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\title{
\Huge \vspace{-2cm} \textsc{
Dérivation - Application
} \\
\vspace{3mm} \textbf{\Large  Problèmes avec prise d'initiative }
}
\author{ D.Zancanaro}
\date{ }

\begin{document}






\maketitle
\hrule


\section{Rectangle d'aire maximale}

Un fermier dispose de 100 m de clôture pour délimiter un enclos de forme rectangulaire.

Quelles dimensions donner à ce rectangle pour qu'il ait une aire maximale?

Calculer cette aire maximale.

\section{Boite de volume maximal}


A l'aide d'une feuille de carton rectangulaire de 30 cm ä 48 cm, on demande de faire une boîte
rectangulaire ouverte de capacité maximum en découpant des carrés sur les angles et en pliant les
rebords de la figure obtenue en forme de croix.

Quelle doit être la dimension du carré enlevé ?

Quel est le volume maximal ?

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{boite.png}
\end{center}

\section{Casserole}

Quelle proportion donnée à une casserole pour  obtenir le volume maximal à partir d'une tôle de surface donnée ?
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{casserole.png}

\end{center}

On note $x$ le rayon de la base et $h$ la hauteur de la casserole.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que :
$$ h=\dfrac{S-\pi x^2}{2\pi x}$$
où $S$ désigne la surface totale.
\item En déduire que le volume en fonction de $x$, notée $f(x)$ vaut :
$$ f(x)=\dfrac{Sx -\pi x^3}{2}$$
\item Etudier la fonction $f$ et montrer que $f$ est maximal pour $x=\sqrt{\dfrac{S}{3\pi}}$. En déduire qu'alors $h=x$.
\end{enumerate}

\section{Minimiser un temps de parcours}

 Le
gardien
d'un
phare
(A)
doit
rejoindre
le
plus
rapidement
possible
sa
maison
côtière
(B).
Il
se
déplace
en
canot
à
la
vitesse
de
4
km/h
et
à
pied
à
la
vitesse
de
5
km/h.
Où
doit-il
accoster
(P)
pour
que
le
temps
de
parcours
soit
minimal
?
La
côte
est
supposée
rectiligne.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{phare.png}

\end{center}

\section{Parabole et tangente}

On considère la parabole $\mathscr P$ d'équation $y=1-x^2$. Soit $M(x_0;y_0)$ avec $x_0>0$ et $y_0>0$ et $T$ la tangente à $\mathscr P$ passant par $M$. $T$ coupe l'axe des abscisses en $A$ et l'axe des ordonnées en $B$. 

Où doit-on placer le point $M$ pour que l'aire du triangle $OAB$ soit minimale ?

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{parabole.png}

\end{center}
\end{document} 