\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Variable Aléatoire}	
\newcommand{\Cl}{1S}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages


 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoDav

\section{Activité de cours}

\Exoi{L'éducation coûte trop cher. Afin de réaliser des économies, le
gouvernement syldave  a décidé de se passer à la fois de
correcteurs et d'élèves. Tout est simulé dans les bureaux du
ministère, le but étant d'obtenir une moyenne nationale
satisfaisante à présenter aux investisseurs étrangers qui se
rueront en Syldavie pour profiter d'une main d'\oe uvre aussi
qualifiée.\\
 Le candidat virtuel jette un dé virtuel~: s'il sort un 6, il a 20, s'il
tombe sur un autre numéro pair il a 10, s'il tombe sur un numéro
impair, il a 5.\\
Quelle moyenne nationale peut \textsl{espérer} obtenir le
ministre~? Cette moyenne est-elle une moyenne~? Cette moyenne
sera-t-elle effectivement atteinte~?}

\Exoi{
Les derniers syldaves touchant  un salaire pour leur travail
coûtent encore trop cher aux entreprises. Un nouveau système de
rémunération a donc été mis au point par l'ancien ministre de
l'éducation syldave installé aujourd'hui au ministère des
finances.\\
Pour garder son emploi, le salarié doit chaque mois verser 1000
neurones à l'entreprise puis doit lancer un dé. S'il sort un 6, il
touche 3000 neurones~: les 1000 versés au départ par le salarié
plus 2000 versés par l'entreprise. Dans les autres cas,
l'entreprise garde les 1000 neurones.\\
Quelle salaire un employé peut-il espérer toucher~?\\
Que se passera-t-il si l'entreprise propose 5000 neurones au lieu
des 2000~? Et si elle propose 1\,000\,000\,000 de neurones avec un
dé à 100 faces pour un versement initial de 1\,000\,000 de
neurones~?}

\Exoi{Pour rentrer à l'université de Springfield, ils sont mis en compétition avec les élèves de Groland. \\
Cette université privilégie les élèves du pays au meilleur résultat moyen espéré et la sa régularité.\\
A Groland également, on a décidé de tirer les résultats du baccalauréat aux dés. Voici la règle :
Lorsqu'on obtient 6 au dé, l'élève a 20. Un autre nombre pair fournit un 5 à l'élève. Ensuite s'il sort 1, l'élève a 
0, s'il sort 3, l'élève a 10 et enfin, s'il sort 5, l'élève a 15.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la moyenne nationale que peut espérer obtenir Groland.
 \item De quels moyens dispose-t-on pour comparer la régularité de chacun des pays ?
\end{enumerate}}

\section{Exercices d'entrainement}

\Exoi{Deux lignes téléphoniques $L_1$ et $L_2$ aboutissent à un standard.\\
Soit $A$ l'événement : \og la ligne $L_1$ est occupée \fg{}
\\
Soit $B$ l'événement : \og la ligne $L_2$ est occupée \fg{}
\\
On donne les probabilités suivantes :
$$ P(A)=0,7\qquad \text{;}\qquad P(B)=0,5\qquad \text{et}\qquad P(A\cap B)=0,5$$
Calculer les probabilités des événements suivants :
\begin{enumerate}
\item $E$ : \og la ligne $L_1$ est libre \fg{} ;
\item $F$ : \og une ligne au moins est occupée \fg{} ;
\item $G$ : \og les deux lignes sont libres \fg{} ;
\item $H$ :  \og une ligne seulement est occupée \fg{} ;
\item $I$ :  \og une ligne au moins est libre \fg{} ;
\end{enumerate}}

\Exoi{Dans une tombola, $100$ tickets sont en jeu, répartis comme suit :
\begin{enumerate}
\item un ticket permet de gagner $100$ euros ;
\item neuf tickets permettent de gagner $10$ euros ;
\item les autres sont perdus
\end{enumerate}
Pour pouvoir jouer, il faut miser $3$ euros.\\
Un joueur mise $3$ euros et tire un ticket au hasard. On appelle $X$ son gain (différence entre ce qu'il gagne et la mise).
\begin{enumerate}
\item Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire $X$.
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer l'espérance de $X$. Le jeu est-il à l'avantage des joueurs ou des organisateurs de la tombola ?
\end{enumerate}
}

