
 C'est une valeur limite, c'est-à-dire que l'on peut s'en approcher au plus près, mais qu'on ne 
 l'atteindra jamais. Plus généralement, pour les fonctions définies sur un intervalle ouvert, 
 il est important de déterminer de quelles valeurs, si elles existent, 
 s'approchent les images lorsque la variable tend vers les bornes de cet intervalle.
\end{Intro}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
\newpage

\section{Notion de limite}
\subsection{Asymptote horizontale}
\begin{act}
 On considère un chauffe-eau de puissance 8\,719 Watts dans lequel l'eau froide arrive à la température de 10$\no{}$C.\\
 Le débit d'eau fourni est $D$ en kg.s$^{-1}$ et l'eau chaude sort à la température de T$\no{}$C.\\
 On montre en technologie que :
 $$T=10+\dfrac{8719}{4185 D}$$
 \partieBac{Prise en main du problème}
 A l'aide d'un tableau de valeurs \og paramétré à la demande \fg sur la calculatrice,
 répondre aux questions suivantes :
 \begin{enumerate}
  \item A quelle température sort l'eau du chauffe-eau quand le débit est de 1 kg.s$^{-1}$ ? de 5 kg.s$^{-1}$ ? de 10 kg.s$^{-1}$ ? de 100 kg.s$^{-1}$ ?
  \item Trouver une interprétation physique de ces résultats.\\
  \textit{Indication : Lorsque le débit est \og grand \fg, l'eau circulant dans le chauffe-eau a-t-elle le temps de beaucoup chauffer ?}
  \item A quelle température sort l'eau du chauffe-eau quand le débit est de 0.5 kg.s$^{-1}$ ? de 0.1 kg.s$^{-1}$ ?  de 0.05 kg.s$^{-1}$ . de 0.01 kg.s$^{-1}$.
  \item Quel semble être le débit le plus adéquat parmi ceux proposés ci-dessus ?
   \end{enumerate}
 \partieBac{Etude d'une fonction en mathématiques}
 On note $f$ la fonction définie sur $]0 ; + \infty[$ par $f(x)=10+\dfrac{8719}{4185 x}$
 \begin{enumerate}
  \item Etudier les variations de $f$.
  \item Tracer à la calculatrice la courbe $\mathscr C$ représentative de $f$.\\
  On prendra comme fenêtre graphique en abscisse $[0;10]$ et en ordonnée $[5;25]$
  \item Une droite horizontale $\mathscr D$ semble servir de guide pour tracer la par de $\mathscr C$ 
  correspondant aux grandes valeurs de l'abscisse $x$.\\
  Laquelle ?
  \item Pour quelles valeurs de $x$ l'écart vertical entre $\mathscr C$ et $\mathscr D$ est-il inférieur 
  à 1$\nu{}$ ? à 0.1$\nu{}$ ?
  \item Arrive-t-il que la droite $\mathscr D$ et la courbe $\mathscr C$ soient confondues ?\\
  Expliquer physiquement ce phénomène.
  \end{enumerate}
\partieBac{Contraintes du problème}
\begin{enumerate}
  \item L'eau, sous une pression atmosphérique normale, se vaporise à $100\nu{}$C.\\
 Quel est le débit correspondant ? ESt-ce un débit minimum ou maximum nécessaire ?
 \item Pour éviter aux usager de se brûler, on limite la température à 70$\nu{}$C . \\
 Quel est le débit correspondant ? Est-ce un débit minimum ou maximum ?
 \end{enumerate}
\end{act}

\begin{defi}
 Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ et $\ell$ un nombre réel.\\
 On dit que la limite de $f$ en $+\infty$ est égale à $\ell$ lorsque la distance entre $f(x)$ et $\ell$ est aussi
 petite  que l'on veut dès que $x$ est assez grand.
 On note $$\Lim{+\infty}f(x)=\ell$$\\
 De même, on dit que la limite de $f$ en $-\infty$ est égale à $\ell$ lorsque la distance entre $f(x)$ et $\ell$ est aussi petite
 que l'on veut dès que $x$ est assez grand dans les négatifs.
 On note $$\Lim{-\infty}f(x)=\ell$$\\
 Dans les deux cas, graphiquement la courbe $\mathscr C$ représentative de $f$ se rapproche autant que l'on veut 
 (en $+\infty$, ie à droite ou en $-\infty$, ie à gauche)  de la droite horizontale $\mathscr D$  d'équation $y=\ell$.\\
 On dit que $\mathscr D$ est \textbf{asymptote horizontale} à la courbe $\mathscr C$.
\end{defi}

