\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

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\setcounter{NumLecon}{10}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\DocCha


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours

\section{Echantillonnage}
\subsection{Introduction}
\begin{act}
 
Un candidat A est élu à une élection avec $52\%$ des voix.\\
On effectue un sondage sur un échantillon de cent personnes 
choisies au hasard à la sortie des urnes. 
\begin{itemize}
 \item La fréquence de gens qui ont voté pour le candidat A dans 
l’échantillon de 100 personnes peut-elle être exactement $52\%$ ?
\item Peut-elle être différente de $52\%$ ? 
\end{itemize}
Pour chaque personne interrogée, on s’intéresse à son vote : 
\begin{itemize}
 \item Soit pour le candidat A, ce qui est considéré comme un succès
\item Soit pour un autre candidat.
\end{itemize}
On considère que chaque personne interrogée a voté indépendamment 
des autres.\\
La variable aléatoire $X$ qui à chaque échantillon de cent 
personnes associe le nombre de succès suit donc la
loi binomiale $B(100~;~0,52)$

Comme $n$ est assez grand et $p$ n'est pas trop proche de 0 ou ni de 1,
on peut considérer que les conditions sont 
réunies pour approximer cette loi binomiale par une 
loi normale de paramètres $\mu=np=52$  et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}\simeq 5$.

On sait alors que  
$$P\left(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu+ 2\sigma\right) \simeq 95\%$$

La fréquence de gens qui ont voté pour A est donnée par 
$\dfrac{X}n$. On a donc : 
$$P\left(\dfrac{\mu-2\sigma}n \leq \dfrac{X}n \leq \dfrac{\mu+ 2\sigma}n \right) \simeq 95\% \iff
P\left(p-2\sqrt{\dfrac{ p(1-p)}n} \leq \dfrac{X}n \leq p+2\sqrt{\dfrac{ p(1-p)}n} \right) \simeq 95\%$$

En fait, pour être plus précis, on a 
$$P\left(p-1.96\sqrt{\dfrac{ p(1-p)}n} \leq \dfrac{X}n \leq p+1.96\sqrt{\dfrac{ p(1-p)}n} \right) \simeq 95\%
\iff P\left(0.42 \leq \dfrac{X}n \leq 0.62 \right) \simeq 95\%$$

Concrètement, cela signifie que si l'on réalise un grand nombre 
d'échantillons de 100 personnes à la sortie des urnes, environ
$95\%$ d'entre eux auront une fréquence de vote pour A 
comprise entre $0.42$ et $0.62$ 


\begin{minipage}{8cm}
On a effectué une simulation sur tableur pour 200 échantillons 
de 100 personnes.\\

Simulation du vote pour chaque personne : \fbox{=SI(ALEA()<0.52;1;0)}\\
Fréquence par échantillon : \fbox{=Moyenne()}\\
\end{minipage}
\quad
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.5]{IntroEch}
\end{center}
\end{minipage}


On observe sur tableur qu'environ $95\%$ 
des fréquences d’échantillons de taille 100 sont bien dans l'intervalle $[0,42 ~;~ 0,62]$
\end{act}

\subsection{Intervalle de fluctuation asymptotique à environ $95\%$}
\begin{defi}[Proposition]
Quand on prélève un échantillon de taille $n$ dans une 
population qui contient une proportion $p$ d'un caractère 
étudié, alors la fréquence $f$ de ce caractère dans 
l’échantillon appartient à l’intervalle 
$$I_f=\left[p-1.96\sqrt{\dfrac{ p(1-p)}n} \leq \dfrac{X}n \leq p+1.96\sqrt{\dfrac{ p(1-p)}n} \right] $$
avec une probabilité d'environ $95\%$.\\

Cet intervalle est appelé \textbf{Intervalle de fluctuation asymptotique à $95\%$}
\end{defi}

\Rq{Pour avoir le droit d'affirmer cela, il suffit de pouvoir 
approximer la loi binomiale par la loi normale, ie que 
$n\geq 30$, $np\geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$
}