\Exoi{Une épreuve consiste à jeter trois fois de suite une fléchette sur une cible partagée en trois cases notées $1$, $2$ et $3$.
\\
Deux concurrents $A$ et $B$ sont en présence.
\\
On admet qu'à chaque lancer, chacun atteint une case et une seule, et que les lancers sont indépendants.
\\
Pour le concurrent $A$, les probabilités d'atteindre les cases $1$, $2$ et $3$ sont les mêmes.\\
Pour la concurrent $B$, elles sont respectivement de $\dfrac{1}{12}$ ; $\dfrac{1}{3}$ ; $\dfrac{7}{12}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités des événements :
\begin{enumerate}
\item $A_1$ : \og Le concurrent $A$ atteint les cases $1$, $2$ et $3$ dans cet ordre \fg.
\item $A_2$ : \og Le concurrent $A$ atteint les cases $1$, $2$ et $3$ dans n'importe quel ordre \fg.
\end{enumerate}
\item Reprendre les deux questions précédentes pour le concurrent $B$.
\item Quel concurrent a le plus de chance de lancer les fléchettes dans les trois cases ?
\end{enumerate}}

\Exoi{On tire au hasard $20$ fois de suite un nombre entier entre $0$ et $9$. Quelle est le probabilité de n'obtenir que des $0$ ?}

\Exoi{Une urne contient $10$ boules bleues, $7$ boules rouges, $2$ boules vertes et $1$ boule jaune.
\\
Un joueur tire au hasard une boule de l'urne et note sa couleur : $B$ (bleue), $R$ (rouge), $V$ (verte) et $J$ (jaune).
\\
Il gagne $1$ euro s'il tire une boule rouge, $2$ euros s'il tire une boule verte, mais perd $3$ euros s'il tire la boule jaune. Il ne gagne et ne perd rien s'il tire une boule bleue.
\\
Soit $G$ la variable aléatoire qui donne le gain algébrique (positif ou négatif) du joueur lors d'une partie.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$.
\item Déterminer la probabilité de l'événement $(G>0)$.
\end{enumerate}
\item Le joueur joue au même jeu que celui décrit ci-dessus, mais cette fois-ci cela se passe au Japon, où le taux du yen est de $108$ yens pour un euro.\\
Il doit, de plus, payer 100 yens pour jouer. Cette mise de départ ne lui est remboursée dans aucun cas.
\begin{enumerate}
\item Exprimer la variable aléatoire $Y$ donnant le gain du joueur en yens en fonction de la variable $G$.
\item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{On lance $n$ dés ($n\geq 1$). \\
Le jeu consiste à miser $2\euro$, puis si on obtient au moins un $6$, 
on remporte $3\euro$.
\begin{enumerate}
 \item On note $A$ l'événement \og obtenir au moins un $6$\fg
\begin{enumerate}
\item Décrire $\bar{A}$ en français puis exprimer en fonction de $n$ la probabilité $P(\bar{A})$.
\item En déduire que $P(A)$ en fonction de $n$.
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Nombres de dés $n$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$  & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(A)$ &  &  &   &   & & & &\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Combien de dés faut-il pour que la probabilité d'obtenir au moins un six soit supérieure à $ \dfrac{2}{3}$ ?
\end{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain du joueur.
\begin{enumerate}
 \item Donner la loi de probabilité de $X$ en fonction de $n$.
 \item Calculer $E(X)$ en fonction de $n$.\\
% \item 
Combien de dés faut-il pour que le jeu soit favorable au joueur ? Est-on surpris ?
 \item Calculer $V(X)$ puis $\sigma(X)$ dans ce cas. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{
On dispose d'une urne contenant $10$ boules blanches et des boules noires.\\
Une expérience consiste à piocher au hasard une boule dans l'urne, noter sa couleur, 
la remettre dans l'urne et piocher une seconde boule.\\
On associe à cette expérience la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de boules blanches obtenues.
\begin{enumerate}
 \item La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $x_i$ & $0$ & $1$ & $2$ & Total \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $P(X=x_i)$ & $ \dfrac{9}{64}$ & $ \dfrac{30}{64} $ & $\dfrac{25}{64}$ &$1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
Combien y-a-t-il de boules noires dans l'urne ?
\item On se place dans le cas précédent et on considère le jeu suivant : pour une certaine mise, un joueur remporte
 $1\euro$ par boule blanche piochée.\\
Quel doit être le montant de la mise pour que le jeu soit équitable ?
\item Calculer l'écart-type dans le cas d'un jeu équitable. Que mesure ce nombre ?
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère une urne contenant trois boules jaunes, deux boules bleues, une boule rouge et quatre boules vertes. Ces boules sont indiscernables au toucher. On tire, au hasard, une boule de l'urne.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des événements suivantes :
$J=$ \og tirer une boule jaune \fg.
\\
$B=$ \og tirer une boule bleue \fg.\\
$R=$ \og tirer une boule rouge \fg.\\
$V=$ \og tirer une boule verte \fg.
\item 
 En fonction de la couleur tirée, on se voit attribuer une somme d'argent selon la convention suivante : si la boule tirée est  :
\begin{itemize}
\item rouge, on gagne $10\euro$.
\item verte, on gagne $2\euro$.
\item jaune ou bleue, on gagne $3 \euro$.
\end{itemize}
Soit $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque tirage le gain réalisé.
\begin{enumerate}
\item Déduire de la question $(1)$ : $P(X=2)$, $P(X=3)$ et $P(X=10)$.
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$, sa variance puis son écart-type. (\begin{small}
on arrondira l'écart-type à $10^{-2}$).
\end{small}
\end{enumerate}
\item Maintenant, on gagne toujours $10\euro$ si la boule tirée est rouge, $2\euro$ si elle est verte mais on gagne $3\euro$ si elle est jaune et $m\euro$ si elle est bleue ; $m$ désigne un réel positif.\\
Calculer $m$ pour que le gain moyen espéré soit de $4,5\euro$.
\end{enumerate}}