\Expl{
Prendre la fonction inverse, puis une autre fonction rationnelle quelconque de limite finie.\\
Mettre des tableau de valeurs à côté.}

\Rq{Ces définitions s'étendent évidemment
aux cas où $f$ est définie sur un intervalle du type $]a;+\infty[$ ou $]-\infty ; a[$
}

\subsection{Asymptote verticale}
\begin{act}
 On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty ; 1[ \cup ]1 ; + \infty[$ par $f(x)=\dfrac{3x+2}{x-1}$
 \begin{enumerate}
  \item Représenter la fonction $f$ sur votre calculatrice en prenant pour fenêtre graphique $x \in[1;20]$ et $y\in[-1;20]$
 \item De quelle droite horizontale se rapproche la courbe $\mathscr C$ lorsque $x$ est assez grand ?\\
  Interpréter ce résultat en termes mathématiques de deux manières différentes.
 \item De quelle droite verticale se rapproche la courbe $\mathscr C$ lorsque $x$ est suffisamment proche de 1 ?\\
 Conjecturer l'interprétation de ce résultat en termes mathématiques de deux manières différentes.
 \item Afficher désormais sur votre calculatrice la courbe $\mathscr C$ pour $x$ allant de $-5$ à $5$.
 \item Critiquer votre conjecture et proposer une correction.
  \end{enumerate}
\end{act}

\begin{defi}
 Soit $a$ un nombre réel, $f$ une fonction définie sur un intervalle du type 
 $]-\infty ; a[$ (respectivment $]a;+\infty[$).\\
 On dit que la limite de $f$ en $a$ par valeur inférieure (resp. supérieure) est égale à $+\infty$ 
 lorsque $f(x)$ est aussi grand que l'on veut dès que $x$ est assez proche de $a$ par valeurs inférieures
 (resp. supérieures).
 On note $$\lim\limits_{x \stackrel{<}{\longrightarrow} a} f(x)=+\infty \qquad \big(\text{resp. } \lim\limits_{x \stackrel{>}{\longrightarrow} a} f(x)=+\infty \big) $$\\
 On possède des définitions analogues si $f(x)$ est suffisamment grand dans les négatifs.\\
 Dans tous les cas, graphiquement la courbe $\mathscr C$ représentative de $f$ se rapproche autant que l'on veut 
 (vers $+\infty$, ie en haut ou vers $-\infty$, ie en bas)  de la droite verticale $\mathscr D$  d'équation $x=a$.\\
 On dit que $\mathscr D$ est \textbf{asymptote verticale} à la courbe $\mathscr C$.
\end{defi}

\Expl{
Prendre la fonction inverse, puis une autre fonction rationnelle quelconque de limite finie\\
Mettre des tableau de valeurs à côté.}

Faire qq exos de lectures graphiques et traduction en termes math, et réciproquement type livre p 51-53-55.\\
Penser à le faire aussi à partir de tableau de variations et de valeurs.

\subsection{Limites infinies en l'infinie}

\begin{act}
A l'aide d'un tableau de valeurs, dire si les fonctions suivantes admettent des asymptotes et si oui, 
lesquelles. Interpréter en termes de limites.\\
\begin{minipage}{8cm}
\begin{itemize}
 \item  La fonction carré 
  \item La fonction cube
 \item La fonction racine carré 
 \item La fonction inverse
 \item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=-5x^2+10x+1000$$
 \item La fonction $g$ définie sur $\R\setminus\{3\}$ par $$g(x)=\dfrac{-5x^2+10x+1000}{2x-6}$$
\end{itemize} 
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{tabular}{|C{2cm}|*{5}{C{1cm}|}} \hline
 $x$ & 10 & 100 & 1000 & 10\,000 & ... \tabularnewline\hline
$x^2$ &  & & & & ... \tabularnewline\hline 
$x^3$ &  & & & & ... \tabularnewline\hline
$\sqrt{x}$ &  & & & & ... \tabularnewline\hline
$\dfrac1x$ &  & & & & ... \tabularnewline\hline
$f(x)$ &  & & & & ... \tabularnewline\hline
$g(x)$ &  & & & & ... \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{minipage}