\Expl{
Lors de l’élection présidentielle de 2002, $16,2\%$ 
des bulletins exprimés étaient en faveur de Lionel Jospin.\\
A la sortie des urnes, un sondeur a interrogé un millier de 
personnes. Soit $f$ la fréquence de personnes qui ont voté
L. Jospin dans cet échantillon. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique 
 de f à $95\%$. Interpréter.
\item  Qu’arrive-t-il à l’intervalle si l’échantillon 
devient de taille $n= 2 000$ ? et $n=10 000$ ?
\end{enumerate}
}


\subsection{Prise de décision}
\textbf{Introduction :} On cherche à savoir si un dé est pipé ou non. \\Pour cela, 
on peut par exemple le lancer un grand nombre de fois, et regarder la fréquence
d'apparition du 1. \\
Si le dé n'est pas pipé on devrait trover une fréquence
proche de $\dfrac16$. Mais qu'entend-on par <<proche>> ?\\
C'est là où l'$I_f$ peut fournir un critère de décision :
\begin{itemize}
 \item On calcule l'$I_f$ correspondant à notre hypothèse 
 $f=\dfrac16$ pour les $n$ lancers effectués.
 \item Si la fréquence observée d'apparition du 1 
 dans l'échantillon est dans l'$I_f$, alors on peut penser
 qu'elle est assez proche de $\dfrac16$, et donc accepter l'hypothèse
 que le dé n'est pas pipé.
 \item Sinon, on peut considérer que la fréquence observée
 est trop loin de $\dfrac16$, et donc penser que le dé est pipé
\end{itemize}

\Rq{Est-on pour autant sûr de notre réponse, dans un cas comme dans l'autre ??\\
Evidemment non ! 
\begin{itemize}
 \item Dans le cas où l'on accepte l'hypothèse, on n'est quand même
 sûr de rien, mais on n'est pas capable d'évaluer le risque d'erreur
 \item Dans le cas où l'on refuse l'hypothèse, c'est parce que l'on considère
 que notre échantillon n'est pas cohérent avec la théorie, puisque l'$I_f$
 ne contient pas $f$. Mais la théorie dit justement que 
 seuls $95\%$ des échantillons le sont ! Donc on a un risque de $5\%$ de se tromper.
\end{itemize}
}


\Expl{
Dans une serre où sont élevées des drosophiles, 
le pourcentage de mouches du type <<yeux rouge>> est censé 
être de $80\%$ si aucun facteur extérieur ne vient 
provoquer des mutations.\\
On prélève un échantillon de 1000 mouches et on en compte 
760 du type yeux rouges. \\
Peut-on détecter la présence d’un facteur extérieur ? 
}

\Cadre[Méthode à suivre]{
\begin{enumerate}
 \item On repère dans l’énoncé l’hypothèse faite sur une 
proportion $p$ dans la population.
\item On détermine l’intervalle de fluctuation asymptotique à 
$95\%$ des fréquences sur les échantillons de taille $n$.
\item On prend une décision :
\begin{itemize}
 \item Si la fréquence $f$ observée dans l’échantillon appartient 
à l’intervalle de fluctuation, on accepte l’hypothèse selon
laquelle la proportion est bien $p$ dans la population, puisque
l'ensemble est cohérent.
\item Si la fréquence $f$ observée dans l’échantillon 
n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation, 
on rejette l’hypothèse selon laquelle la proportion 
est bien $p$ dans la population, puisque cela semble peu cohérent
\end{itemize}
\end{enumerate}
}

\section{Estimation}
\subsection{Introduction}
 \begin{act}\\
  \textbf{\underline{Matériel} : }On dispose d'une bouteille opaque que l'on ne peut ouvrir, contenant un certain nombre de billes 
  noires et blanches (resp. 9 et 8, non dit aux élèves évidemment).
  Quand on retourne la bouteille, on distingue près du bouchon trois billes à chaque fois.\\
  
  Montrer simplement la bouteille aux élèves et leur dire que l'on cherche à connaître la proportion $p$ de billes noires. \\
  \textbf{\underline{Question} : } Proposer un protocole.  \\
  
