\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Partons \`a la d\'erive}
\newcommand{\Cl}{TSTI2D1}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{1}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\Chacha{wire.eps}{The Wire}{David Simon}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Sur écoute (The Wire) est une série télévisée américaine, créée par David Simon et Ed Burns.\\
Elle a pour sujet la criminalité dans la ville de Baltimore, à travers la vision de ceux qui la vivent au 
quotidien : policiers, trafiquants en tous genres, politiques, enseignants, journalistes, résidents de 
Baltimore, etc.
\\
Avec un aspect de quasi-documentaire par son réalisme et son non-manichéisme, la série est acclamée par la 
critique, bien qu'elle n'ait pas connu un succès commercial important. Elle est souvent considérée comme la 
meilleure série télévisée jamais diffusée à la télévision, et l'une des fictions les plus abouties dans les 
années 2000, notamment pour sa représentation réaliste quasi littéraire de la vie urbaine, et son 
exploration profonde des thèmes socio-politiques de l'Amérique. 
\\
Le tour de force de la série est de s'engager, sur le plan social, en montrant sans détour les pans les 
plus sombres du décor américain, son revers le plus inavouable, tout en mettant en scène une multitude de 
points de vue réalistes qui multiplient les questions dérangeantes sans jamais proposer de solution miracle. Il n'y a pas de fausse objectivité rassurante et pas de subjectivité accusatrice sous-jacente, l'épisode ne fait que montrer le plus passivement possible, il en résulte un étrange bourdonnement qui persiste longtemps après sa diffusion.
}{0.5}{0.5}{
\item Connaître l'interprétation graphique d'un nombre dérivé 
 \item Connaître l'équation générale d'une tangente à une courbe en un point
 \item Revoir les formules des dérivées
 \item Découvrir la dérivée de $u^n$
 \item Découvrir la notion de primitive
}

\TITRE{voilier.eps}{0.8}


\begin{Intro}{Au fil du temps}{
En mathématiques, la dérivation élémentaire est le calcul permettant de définir une variation de phénomène par 
unité de temps ou par unité géométrique. La dérivée $f'$ d'une fonction $f$ en un point $x_0$ ne fait rien d'autre que 
d'indiquer la valeur de la pente de la fonction en ce point : par exemple, si la pente au point $x_0$, appelé nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et
que l'on note $f'(x_0)$, est positive, alors c'est que la courbe de la fonction est orientée \og vers le haut\fg en ce point 
(elle est croissante) et la valeur de $f'(x_0)$ indique si cette montée est plutôt douce ou forte. De même,
si $f'(x_0)$ est négative, la courbe est \og descendante\fg en ce point, et si $f'(x_0)=0$, la courbe y connaît un répit
horizontal. 
En bref, la fonction dérivée $f'$ n'a pour rôle que de donner toutes les informations sur les variations de $f$ ...\\
Pourtant, la découverte des fonctions dérivées ne se fit qu'au XVII$^e$ et a été l'un des moments forts des 
mathématiques. \newline
Ceci a obligé les mathématiciens à raisonner en termes de sommes infinies d'éléments 
\og infiniment petits \fg , pour lesquels il a fallu inventer des règles et des opérations. La dérivation a 
également été une extraordinaire découverte pour la Physique : la connaissance des variations d'une fonction s'est révélée
essentielles à la description des phénomènes naturels car les théories physiques parlent avant tout des variations 
de la nature.\\

Il faut dire que, dès les premières décennies du XVII$^e$, l'étude des \og courbes \fg géométriques, inaugurée par les Grecs
anciens, s'est déjà transformée en l'étude de fonctions plus générales.
C'est Blaise Pascal qui, le premier, mène des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait \og touchantes \fg.
Grâce aux travaux de Fermat, on sait également qu'une fonction (continue) change son mode de variation en passant par un 
point où sa tangente a une pente nulle,
l'extremum, ce qui renseigne sur la forme géométrique de cette fonction. Mais l'ambition des mathématiciens du XVII$^e$ siècle est bien plus générale : il s'agit pour eux de montrer qu'une fonction contient dans son expression mathématique
toutes les informations sur ses tangentes et, inversement, que les informations données par les tangentes à une fonction 
inconnue doivent permettre de reconstruire celle-ci (ce qui équivaut à reconstruire un trajet en voiture à partir uniquement
de ses variations de vitesse et de direction).\\
Mais cette intuition sur le lien entre la fonction et ses tangentes se heurte à un problème : le nombre de tangentes
à une courbe est infini car chaque point à la sienne ! Comme les mathématiciens de l'époque ne savent pas raisonner
avec l'infini, il leur parait impossible de calculer la pente exacte d'une tangente au point $(x; f(x))$, d'autant plus
qu'au sens géométrique un point n'a pas de tangente ! \\