\end{act}

\begin{defi}
 Soit $f$ une fonction définie sur $\R$.\\
 Si lorsque $x$ prend de grandes valeurs, alors il en est de même pour $f(x)$, 
 on dit que la limite de $f$ en $+\infty$ est égale à $+\infty$ 
 et on note $$\lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} f(x)=+\infty $$\\
 Si lorsque $x$ prend de grandes valeurs, alors $f(x)$ prend de grandes valeurs \textbf{dans les négatifs}, 
 on dit que la limite de $f$ en $+\infty$ est égale à $-\infty$ 
 et on note $$\lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} f(x)=-\infty $$\\
 On possède des définitions analogues quand $x$ prend de grandes valeurs dans les négatifs et on note :
 $$\lim\limits_{x \longrightarrow -\infty} f(x)=+\infty \qquad \qquad \qquad \qquad \lim\limits_{x \longrightarrow -\infty} f(x)=-\infty $$
 Dans tous les cas, graphiquement il n'y a ni asymptote hirzontale, ni asymptote verticale.
\end{defi}

\Expl{
la fonction carré, la fonction $f$ de l'activité.}

\newpage
\begin{ExoF}
 On donne les représentations graphiques de diverses fonctions.
 Dans chaque cas : 
 \begin{enumerate}
  \item  Lire graphiquement les équations des éventuelles asymptotes 
  \item En déduire les limites correspondantes
  \item Dresser graphiquement le tableau de variations de la fonction représentée en y faisant figurer les limites trouvées.
 \end{enumerate}
 \begin{center}
  \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(5,3)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-3)(5,3)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-3)(5,3)
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{5.0}{0.3*2.718281828^x/x}
\end{pspicture*}\qquad
\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-12,-3)(12,3)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-12,-3)(12,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-12,-3)(12,3)
\psplot[plotpoints=200]{-12.0}{12.0}{COS(x)/x}
\end{pspicture*}\\
\begin{minipage}{7.5cm}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(4,3)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-3)(4,3)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-3)(4,3)
\psplot[plotpoints=500]{-10.0}{10.0}{2*COS(1/x)}
\end{pspicture*} \\
\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2)(7,2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.5,-2)(7,2)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.5,-2)(7,2)
\psplot[plotpoints=200]{-1.0}{7.0}{-2*x*2.718281828^(-x)-1}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\qquad \begin{minipage}{10cm}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-10,-10)(10,10)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-10,-10)(10,10)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-10,-10)(10,10)
\psplot[plotpoints=200]{-10}{-1.1}{(3*x-2)/(3*x+3)}
\psplot[plotpoints=200]{-0.99}{10}{(3*x-2)/(3*x+3)+2}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
 \end{center}
\end{ExoF}

\noindent \begin{minipage}{8cm}
\begin{ExoF}
 On donne le tableau de variations d'une fonction $f$ ci-contre.
 \begin{enumerate}
  \item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
  \item Donner les équations des asymptotes à la courbe représentative de $f$.
 \item Tracer ces asymptotes dans un repère, puis dessiner une courbe représentative possible pour $f$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage} \quad
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2.5,lgt=2]{$x$ / 1, Variations de $f$ / 3}%
{$-\infty$ ,$-1$,$2$, $+\infty$}
\tkzTabVar{+/$4$, -D-/$-\infty$/$-\infty$, +/ $-0.5$,-/$-3$}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}\\