\Exoi{Une urne contient trois boules indiscernables au toucher : une rouge, une bleue et une verte. On tire au hasard et successivement deux boules, on note les couleurs obtenues dans l'ordre des tirages, la première boule étant replacée dans l'urne avant le second tirage.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité associé à cette expérience aléatoire.
\item On instaure la règle suivante : le tirage d'une boule rouge rapporte un point, celui d'une verte deux points d'une verte fait perdre trois points.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $T$ définie par la somme des points marqués dans l'expérience précédente.
\item Calculer l'espérance de $T$. Le jeu est-il équitable ?
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour un joueur de perdre la partie, c'est-à-dire d'avoir un total négatifde points.
\end{enumerate}}
\pagebreak
\section{Simulation}

\Exoi{Dans un jeu de pile ou face, on gagne le double de sa mise si l'on obtient pile, on perd sa mise si l'on obtient face. Un joueur qui dispose de $1000$ \euro commence par miser un euro, double sa mise tant qu'il perd et ne s'arrête que s'il gagne ou ne peut plus miser.
\begin{enumerate}
\item Proposer une simulation de ce jeu.
\item Estimer à l'aide de la simulation l'espérance du gain du joueur.
\end{enumerate}
}

\Exoi{On choisit au hasard un nombre entier entre $1$ et $50$. Soit $X$ la variable aléatoire correspondant à la somme des chiffres de ce nombre.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Déterminer l'espérance et l'écart-type de $X$.
\item Déterminer $p(X\leq 5)$ et $p(X\geq 10)$.
\item Une machine demande $13$ \euro pour donner un nombre entier aléatoire compris entre $1$ et $50$, on gagne alors la somme des chiffres du nombre obtenu.
\\
Ecrire un algorithme affichant le gain à ce jeu.
\item Ce jeu est-il favorable ?
\end{enumerate}}