Cependant, dès la seconde moitié du XVII$^e$ siècle, le domaine mathématique de l'analyse numérique connait une avancée 
prodigieuse grâce aux travaux de Newton et de Leibniz en matière de calcul différentiel et intégral.
La notion de nombre dérivée se retrouve pour la première fois dans leurs écrits, 
sous le nom \og fluxion \fg, et défini comme \og le quotient ultime de deux accroissements évanescents \fg .\\
Entre 1660 et 1675, Leibniz et Newton découvrent, chacun de leur côté et indépendamment, une nouvelle mathématique qui permet de raisonner
sur des segments \og infiniment petits \fg d'une fonction $f$.
L'idée essentielle est que si l'on considère des segments de plus en plus proche de sa courbe, alors leur tangente tend 
à se confondre avec le segment lui-même : du coup, sa pente se déduit directement de l'expression de la fonction $f$.\\
%En termes mathématiques : quand on prend deux valeurs de $x$ très proches, $x_1$ et $x_2$, et que l'on considère 
%les points $A_1$ et $A_2$ de la courbe représentative de $f$ d'abscisse $x_1$ et $x_2$, 
%alors la pente du micro-segment $[A_1A_2]$ vaut $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.\\
%La formalisation des opérations sur les segments infiniment petits de la courbe conduit les deux savants à tirer de l'expression de $f$ 
%celle d'une nouvelle fonction $f'$, qui donne la pente de la tangente de $f$ en tout point $x$ où elle est existe. \\
%Notons que le marquis de l'Hôpital participe 
%aussi, à la fin du XVII$^e$ siècle, à étoffer cette nouvelle théorie de l'infiniment petit, 
%notamment en utilisant la dérivée pour calculer une limite dans le cas de formes indéterminées particulières 
%(voir Règle de L'Hôpital). Et citons également Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales 
%qui porte son nom) qui contribue largement à l'essor de l'analyse différentielle.\newline
Néanmoins la théorie du calcul infinitésimal, tout juste éclose, n'est pas encore pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait 
exigée, et notamment la notion d'infiniment petit qui tient plus de l'intuitif, et qui 
pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable. \\

Au XVIII$^e$ siècle Lagrange utilise la notation $f'(x)$, aujourd'hui tout à fait usuelle, 
pour désigner le nombre dérivé de $f$ en $x$, tandis que d'Alembert introduit la définition plus rigoureuse du 
nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme semblable à celle qui est utilisée et 
enseignée de nos jours. 
Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problème :  elle n'est pas encore 
construite formellement ! \\
C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du XIX$^e$ siècle que le 
concept de dérivée sera entièrement formalisé.
}
\end{Intro}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
\newpage

\section{Nombre dérivé et tangente}
\subsection{Equation réduite de droite}
\begin{prop}[Définition]
La repr\'esentation graphique d'une fonction affine est une droite. 
Son \'equation r\'eduite est $$y=mx+p$$
$m$ est appel\'e le \textbf{coefficient directeur} et $p$ l'\textbf{ordonn\'ee \`a l'origine}.
\end{prop}