\begin{ExoF}
 On considère une fonction $f$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous mais il manque des informations.\\
 On sait également que la courbe $\mathscr C$ représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij admet 
 la droite $\mathscr D_1$ d'équation $y=1$ pour asymtptote ainsi que la droite $\mathscr D_2$
 d'équation $x=5$.\\
\noindent \begin{minipage}{8cm}
\begin{enumerate}
  \item Placer ces deux dernières informations dans le tableau.
  \item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
  \item La courbe $\mathscr C$ admet-elle d'autres asymptotes que celles données ? Si oui, préciser leur équation.
  \item Dessiner une courbe $\mathscr C$ compatible avec ce tableau.
 \end{enumerate}
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=2.5,lgt=2]{$x$ / 1, Variations de $f$ / 3}%
{$-\infty$ ,$3$, $ $, $+\infty$}
\tkzTabVar{-/$-2$, +/ $0$, -D+ /$-\infty$ /$+\infty$, -/$ $}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Une entreprise souhaite promouvoir un nouveau produit : elle envisage alors de réaliser une campagne de publicité.
 Elle estime que la proportion de la population qui connait le nom du produit après $x$ semaines de publicité est donnée 
 par $P(x)=\dfrac{9x}{10x+40}$.
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{10.5cm} \item \textbf{Conjectures graphiques :}\begin{enumerate}
        \item Tracer à la calculatrice la représentation graphique de la fonction $P$.
        \item Conjecturer les variations de $P$ sur $[0;+\infty[$.
       \end{enumerate}
 \item \textbf{Preuves par le calculs :}\begin{enumerate}
        \item En utilisant le résultat donné par Xcas, étudier le signe de $P'$.
        \item En déduire les variations de la fonction $P$.
       \end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 \includegraphics[scale=0.3]{Exo4}
\end{minipage}
 \item \textbf{Avec un tableau de valeurs :}
 \begin{enumerate}
        \item En utilisant un tableau de valeurs sur la calculatrice, déterminer le nombre d'années nécessaires pour que 80$\%$ de la population
        connaisse le nom du nouveau produit.
        \item En procédant de la même façon, compléter le tableau suivant :\\
             \begin{tabular}{|C{5cm}|*{8}{C{1.1cm}|}} \hline
         Proportion de la population qui connaît le nom du produit & 85 $\%$ & 88 $\%$ & 89$\%$ & 89,5$\%$& 89,9$\%$ & 89,99$\%$ & 89,999$\%$ & 90$\%$ \tabularnewline\hline
         Nb de semaines nécessaires pour dépasser cette proportion & & & & & & & & \tabularnewline\hline
        \end{tabular}
 \item Quelle conjecture pouvez-vous faire ?
 \end{enumerate}
\item \textbf{Conclusion : }\begin{enumerate}
       \item Ajuster la fenêtre graphique de votre calculatrice pour observer ce résultat.
       \item Rajouter cette information dans le tableau de variations de $P$ établi à la question 2.
      \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty ; 1[\cup ]1; + \infty[$ par $f(x)=\dfrac{4x-10}{x-1}$
 \begin{enumerate}
\item \textbf{Conjectures graphiques :}\begin{enumerate}
        \item Tracer à la calculatrice la représentation graphique de la fonction $f$.
        \item Par lecture graphique, dresser le tableau de variations de $f$ sur $]-\infty ; 1[\cup ]1; + \infty[$.
        \item Quelle semble être la limite de $f$ en $-\infty$ ? en $+\infty$ ? Justifier à l'aide d'une interprétation graphique.
       \end{enumerate}
\begin{minipage}{10.5cm} \item \textbf{Preuves par le calculs :}\begin{enumerate}
        \item En utilisant le résultat donné par Xcas, étudier le signe de $P'$.
        \item En déduire les variations de la fonction $P$.
       \end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 \includegraphics[scale=0.5]{Exo5}
\end{minipage}
\item \textbf{Avec un tableau de valeurs :}
 \begin{enumerate}
         \begin{minipage}{10cm}
         \item On s'intéresse maintenant aux images par $f$ juste avant sa valeur interdite $1$.\\
        En utilisant un tableau de valeurs à la calculatrice, compléter le tableau ci-contre.
   \end{minipage}
   \begin{minipage}{8cm}    
   \begin{center}
             \begin{tabular}{|C{1cm}|*{4}{C{1cm}|}} \hline
         $x$ & 0.9 & 0.99 & 0.999 & 0.9999  \tabularnewline\hline
         $f(x)$ & & & &  \tabularnewline\hline
        \end{tabular}
        \end{center}
            \end{minipage}
              \item Interpréter cela en termes de limite et rajouter cette information dans le tableau de variations établi à la question 2.
 \item Que se passe-t-il graphiquement ?
 \end{enumerate}
\item \textbf{Avec un algorithme : } on donne l'algorithme suivant \\
\begin{minipage}{8.5cm}
 \Algo{8cm}{
\Var{$n$ est un nombre entier\\
$x$ et $y$ sont des nombres réels}
\Deb{
\For{$n$ allant de 1 à 5}{
$x$ prend la valeur $1+10^{-n}$\\
$y$ prend la valeur $(4x-10)/(x-1)$\\
Afficher $y$
}
}
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
 \begin{enumerate}
       \item Compléter la trace d'exécution ci-dessous.\\
  \begin{tabular}{|C{2.5cm}|*{6}{C{1.5cm}|}|}\hline
        & $n$ & $x$ & $y$ \tabularnewline\hline
 1ère itération & & & \tabularnewline\hline
 2ère itération & & & \tabularnewline\hline
 3ère itération & & & \tabularnewline\hline
 4ère itération & & & \tabularnewline\hline
 5ère itération & & & \tabularnewline\hline
         \end{tabular}
 \item Interpréter en termes de limite et rajouter cette information dans le tableau de variations établi à la question 2.
      \end{enumerate}
\end{minipage}
 \end{enumerate}
 \end{ExoF}
 
\begin{ExoF}
La fonction racine carré possède-t-elle une asymptote horizontale ?
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF}
Décrire les situations suivantes en termes de limites et d'asymptotes horizontales.
 \begin{center}
  \includegraphics[scale=0.72]{Exo7}
 \end{center}