  Voici diverses questions à poser aux élèves au fur et à mesure :
  \begin{itemize}
   \item Le terme <<connaître>> est-il approprié ? Que pourrait-on dire de mieux ?
   \item Aurait-on obtenu la même estimation en prélevant un autre échantillon de même taille ?
   \item La taille de l’échantillon est-elle suffisante au vu du nombre de billes dans le sac ?
 \item Quelle confiance accorder au fait que l'échantillon ait conduit à une proportion de ... $\%$ ?
 \item Proposer un intervalle dans lequel on peut estimer que $p$ soit, avec une confiance de $95\%$.
 \item Aurait-on gagné en précision si l’on avait augmenté la taille de l'échantillon ?
  \item Proposer des problèmes concrets où l'on se pose le même genre de questions.\\
  \end{itemize}
  \end{act}
 
\textbf{Résultats dans une classe :}
Stéphane a regardé 100 fois trois perles à la fois. 
Même si ce n'est pas le cas à cause de ma bouteille mal construite, on va considérer que Stéphane a regardé 
un échantillon de 300 perles, dans un tirage \textbf{avec remise} (ce qui sera toujours le cas dans les exercices).\\
Il a obtenu 177 perles noires contre 123 perles blanches, donc on peut estimer la fréquence de perles noires à 
$\dfrac{177}{300}=\dfrac{59}{100}$, soit environ 10 perles sur les 17 présentes.\\
L'intervalle de confiance à $95\%$ associé est : 
$$\left[0.59-1.96\sqrt{\dfrac{0.59\times 0.41}{300}}~;~ 0.59+1.96\sqrt{\dfrac{0.59\times 0.41}{300}}\right]
\simeq [0.53;0.65]$$
\textit{Il faut arrondir par défaut et par excès en fonction des bornes inf et sup ...}\\



 
\textbf{Le problème de l'\textit{estimation} est celui qui se pose dans la pratique des sondages 
ou des contrôles de qualité : 
à partir d'une fréquence $f$ observée sur un échantillon, estimer la fréquence $p$ correspondante, 
dans la population}.\\
Sauf à prendre comme échantillon la population toute
entière (et dans ce cas, c'est un recensement et non un sondage) cette
estimation dépend du hasard qui a amené l'échantillon. \textbf{Il n'y aura aucune certitude. }
C'est le type même du raisonnement inductif, qui n'a pas, on le verra, le caractère de la rigueur 
habituelle en mathématiques. Mais c'est ça ou rien...\\

On procède par sondages pour des raisons économiques. Il se
peut, en particulier, qu'un contrôle de qualité nécessite la
destruction des pièces testées, comme pour la mesure de résistance aux
chocs...


\subsection{Intervalle de confiance d'une proportion}

\begin{defi}[Proposition]
Dans un échantillon de taille $n$, on observe une fréquence $f$
d'apparition d'un caractère.\\
On peut alors estimer que la proportion $p$ d'apparition 
de ce caractère dans la population totale appartient à 
l'\textbf{intervalle de confiance} 
$$I_c=\left[f-1.96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} ~ ;~ f+1.96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}\right]$$
avec un niveau de confiance de $95\%$ (ou encore au risque de $5\%$)
\end{defi}


\Rqs{
\item On se place encore une fois dans le cas où : $n\geq 30$ , $nf \geq 5$ et $n(1-f)\geq 5$. 
\item Cet intervalle a pour centre la fréquence $f$ de l'échantillon considéré et change en fonction de l'échantillon
considéré. Une même proportion $p$ a donc une infinité d'intervalles de confiance au seuil de $95\%$ ...
\item <<On distinguera confiance et probabilité :
\begin{itemize}
 \item avant le tirage d'un échantillon, 
 la procédure d'obtention de l'intervalle de confiance a
une probabilité de $0.95$ que cet intervalle contienne 
le paramètre inconnu $p$,
\item après le tirage, le paramètre $p$ est dans l'intervalle calculé avec une confiance $95\%$.>>
\end{itemize}
En effet, on ne peut pas dire que $p$ a 95 $\%$ de chances 
d'appartenir à un intervalle de
confiance donné tel que $[0,504 ; 0,696]$. 
Cette expression ne contient rien d'aléatoire, et $p$
est, ou non, dans cet intervalle, 
sans que le hasard n'intervienne. \\
On peut simplement dire par exemple que, 
\textbf{sur un grand nombre d'intervalles de confiances 
(obtenus à partir d'un grand nombre d'échantillons), 
environ 95$\%$ contiennent effectivement la valeur de $p$}, 
ou encore que l'on a $95\%$ de chances d'exhiber un 
intervalle contenant $p$ (avant le tirage de
l'échantillon). 
}