\begin{center}
 \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-4,-2)(8,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-2)(8,5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-4,-2)(8,5)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{-4}{8}{(--18-3*x)/6}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{-4}{8}{(--4-7*x)/-4}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=green]{-4}{8}{(--24-0*x)/8}
\rput[bl](-2.9,4.5){\blue{$m<0$}}
\rput[bl](3.1,4){\red{$m>0$}}
\rput[bl](-3,2.5){\green{$m=0$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Cadre[Interpr\'etation graphique]{
Comme le dit son nom, le coefficient directeur donne la direction de la droite. Ainsi, il s'agit
de la valeur du \og déplacement \fg en ordonnée correspondant à un \og déplacement \fg 
en abscisse de $+1$ unité.\\
L'ordonnée à l'origine correspond à l'ordonnée du point d'intersection de la droite 
et de l'axe des ordonnées.}
\begin{center}
\begin{multicols}{2}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(4,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-2)(4,6)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-3,-2)(4,6)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,3)(3,3)(3,5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,-1)(1,-1)(1,1)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{-3}{4}{(--2-4*x)/-2}
\rput[bl](2.5,2.5){\zzttqq{1}}
\rput[bl](3.09,4){\zzttqq{$m = 2$}}
\rput[bl](1.09,0.4){\zzttqq{$m = 2$}}
\rput[bl](0.5,-1.5){\zzttqq{1}}
\rput[bl](-1.5,-1.5){\zzttqq{$p=-1$}}
\end{pspicture*}
\begin{pspicture*}(-4,-2)(6,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-2)(4,6)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-4,-2)(4,6)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-3,4)(-2,4)(-2,3.5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,2)(3,2)(3,1)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{-4}{4}{(--15-3*x)/6}
\rput[bl](-2.5,4.25){\zzttqq{1}}
\rput[bl](-1.91,3.5){\zzttqq{$m = -0.5$}}
\rput[bl](2.1,2.25){\zzttqq{2}}
\rput[bl](3.1,1.5){\zzttqq{$2m = -1 $}}
\rput[bl](3,1){\zzttqq{$\iff  m=-0.5$}}
\rput[bl](-1.5,2.2){\zzttqq{$p=2.5$}}
\end{pspicture*}
\end{multicols}
\end{center}
\newpage
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(6,5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-1)(6,5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,2)(5,2)(5,4)
\psplot[linecolor=black!70]{-1}{6}{(--2--2*x)/3}
\rput[bl](0.2,0.2){\zzttqq{$p=\dfrac23$}}
\rput[bl](3.5,1.5){\zzttqq{3}}
\psline[linecolor=blue]{->}(2,2)(5,4)
\rput[bl](5.1,3){\zzttqq{$3m = 2$}}
\rput[bl](5,2){\zzttqq{$\iff m = \dfrac23$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{
Notons que les déplacements en abscisse et en ordonnée sont proportionnels. Ainsi, si l'on se déplace 
de $+2$ unités en abscisse, on se déplacera de deux fois le coefficient directeur en ordonnée, et ce, 
peu importe l'endroit d'où l'on part.\\
On peut également constater que si l'on choisit un vecteur directeur $\overrightarrow{u}(a,b)$
 de la droite (n'importe lequel) alors 
$$m=\dfrac{b}{a}$$
}
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
\Expl{Déterminer l'expression de la 
fonction affine $f$ définie sur $\R$ représentée ci-contre.
 }
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(5,4)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(5,4)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,3)(4,3)(4,0)
\psplot{-2}{5}{(--12-3*x)/4}
%\rput[bl](2.1,3.25){\zzttqq{4}}
%\rput[bl](4.09,2.53){\zzttqq{$4m = -3$}}
\end{pspicture*}
  \end{center}
\end{multicols}


\subsection{Coefficient directeur d'une tangente}

\Cadre[Equation de tangente]{
Soit $f$ une fonction dérivable en un réel $a$.\\
Le nombre $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$.\\
Cette tangente a pour équation :
$$T_a : y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
}


\Expls{
La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. \\
En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée.\newline
En vous servant du quadrillage :
\begin{enumerate}
 \item Lisez les nombres suivants :
$$ f(-5)\qquad f(0)\qquad f(-1) \qquad f(4) \qquad f(2) \qquad f(-3)\qquad f(9)\qquad f(6)$$
$$ f'(-1)\qquad f'(0)\qquad f'(2) \qquad f'(-5) \qquad f'(-3) \qquad f'(9)\qquad f'(6)\qquad f'(4)$$
 \item Retrouvez les équations de chacune des tangentes tracées.
 \end{enumerate}
 \begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=2](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,1,1,1)(-3,2,-2,1)(-1,-2,3,1)(0,2,1,1)(2,1,0,1)(4,0,0.666,3)(6,-2,-2,1)(9,2,0.5,1)(10,-1,-4,0) 
\uput[ur](7.6,-1.7){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
}