\end{ExoF}


\subsection{Limites des fonctions de référence}

\begin{prop}
  On doit connaître par coeur l'allure des courbes suivantes et donc retenir les limites suivantes :
 $$\begin{array}{llll}
\lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} x=+\infty &\qquad \lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} x^2=+\infty 
& \qquad \lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} x^3=+\infty &\qquad  \lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} \sqrt{x}=+\infty  
\end{array}$$

 $$\begin{array}{llll}
\lim\limits_{x \longrightarrow -\infty} x=-\infty &\qquad \lim\limits_{x \longrightarrow -\infty} x^2=+\infty 
&\qquad \lim\limits_{x \longrightarrow -\infty} x^3=-\infty 
\end{array}$$
\end{prop}


\begin{theo}
Plus généralement :
 $$\begin{array}{llll}
\lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} x^n=+\infty &\qquad\qquad \lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} x^n= \left\{\begin{array}{ll}
+\infty  & \text{ si $n$ est pair}\\
-\infty & \text{ si $n$ est impair}
\end{array}\right.
\end{array}$$

 $$\begin{array}{llll}
\Lim{-\infty} \dfrac1x=0 &\qquad \Lim{+\infty} \dfrac1x=0 
&\qquad\qquad \lim\limits_{x \stackrel{<}{\longrightarrow} 0} \dfrac1x=-\infty 
&\qquad \lim\limits_{x \stackrel{>}{\longrightarrow} 0} \dfrac1x=+\infty 
\end{array}$$
\end{theo}

\Rqs{
\item Les courbes représentatives de chacune sont un bon moyen pour retenir les limites.
\item Les fonctions $\cos$ et $\sin$ n'ont pas de limites quand $x$ tend vers $\pm\infty$ et elles n'ont pas d'asymptotes
verticales non plus.}

\newpage

\section{Calculs de limites}
Dans tout ce qui suit :
\begin{itemize}
 \item $u$ et $v$ sont deux fonctions définies sur un même intervalle $I$
 \item $\alpha$ peut être remplacé par $+\infty$ ou $-\infty$ ou un réel $a$.
 \item $L$ et $L'$ désignent deux nombres réels.
\end{itemize}

\subsection{Produit d'une fonction par une constante $k\neq 0$: $ \Lim{\alpha} k\times u(x)$}
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}C{3cm} *{3}{|C{4cm}} |} \hline
\rowcolor{blue!20} Si $\Lim{\alpha} u(x)=$ & \makebox[3em]{$L$}&$+\infty$&$-\infty$\tabularnewline\hline
Alors $\Lim{\alpha} \,~ k\times u(x)=$  & $k \times L$ & Si $k>0$ : $+\infty$\\ Si $k<0$ : $-\infty$  & Si $k>0$ : $+\infty$ \\ Si $k<0$ : $+\infty$
\tabularnewline
& & \multicolumn{2}{|c|}{\textit{\textbf{On suit la règle des signes}}}
 \tabularnewline\hline  \end{tabular}\\
  \end{center}

\Expls{Déterminer les limites en $+\infty$ et $-\infty$ des fonctions suivantes définies sur $\R$ :
$$f(x)=-3x^2 \qquad \qquad ;\qquad \qquad 
 g(x)=-2x  \qquad \qquad\text{et} \qquad \qquad h(x)=4x^3+7 $$
 Dresser ensuite leur tableau de variations complet.
}

\subsection{Somme de deux fonctions : $ \Lim{\alpha} \big(u(x)+v(x)\big)$}
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}C{3cm} *{6}{|C{2.1cm}} |} \hline
\rowcolor{blue!20} Si $\Lim{\alpha} u(x)=$ & \multicolumn{3}{|c|}{\makebox[3em]{$L$}}&\multicolumn{2}{|c|}{$+\infty$}&$-\infty$\tabularnewline\hline
 \rowcolor{blue!20} Et $\Lim{\alpha} v(x)=$  & \makebox[3em]{$L'$} & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$  \tabularnewline \hline
Alors $\Lim{\alpha}\big(u(x)+v(x)\big)=$  & $L + L'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ &\cellcolor{yellow}\textcolor{red}{\textbf{?}}& $-\infty$   \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
  \end{center}

\Expls{
  \begin{enumerate}
   \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=4x^2-\dfrac{10}x +3$.\\
Déterminer si possible sa limite en $+\infty$ et en $0$.
 \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^3+5x$.\\
Déterminer si possible sa limite en $+\infty$ et en $-\infty$.
 \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=x^3+5x^2$.\\
Déterminer si possible sa limite en $+\infty$ et en $-\infty$.
  \end{enumerate}
}