\Dem[Hors Programme]{
Introduisons la variable aléatoire d'échantillonnage $X$ qui, à tout échantillon de taille $n$
prélevé au hasard avec remise, associe le nombre de boules noires contenues dans
l'échantillon. \\
On sait que $X$ suit la loi binomiale $\mathscr B (n , p)$ laquelle est proche de la loi normale $\mathscr N (np , \sqrt{np(1 - p)})$.\\
Par conséquent, la variable aléatoire $F=\dfrac{X}{n}$, qui représente la fréquence de billes noires 
de l'échantillon, suit une loi proche de $\mathscr N \left(p , \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right)$. 
\\
Ainsi, on peut déterminer le réel positif $h$ tel que $P (p -h \leq F \leq  p + h) = 0,95$.
On a :
\begin{eqnarray*}
P (p – h \leq F \leq  p + h) = 0,95 &\iff & P ( -h \leq F-p \leq   + h) = 0,95\\
&\iff & P \left( -\dfrac{h}{\sigma} \leq \dfrac{F-p}{\sigma} \leq   \dfrac{h}{\sigma}\right) = 0,95\\
& \iff & P\left(-\dfrac{h}{\sigma} \leq Z \leq   \dfrac{h}{\sigma}\right)=0.95
\end{eqnarray*}
où $Z$ suit la loi normale $\mathscr(0,1)$. A la calculatrice, on peut alors trouver $\dfrac{h}{\sigma}=1.96 \iff h=1.96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}$\\
\textit{Faire la dernière étape avec les élèves à l'aide du schéma de la densité de la loi normale
et de la calculatrice : InvNorm$((1+\alpha)/2)$}

Ainsi, pour chaque valeur de $p$, on sait que la variable aléatoire $F$ prendra ses valeurs dans 
l'intervalle $$I=\left[p-1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} ~;~ p+1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]$$
avec une probabilité de $95\%$. \\
Cet intervalle est appelé \textbf{intervalle de fluctuation}\\
Supposons que $n=100$ (la taille de l'échantillon est connue) alors $I=...$.

Mais l'estimation est le problème inverse de la fluctuation, puisqu'on cherche $p$ à partir de la fréquence
observée $f$, ie de son estimation ponctuelle.
Or, on a l'équivalence 
$$p-1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} <F< p+1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}
\iff F-1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} <p< F+1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}$$
Comme $p$ se situe dans les deux bornes, on y substitue, faute de mieux, son estimation ponctuelle $f$ observée.\\
\textit{En réalité, c'est un peu plus compliqué mais en gros, c'est l'idée}


Ainsi de façon générale, on proposera comme intervalle de confiance de la fréquence $p$ sur la
population totale, au coefficient de confiance de $1-\alpha$, l'intervalle : 
$$\left[f-u_{\alpha} \sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}} ~;~ f+u_{\alpha} \sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right]$$

où $u_{\alpha}$ est donné par la calculatrice en utilisant la commande InvNorm pour loi normale $N (0 , 1)$ 
et de paramètre $1-\dfrac{\alpha}2$.\\
Dans le cas précédent, pour $f = 0,6$ ; $n = 100$ et $A = 95 \%$, on obtient $u_{5\%} = 1,96$ et comme
intervalle de confiance pour $p$ : $[0,504 ; 0,696]$ , centré sur la valeur observée $f = 0,6$ .
}

\Expl{
Un sondage dans une commune révèle que sur les $500$ personnes interrogées, $42\%$ 
sont mécontentes de l'organisation des transports. Déterminer, au risque de $5\%$, 
un intervalle de confiance du pourcentage $p$ de personnes mécontentes dans la commune.
}

\subsection{Mieux comprendre le sens}
\textbf{\underline{Objectifs} :}
\begin{itemize}
\item  Etudier l'impact du coefficient de confiance et de la taille de l'échantillon.
\item  Expérimenter la dépendance des intervalles de confiance à l'échantillon choisi.
\end{itemize}