\newpage

\begin{ExoF}
La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. \\
En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée. En vous servant du quadrillage :
\begin{enumerate}
 \item Lisez les nombres suivants :
$$ f(-1)\qquad f(3)\qquad f(2) \qquad f(-3) \qquad f(10) \qquad f(5)$$
$$ f'(2)\qquad f'(-1)\qquad f'(-3) \qquad f'(10) \qquad f'(5) \qquad f'(3)$$
 \item Retrouvez les équations de chacune des tangentes tracées.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,3,2,0)(-3,-2,-1,1)(-1,1,-2,1)(2,-4,3,1)(3,4,0.333,1)(5,-1,0,1)(10,-3,-2.333,3) 
 \uput[ur](2,1){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
\end{ExoF}

\newpage
\section{Fonction dérivée}
\subsection{Calculs}

\Cadre[Formules]{
 \textbf{Dérivée des fonctions de référence :}
\begin{center}
\begin{tabular}{|C{7cm}|C{4cm}|C{3cm}|}
\hline
\rowcolor{gray!50} $f(x)$ & $f'(x)$ & Domaine de d\'erivabilit\'e \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $k$ (nombre fix\'e) & 0 & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $x^n$, $n \in \Z^*$ (fonction puissance) & $nx^{n-1}$ & $\R$ si $n>0$, $\R^*$ sinon \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\dfrac{1}{x}$ (fonction inverse) & $-\dfrac{1}{x^2}$ & $\R\textbackslash\{0\}$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\cos{x}$  & $-\sin(x)$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $\sin{x}$  & $\cos(x)$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\textbf{Composée de fonctions : }\\
Soient $u$ et $v$ deux \textbf{fonctions} d\'erivables sur un intervalle I et $k$, $\omega$ et $\phi$ des 
nombres réels.\newline
Les fonctions ci-dessous sont d\'erivables sur I et on a :
\begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
  \item $(ku)'=ku'$ \quad $(k \in \R)$\\
  \item $(u+v)'=u'+v'$\\
  \item $(u\times v)'=u'v+vu'$\\
  \item $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$\\
  \item $\big(u^n\big)'=n u' u^{n-1}$ \quad $(n \in \Z^*)$ \\
  avec $u(x)\neq 0$ pour tout $x\in I$ si $n<0$\\
  \item $\big(\cos(\omega t + \phi)\big)'=-\omega\sin(\omega t + \phi)$\\
  \item $\big(\sin(\omega t + \phi)\big)'=\omega\cos(\omega t + \phi)$\\
 \end{itemize}
\end{multicols}
}

\Rq{$\dfrac{1}{u}=u^{-n}$
}

\Expls{
Dans chacun des cas suivants, dériver les fonctions suivantes sur l'intervalle considéré :
\begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
 % \item $f(x)=5x^3$ \quad sur $\R$\\
  \item $f(x)=2x^5+\dfrac{1}{x}+\cos(3x+4)-5$ \quad sur $]0;+\infty[$\\
  \item $f(x)=x\cos(x) + 1$ \quad sur $\R$\\
  \item $f(x)=\dfrac{3x+2}{4-2x}$ \quad sur $]2;+\infty[$\\
    \item $f(x)=\big(5x^2-6x-4\big)^8$ \quad sur $\R$\\
       \item $f(x)=\dfrac1{(x-1)^2}$ \quad sur $]1;+\infty[$\\
      \item $f(x)=\big(\sin(-3x+2)\big)^5$ \quad sur $]2;+\infty[$\\
  \end{itemize}
\end{multicols}
}


\begin{ExoF}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^4-2x+1$.\\
Soit $\mathscr C_f$ sa représentation graphique.\\
Donner (en justifiant) l'équation de la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $0$.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr C$ d'équation $y=\sin (4x)$ au point d'abscisse $0$.
\item Vérifier votre résultat graphiquement sur votre calculatrice.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, calculer leur fonction dérivée (on ne demande pas le domaine de dérivabilité) :
$$f:x\longmapsto (2x+3)\cos{x} \qquad\qquad f:x\longmapsto (3\sin(x)+1)^4 \qquad\qquad  f:x\longmapsto (5x^4-4x+1)\times \dfrac1x$$
$$f:x\longmapsto \dfrac19 - \dfrac1{x^3} \qquad  \qquad  f:x\longmapsto \dfrac{x^2+5x-2}{x^7-4} \qquad\qquad
f:x\longmapsto \dfrac{x^2-x+7}{5} \qquad \qquad  f:x\longmapsto \dfrac{\cos(-3x+1)}{2x+5}$$
$$f:x\longmapsto \big(x^2+3x-1\big)^3 \qquad \qquad  f:x\longmapsto 4(2x^2-3)^7 \qquad \qquad
f:x\longmapsto \dfrac{1}{(4x-5)^3} \qquad \qquad  f:x\longmapsto \dfrac{3}{(x^2+4)^5}$$
\end{ExoF}