\subsection{Produit de deux fonctions : $ \Lim{\alpha} \big(u(x)\times v(x)\big)$}
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}C{3cm} *{4}{|C{3.5cm}} |} \hline
\rowcolor{blue!20} Si $\Lim{\alpha} u(x)=$ & \makebox[3em]{$L$}&$L\neq 0$ & 0 &$\pm\infty$\tabularnewline\hline
 \rowcolor{blue!20} Et $\Lim{\alpha} v(x)=$  & \makebox[3em]{$L'$} & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ & $\pm\infty$ \tabularnewline \hline
Alors $\Lim{\alpha}\big(u(x)\times v(x)\big)=$  & $L \times L'$ & $\pm\infty$\\en suivant la règle des signes 
&\cellcolor{yellow}\textcolor{red}{\textbf{?}}&  $\pm\infty$\\en suivant la règle des signes   \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
  \end{center}

\Expls{
\begin{enumerate}
        \item En utilisant les exemples précédents, compléter  :\\
$$\Lim{+\infty}\left(4x^2-\dfrac{10}x +3\right)(-3x^2) = ... \qquad\qquad \text{ et }
\qquad\qquad \Lim{-\infty}\left(4x^2-\dfrac{10}x +3\right)(-3x^2) = ...$$ 
\item \begin{enumerate}
 \item Montrer que $x^3+5x^2=x^3\left(1+\dfrac5x\right)$.
 \item En déduire la limite de $x^3+5x^2$ en $-\infty$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\begin{theo}
 En l'infini, une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
\end{theo}

\Rqs{
\item En effet, c'est le terme qui joue le rôle le plus important pour les grandes valeurs de $x$.
\item  La démonstration de ce théorème vient de la généralisation de la méthode vue dans l'exemple ci-dessus.
}

\Expl{
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^3+27x+1$. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $\Lim{-\infty} f(x)$
 \item  Déterminer $\Lim{+\infty} f(x)$
 \item Etablir le tableau de variation complet de $f$. Pour cela :
 \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
 \item Calculer de $f'(x)$
  \item Résoudre $f'(x)=0$
  \item Dresser un tableau avec le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{enumerate}
}

\subsection{Inverse d'une fonction : $ \Lim{\alpha} \dfrac{1}{u(x)}$}
\begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}C{3cm} |C{1.5cm}|C{5cm}|C{1.5cm}|} \hline
\rowcolor{blue!20} Si $\Lim{\alpha} u(x)=$ & \makebox[3em]{$L\neq 0$} & 0 &$\pm\infty$\tabularnewline\hline
Alors $\Lim{\alpha}\dfrac{1}{u(x)}=$  & $\dfrac1L$ & Si pour tout $x$ proche de $\alpha$ on a :
$\left\{\begin{array}{lll}
u(x)>0 &:& +\infty\\
u(x)<0& : &-\infty
       \end{array}\right.$ \\ 
      \textit{ \textbf{On suit la règles des signes}} & 0  \tabularnewline \hline  \end{tabular}\\
  \end{center}

\Expl{
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ; 2 [ \cup ]2 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac1{x-2}$. \\
On désigne par $\mathscr C$  sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
 \item  Déterminer $\Lim{+\infty} f(x)$ et  $\Lim{-\infty} f(x)$.
 \item Que peut-on en déduire pour $\mathscr C$ ?
 \item Déterminer $\lim\limits_{x \stackrel{>}{\longrightarrow}2 } f(x)$
 et $\lim\limits_{x \stackrel{<}{\longrightarrow}2 } f(x)$
  \item Que peut-on en déduire pour $\mathscr C$ ?
\end{enumerate}
}  
  
\begin{ExoF}
   Soit $g$ la fonction définie sur $\left]0 ; \dfrac{\pi}2\right[ \cup \left]\dfrac{\pi}2; \pi\right[$ 
 par $g(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $\lim\limits_{x \stackrel{<}{\longrightarrow}\dfrac{\pi}2} g(x)$
  \item Déterminer $\lim\limits_{x \stackrel{>}{\longrightarrow}\dfrac{\pi}2} g(x)$
\end{enumerate}
\end{ExoF}


  
  
\subsection{Quotient de deux fonctions : $ \Lim{\alpha} \dfrac{u(x)}{v(x)}$}
On utilise le fait que 
$$\dfrac{u(x)}{v(x)}=u(x) \times \dfrac{1}{v(x)}$$

Mais cette méthode n'est pas toujours concluante...