Travaillons sur un exemple d'élection où les scores étaient particulièrement
serrés : Le 10 mai 1981, François Mitterrand a été élu avec $51,75 \%$ des
voix, alors que Valery Giscard d'Estaing n'a recueilli que $48,25 \%$ des suffrages.\\
On suppose que l'on effectue des sondages le jour de l'élection, pour
estimer la proportion $p$ des partisans de Giscard dans l'électorat (en
réalité, $p = 0,4825$).\\

\partieBac{Taille $n=100$ et coefficient de confiance $=90\%$ }
Ouvrir la feuille de calculs et expliquer sa construction.\\
Sur un exemple de 10 sondages,
\begin{enumerate}
\item Sur cette feuille, combien de sondages donne Giscard vainqueur (à tort évidemment)
\item Combien d'intervalles de confiance prévoient complètement la victoire de Mitterrand ?
\item Combien d'intervalles de confiance contiennent effectivement $p$ ?
\item Deux intervalles de confiances ont-ils obligatoirement le même centre ?
\item Deux intervalles de confiance peuvent-ils n'avoir aucun élément commun ?
\item Est-ce que $p = 0,4825$ appartient nécessairement à l'intervalle de confiance donnée par un
sondage ?
\item Quel est, sur 100 sondages observés, le pourcentage d'intervalles à $90\%$ de confiance ne
contenant pas la valeur $p$ à estimer ?
\end{enumerate}


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{IC90}
\end{center}

\partieBac{Taille $n=100$ et coefficient de confiance $95\%$}
Il suffit de modifier la cellule correspondante. Quel est l'impact sur l'IC ?\\

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{IC95}
\end{center}

Les intervalles de confiance à $95 \%$ se "trompent" moins souvent (statistiquement, on peut
observer qu'environ $95 \%$ contiennent la valeur p) parce qu'ils sont plus "longs".\\

On peut observer de légers écarts d'amplitude entre les différents intervalles, selon que f est
petit (échantillon 6) ou grand (échantillon 4).


\partieBac{Taille $n=1000$ et coefficient de confiance $95\%$}
On fait une nouvelle feuille de calcul avec 10 nouveaux échantillons de taille $n=1000$.
Quel est l'impact sur l'IC ?

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{IC1000}
\end{center}

La plus grande qualité de l'information se traduit par une amplitude
notablement réduite des intervalles.\\
Il y a toujours, statistiquement, $95 \%$ qui contiennent $p$ (sur l'image,
l'échantillon 4 ne contient pas $p$).

\subsection{Application : Comparaison de deux proportions}
\Expl{
On s’intéresse à l‘efficacité supposée d’un médicament 
pour soigner le dos. \\
Pour cela, on administre un placebo 
à 1300 patients et le médicament à 1300 autres.\\
La fréquence de personnes qui sont soulagées avec 
le placebo est de $40\%$. \\
La fréquence de personnes qui sont soulagées avec 
le médicament est de $44\%$.\\

Peut-on juger que ce médicament est efficace ? \\
}

\Cadre[Méthode]{ 
\begin{enumerate}
 \item On fait l‘hypothèse que deux échantillons de taille $n$ sont issus 
 de la même population relativement à un caractère, 
 et donc que les deux proportions sont égales.
\item  On détermine les deux intervalles de confiance à 
$95\%$ de $p$ pour chacun des échantillons
\item \begin{itemize}
       \item Si les deux intervalles de confiance 
       sont disjoints, alors la différence entre les deux fréquences est considérée comme significative :
       on rejette l’hypothèse selon laquelle les deux proportions sont égales 
       (avec un risque autour de $5\%$).
\item  Si les deux intervalles de confiance ne sont pas 
disjoints, on ne peut pas rejeter l’hypothèse selon 
laquelle les deux proportions sont égales.
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}


\Sol{
On fait l’hypothèse que les proportions sont égales, 
c'est-à-dire que les deux échantillons font partie 
de la même population (i.e. : le médicament n’est pas 
efficace et donc n’a pas plus d’influence que le placebo).
On calcule les deux intervalles de confiance correspondant et on 
regarde s'ils sont disjoints ou non pour conclure.
}

\end{document}