\subsection{Sens de variation}

\begin{theo}
 Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$
\begin{itemize}
\item $f$ est strictement croissante sur $I$ si, et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)\geq 0$
\item $f$ est constante sur $I$ si, et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)=0$
\item $f$ est strictement décroissante sur $I$ si, et seulement si pour tout réel $x$ de $I$, $f'(x)\leq 0$
\end{itemize}
\end{theo}

\Rq{
On comprend facilement ce théorème en interprétant le nombre dérivée d'une fonction en un point comme le
coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de cette fonction en ce point. \\
La démonstration formelle utilise des notions non au programme.
}

\Expl{
Soit $f$ la fonction définie par :
$$f(x) = \dfrac{x^2+1}{-3x^2+2x-1}$$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer le domaine de définition de fonction $f$.
 \item Montrer que
 $$f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-4x-1\right)}{\left(-3x^2+2x-1\right)^2}$$
 \begin{enumerate}
   \item Etablir le tableau de signes de $f'$.
  \item En déduire les tableaux de variations de $f$.
  \item Préciser les éventuels extrema locaux de $f$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

 \begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ sur $\R$
\begin{enumerate}
\item A l'aide de la calculatrice, 
\begin{enumerate}
 \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$
 \item En déduire le tableau de signes de la fonction $f'$.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{9cm}
\item A l'aide du résultat donner par Xcas, 
\begin{enumerate}
 \item Dresser le tableau de signes de $f'(x)$
 \item En déduire le tableau de variation de $f$.
  \item Préciser les extrema locaux de $f$.
\end{enumerate}
\item Vérifier la cohérence de vos résultats. 
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
 \includegraphics[scale=0.5]{Exo5}
\end{minipage}
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\noindent\begin{minipage}{11cm}
\begin{ExoF}
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.
  
On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $[-3~;~2]$ dont la courbe $\mathscr C'$ de la fonction \textbf{dérivée}
$f'$ est représentée ci-contre.
\begin{enumerate}
\item Dresser graphiquement le tableau de signes de $f'(x)$. 
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. 
\item On sait de plus que $f(0)=-1$.\\
Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3~;~2]$ a-t-on $\:f(x) \geqslant -1$ ?
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.\\
 Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $\mathscr C$ au point d'abscisse $0$.
\item Cette tangente passe-t-elle par le point de coordonnées $(3~;~1)$ ? Par celui de coordonnées $(1~;~0)$ ?
\end{enumerate} 
\end{ExoF}
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-3.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](-3,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4](0,0)(-3.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2}{x 1 add 2 x sub mul 0.5 mul 2.71828 x 2 div exp mul}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,-1.133)(-2,-0.7333)(-1,0)(0,1)(0.5,1.4333)(1,1.6666)(1.6666,1)(2,0)
\uput[d](-2.7,-1.2){$\mathcal{C}'$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{minipage}


\begin{ExoL}
Exos De Fabrice sur boulet de canon et table oscillante (graphiquement).\\
Nathan (Intervalle) : n$^{\circ}$ 60 p 88 (circuit électrique) en donnant la dérivée sur Xcas.
\end{ExoL}