\Expl{Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ; 0.5 [ \cup ]0.5 ; +\infty[$ par 
$f(x)=\dfrac{3x^2+4x-5}{2x-1}$.\\
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Limites en }$0.5$ :
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer  $\lim\limits_{x\stackrel{>}{\longrightarrow}0.5} 3x^2+4x-5$
 \item Déterminer $\lim\limits_{x\stackrel{>}{\longrightarrow}0.5} \dfrac1{2x-1}$
 \item En déduire $\lim\limits_{x\stackrel{>}{\longrightarrow}0.5} f(x)$
 \item En utilisant la même méthode, déterminer $\lim\limits_{x\stackrel{<}{\longrightarrow}0.5} f(x)$
 \item Quelle(s) asymptote(s) peut-on en déduire ?
 \end{enumerate}
 \item \textbf{Limites en l'infini} :
  \begin{enumerate} 
  \item Déterminer $\Lim{+\infty} 3x^2+4x-5$
 \item Déterminer $\Lim{+\infty} \dfrac1{2x-1}$
  \item Peut-on alors déterminer la limite de $f(x)$ en $+\infty$ ? Pourquoi ?
 %\item Montrer que \quad $3x^2+4x-5=3x^2\left(1+\dfrac{4}{3x}-\dfrac5{3x^2}\right)$ \qquad
 %et que \qquad $2x-1=2x\left(1-\dfrac1{2x}\right)$.
 %\item Utiliser ces nouvelles écrires pour changer montrer que 
 %$$f(x)=\dfrac{3x}{2}\times \dfrac{1+\dfrac{4}{3x}-\dfrac5{3x^2}}{1-\dfrac1{2x}}$$
 %\item En déduire alors $\Lim{+\infty} f(x)=+\infty$
  %\item En utilisant la même méthode, déterminer $\Lim{-\infty} f(x)=+\infty$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{theo}
 \textbf{En l'infini}, une fonction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré
 au numérateur et au dénominateur.
\end{theo}

\Rqs{\item En effet, ce sont les termes qui jouent les rôles les plus importants pour les grandes valeurs de $x$.
\item La démonstration de ce théorème utilise la même méthode que celle utilisée pour les sommes de
fonctions polynômes : on factorise.
%\item Ainsi, lorsque les tableaux ne nous permettent pas de conclure sur la limite d'une fonction rationnelle en l'infini,
%on peut appliquer ce théorème, puis simplifier le nouveau quotient obtenu pour trouver la limite.
}

\Att{Ce théorème ne permet pas d'obtenir la limite d'une fonction rationnelle en un \textbf{nombre réel} $a$ où elle
n'est pas définie.\\
}


\Expl{Utiliser ce théorème pour déterminer $\Lim{+\infty} f(x)=+\infty$ et $\Lim{-\infty} f(x)=+\infty$
}

\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty ; -3 [ \cup ]-3 ; +\infty[$ par 
$f(x)=\dfrac{-x^2+3x-5}{4x+12}$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $\Lim{+\infty} f(x)$ et $\Lim{-\infty} f(x)$
 \item Déterminer $\lim\limits_{x \stackrel{>}{\longrightarrow} -3} f(x)$ et $\lim\limits_{x \stackrel{<}{\longrightarrow} -3} f(x)$
 \item En déduire les éventuelles asymptotes verticales et horizontales à la courbe 
 représentative de $f$ dans un repère orthonormé.\\
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $g$ la fonction définie sur $]-\infty ; -3 [ \cup ]-3 ;1 [ \cup ]1 ; +\infty[$ 
par $g(x)=\dfrac{4x^2+5}{x^2+2x-3}$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $\Lim{+\infty} g(x)$ et $\Lim{-\infty} g(x)$
  \item Déterminer $\lim\limits_{x \stackrel{>}{\longrightarrow} 1} g(x)$ et $\lim\limits_{x \stackrel{<}{\longrightarrow} 1} g(x)$
 \item Déterminer $\lim\limits_{x \stackrel{>}{\longrightarrow} -3} g(x)$ et $\lim\limits_{x \stackrel{<}{\longrightarrow}-3 } g(x)$
 \item En déduire les éventuelles asymptotes verticales et horizontales à la courbe 
 représentative de $g$ dans un repère orthonormé.\\
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=\dfrac{5x-3}{x^2+3}$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $\Lim{+\infty} h(x)$ et $\Lim{-\infty} h(x)$
  \item En déduire les éventuelles asymptotes verticales et horizontales à la courbe 
  représentative de $h$ dans un repère orthonormé.\\
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\subsection{Fonctions composées  : $u^n$ avec $n\in\N$ et $\sqrt{u}$ avec $u>0$}