\section{Vers les primitives}

\begin{act}
 On modélise la course d'un sprinter de 100 mètres à l'aide des informations suivantes :
 \begin{itemize}
  \item le sprinter jaillit des starting-blocks avec une vitesse initiale de $4,5$ m.s$^{-1}$
  \item son accélération est constante, de $1,4$ m.s$^{-2}$, pendant les 6 premières secondes de la course
  \item au bout de 6 secondes, le sprinter a atteint sa vitesse maximale, qui reste constante, et il garde la même 
  allure jusqu'à l'arrivée, c'est-à-dire pour tout $t\geq 6$
 \end{itemize}
Dans toute la suite, on appelle 
\begin{itemize}
 \item $a$ la fonction qui au temps $t$ associe l'accélération à l'instant $t$,
 \item $v$ la fonction qui au temps $t$ associe la vitesse à l'instant $t$,
 \item $d$  la fonction qui au temps $t$ associe la distance parcourue à l'instant $t$,
\end{itemize}
\partieBac{Phase d'accélération}
Dans cette partie, on s'intéresse aux 6 premières secondes de course : $t\in[0;6]$. 
\begin{enumerate}
 \item D'après l'énoncé donner l'expression $a(t)$ pour tout $t\in[0;6]$
 \item On rappelle que pour tout $t$, on a $a(t)=v'(t)$.\\
\textit{ On dit alors que la fonction $v$ est une \textbf{primitive} de la fonction $a$.}
 \begin{enumerate}
  \item Donner une fonction $v$ possible.
    \item Donner une autre fonction $v$ possible. 
    \item Combien y a-t-il de telles fonctions possibles ? Donner leur forme générale.
   \item Que vaut $v(0)$ ? En déduire l'expression $v(t)$ correspondant au contexte de l'activité.
 \end{enumerate}
 \item On rappelle que pour tout $t$ on a $v(t)=d'(t)$.\\
  \textit{On dit alors que la fonction $v$ est une \textbf{primitive} de la fonction $a$.}
  \begin{enumerate}
   \item Donner une fonction $d$ possible.
 \item Donner une autre fonction $d$ possible. 
    \item Combien y a-t-il de telles fonctions possibles ? Donner leur forme générale.
   \item En utilisant la valeur de $d(0)$, donner l'expression de $d(t)$ correspondant au contexte de l'activité.
 \end{enumerate}
 \item Déduire des résultats précédents :
 \begin{enumerate}
  \item la vitesse atteinte par le sprinter au temps $t=6$, notée $v(6)$
  \item la distance parcourue par le sprinter au temps $t=6$, notée $d(6)$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\partieBac{Fin de course}
Pour $t\geq 6$, la vitesse est constante et égale à $v(6)$
\begin{enumerate}
 \item En suivant la même démarche que précédemment, montrer que pour tout $t\geq 6$ on a 
 $$d(t)=12,9t-25,2$$
 \item A quel instant $t$ le sprinter franchit-il la ligne d'arrivée ? Arrondir le résultat au centième. 
\end{enumerate}
\end{act}

\Cadre[Conclusion]{
La fonction $a$ est LA dérivée de la fonction $v$ ; la fonction $v$ est UNE primitve de la fonction $a$.\\
Les conditions initiales donne l'unicité de la primitive.
La fonction $v$ est LA dérivée de la fonction $d$ ; la fonction $d$ est UNE primitve de la fonction $v$.\\
Les conditions initiales donne l'unicité de la primitive.
}

\begin{defi}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. \\
On appelle \textbf{primitive} de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dont la dérivée sur $I$ est $f$.\\
Ainsi $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ on a $$F'(x)=f(x)$$
\end{defi}


\Expls{
  \begin{itemize}
   \item $x\longmapsto x^2$ et $x\longmapsto x^2-5$ sont des primitives de $x\longmapsto 2x$ sur $\R$.
 \item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $ f(x)=x^2-2x+\cos x$\\
Déterminons (mentalement) une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.\\
La fonction $F$ définie par $ F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+\sin x$
convient.\\ 
En effet pour tout $x\in\R$, la fonction $F$ est dérivable (comme somme de fonctions qui le sont) et  
$$F'(x)=\dfrac{3x^2}{3}-2x+\cos x=f(x)$$
Remarquons que la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+\sin x+12 $
convient aussi puisque la dérivée d'une constante est nulle. 
  \end{itemize}
 }

\Rq{
  Si $f$ admet une primitive sur $I$, alors elle en admet une infinité.
}

\begin{ExoF}
 Soit les fonctions $f$ et $F$ définies sur $\R$ respectivement par $f(x)=x^3-5x^2+1$
 et $F(x)=\dfrac{x^4}4-\dfrac{5x^3}3+x-7$.\\
 Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
\end{ExoF}