\begin{act}
Soient $u$ et $v$ définies sur $\R$ par $\qquad u(x)=-2x+5 \qquad$ et $\qquad v(x)=4x^2-5x+1$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les limites de $u$ et $v$ en $+\infty$ et en $-\infty$
 \item On définit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par 
 $$f(x)=\big(u(x)\big)^3=(-2x+5)^3
 \qquad \text{ et }  \qquad g(x)=\big(v(x)\big)^{100}=(4x^2-5x+1)^{100} $$
  A votre avis, comment déterminer les limites de $f$ et  $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$ ? 
 \item  On définit désormais les fonctions $h$ et $k$ par 
 $$h(x)=\sqrt{u(x)}=\sqrt{-2x+5}
 \qquad \text{ et }  \qquad k(x)=\sqrt{v(x)}=\sqrt{4x^2-5x+1} $$
\begin{enumerate}
  \item Résoudre les inéquations $\quad u(x)\geq 0$ \quad et \quad $v(x)\geq 0$
  \item En déduire les domaines de définition des fonctions $f$ et $g$.
  \item A votre avis, comment déterminer  $\Lim{-\infty}f(x)$,  $\Lim{-\infty}g(x)$ et $\Lim{+\infty}g(x)$ ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\begin{theo}
Ici $\alpha$, $\beta$ et $c$ désignant des nombres réels ou $+\infty$ ou $-\infty$.\\

 Si \quad $\Lim{\alpha}u(x)=\beta$  \quad et \quad  $\Lim[X]{\beta}X^n=c$  \quad alors  \quad $\Lim{\alpha} u^n(x)=c$

De plus, si $u$ est une fonction positive sur $\R$ et\\

 Si \quad $\Lim{\alpha}u(x)=\beta$  \quad et \quad  $\Lim[X]{\beta}\sqrt{X}=c$  \quad alors  \quad $\Lim{\alpha} \sqrt{u(x)}=c$
\\

 Plus généralement, 
 
  Si \quad $\Lim{\alpha}u(x)=\beta$  \quad et \quad  $\Lim[X]{\beta}f(X)=c$  \quad alors  
  \quad $\Lim{\alpha} f\big(u(x)\big)=c$
\end{theo}

\begin{ExoF}
 Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $]-\infty;-3[\cup ]-3;0[\cup]0;+\infty[$ dont on donne ci-dessous
 le tableau de variations. On note $\mathscr C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
 \begin{center}
   \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[espcl=3,lgt=2]{$x$ / 0.5, Variations de $f$ / 2}%
{$-\infty$ ,$-3$, $0$, $+\infty$}
\tkzTabVar{-/$-4$, +D+/ $+\infty$/$+\infty$, -D+ /$-\infty$ /$+\infty$, -/$1$}
\end{tikzpicture}
 \end{center}
 \begin{enumerate}
 \item Indiquer pour chacune des affirmations suivantes si elles est vraie ou fausse. \textbf{Justifier.}
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
 \item L'axe des ordonnées est une asymptote de $\mathscr C$
 \item La courbe $\mathscr C$ admet deux asymptotes verticales
 \item La courbe $\mathscr C$ admet deux asymptotes horizontales
 \item $\Lim{-\infty}\dfrac1{f(x)}=+\infty$
 \item $\lim\limits_{x\stackrel{<}{\longrightarrow}0}\big(f(x)\big)^4=-\infty$
 \item L'équation $f(x)=0$ admet trois solutions.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Dans un repère orthonormé, 
\begin{enumerate}
\item Tracer les asymptotes à la courbe $\mathscr C$.
 \item Tracer ensuite dans ce repère une courbe $\mathscr C$ compatible avec les informations du 
 tableau.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Le module de l'impédance complexe d'un condensateur de capacité $C$ traversé par un courant de fréquence $x$ en régime variable est donné par $M(x)=\dfrac1{2\pi Cx}$
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer les limites de $M(x)$ quand la fréquence $x$ tend vers $0$ et quand $x$ tend vers $+\infty$.
  \item On sait que le module de l'impédance d'un circuit fermé (court-circuit) est nul alors que le module de l'impédance d'un
 circuit ouvert (interrupteur ouvert) tend vers $+\infty$.\\
 D'après la question \textbf{a}, pour des fréquences très faibles, le comportement d'un condensateur se rapproche-t-il
 d'un circuit ouvert ou d'un circuit fermé ?
 \item Reprendre la question \textbf{b} pour des fréquences très élevées.
 \end{enumerate}
 \item Le module de l'impédance complexe d'une bobine d'inductance $L$ traversée par un courant de 
 fréquence $x$ en régime variable est donné par $M(x)=2\pi Lx$.\\
 Reprendre la question \textbf{1} dans ce cas.
  \end{enumerate}
\end{ExoF}










\end{document}