\noindent \begin{minipage}{11cm}
\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item  Indiquer en justifiant la réponse, si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur 
 l'intervalle $I$
 \begin{enumerate}
 \item $F(x)=\dfrac{x^2}{x+1}\quad \text{ et }\quad f(x)=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ \quad ($I=]-1;+\infty[$)
  \item $F(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\quad \text{ et }\quad f(x)=\dfrac{4x}{(x+1)^2}$ \quad ($I=\R$)
  \item $F(x)=x\cos(2x)\quad \text{ et }\quad f(x)=\cos(2x)+2x\sin(2x)$ \quad ($I=\R$)
  \end{enumerate}
   \item Vérifier vos réponses à l'aide des résultats proposés par Xcas ci-dessous
  \end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
 \quad \begin{minipage}{9cm}
  \includegraphics[scale=0.5]{Exo8}
       \end{minipage}



\noindent 
 \begin{minipage}{11cm}
\begin{ExoF} 
 La courbe $C$ ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $F$ définie sur $[-3;2]$. \\
 Cette courbe admet deux tangentes horizontales aux points $A(1,0)$ et $B(-2;27)$.
 \begin{enumerate} 
\item \begin{enumerate}
         \item Déterminer $F(-2)$. 
         \item Déterminer $F'(-2)$. Justifier.
         \item Dresser le tableau de variation de $F$ en y incluant une ligne pour le signe de $F'$.
        \end{enumerate}
        \item La fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur $[-3;2]$.
 \begin{enumerate}
  \item Compléter : pour tout $x\in[-3;2]$ on a $F'(x) = ...$
  \item Déduire alors de la question 1 :
  \begin{itemize}
   \item la valeur de $f(-2)$
  \item le tableau de signes de $f$
  \end{itemize}
  \item Parmi les trois courbes ci-dessous se trouve la courbe représentative de $f$.\\
  Laquelle est-ce ? Justifier.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{ExoF}
         \end{minipage}\quad
 \begin{minipage}{8cm}
  \psset{xunit=1cm,yunit=0.12cm}
\begin{pspicture*}(-4,-5)(3,30)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4,-5)(3,30)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=5,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-4,-5)(3,30)
\psplot[plotpoints=200]{-4.0}{3.0}{2*x^3+3*x^2-12*x+7}
\psline{<->}(-3,27)(-1,27)
\rput[tl](1.87,23.23){C}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](-2,27)
\rput[bl](-1.97,27.62){\blue{$A$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](1.03,0.67){\blue{$B$}}
\end{pspicture*}\\
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.12cm}
\begin{pspicture*}(-3,-15)(3,20)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-15)(3,20)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=5,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-3,-15)(3,20)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=green,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{6*x^2+6*x-12}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{6*(x-0.7)*(x+1.7)}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{-(6*x^2+6*x-12)}
\rput[tl](-2.29,15.24){\red{$\mathscr C_2$}}
\rput[tl](-3.05,8.73){\green{$\mathscr C_1$}}
\rput[tl](-2.41,-11.57){\blue{$\mathscr C_3$}}
\end{pspicture*} 
 \end{minipage}
 

 
\noindent \begin{minipage}{10cm}
\begin{ExoF}
 Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est tracée ci-contre.\\
 On note $F$ une primitive de $f$ sur $\R$.\\
 En vous aidant du graphique, compléter les tableaux ci-dessous.
 \end{ExoF}
 \end{minipage}\qquad 
 \begin{minipage}{8cm}
 \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-6,-3)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-6,-3)(5,5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-6,-3)(5,5)
\psplot[plotpoints=200]{-6.0}{5.0}{0*x^4+0.1*x^3+0.23*x^2-0.88*x}
\psline{<->}(-3.7,2.1)(-1.7,2.1)
\psline{<->}(0.15,-0.55)(2.15,-0.55)
\end{pspicture*}\\
\end{minipage}
 \\
  \begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=2,espcl=3]{ $x$
/ 0.8,
Signe de $f’(x)$
/ 1,
Variations de $f$ / 2}
{,,}
{,,,}
{,,,}%
\end{tikzpicture}
  \quad \begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=2,espcl=3]{ $x$
/ 0.8,
Signe de $F’(x)$
/ 1,
Variations de $F$ / 2}
{,,}
{,,,}
{,,,}%
\end{tikzpicture}



\end{document}