\pagebreak
\section{Un exemple de devoir}

\Exoi{\hfill (10 points)\\
Dans la ville des chats, le chat Croquette participe à des matchs de \og lancers de souris \fg.\\
Un match consiste à lancer deux fois une souris en l'air et à tenter de la rattraper.
Croquette estime que sa probabilité de rattraper une souris est toujours égale à $0.7$
\begin{enumerate}
 \item Croquette gagne $5\euro$ à chaque fois qu'il rattrape une souris et perd $10\euro$
à chaque fois que la souris retombe au sol.\\
On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le gain de Croquette lors d'un match (donc lors de deux lancers).
 \begin{enumerate}
  \item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  \item Donner la loi de probabilité de $X$.
   \item Calculer $E(X)$. Interpréter.
   \item Calculer $V(X)$.
    \item Calculer $\sigma(X)$. Interpréter.
    \item Croquette a joué 433 matchs cette année. Estimer son gain.
 \end{enumerate}
 \item En Egypte, les chats jouent au même jeu que Croquette, mais cette fois-ci, le taux de la Livre Egyptienne (LE) est de 
 $8$ LE pour $1 \euro$. \\
 De plus, un chat doit payer $10$ LE pour jouer et cette mise de départ ne lui est remboursée
 dans aucun cas.\\
 On appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le gain d'un chat en LE lors d'un match.
 \begin{enumerate}
  \item Exprimer la variable aléatoire $Y$ en fonction de la variable aléatoire $X$ du 1).
   \item En déduire l'espérance, la variance et l'écart-type de $Y$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\Exoi{ \hfill (4 points)\\
 Anouk et Wanda participent à deux jeux différents. Les variables aléatoires $A$ et $W$ donnant leurs gains respectifs ont les lois
 de probabilités suivantes :
 \begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $k$ & $-2$ & $-1$ & $0$  & $1$ & $2$ & $3$\tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(A=k)$  & $0.1$ & $ 0.3$ & $ 0.1 $ & $0.3$ & $ 0.1$ & $ 0.1 $\tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(W=k)$  & $0.3$ & $ 0.1$ & $ 0.1 $ & $0.2$ & $ 0.1$ & $ 0.2 $\tabularnewline\hline\end{tabular}
\end{center}
\textbf{A l'aide de la calculatrice} (inutile d'écrire les formules sur votre copie) :
\begin{enumerate}
 \item Donner et comparer $E(A)$ et $E(W)$. Interpréter.
  \item Donner et comparer $\sigma(A)$ et $\sigma(W)$. Interpréter.
\end{enumerate}
}



\newpage

\Exoi{\hfill (6 points)\\
\begin{minipage}{12cm}
 Une roue d'une loterie est divisée en six secteurs de même aire : 1 Rouge (R), 2 jaunes (J) et 3 verts (V).\\
On fait tourner la roue, et lorsqu'elle s'arrête, un repère fléchée indique l'un des six secteurs de manière équiprobable. \\
Un joueur perd $2\euro$ si la flèche indique un secteur Vert, gagne $0.50\euro$ si la flèche indique un secteur Jaune et 
$x$ euros si la flèche indique un secteur Rouge.\\
On appelle $G$ la variable aléatoire qui donne le gain du joueur.
\end{minipage} \hspace{0.5cm}
\begin{minipage}{4.5cm}
 \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,-2.2)(6.2,4.2)
\pscircle(3,1){2.4}
\psline(0,1)(6,1)
\psline(4.52,3.59)(1.5,-1.6)
\psline(1.51,3.6)(4.49,-1.6)
\rput[lt](4.1,2.3){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 1 \\ Rouge\end{center}}}
\rput[lt](2.3,4){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 2 \\ Jaune\end{center}}}
\rput[lt](0.6,3){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 3 \\ Jaune\end{center}}}
\rput[lt](0.6,1){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 4 \\ Vert\end{center}}}
\rput[lt](2.3,-0.1){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 5 \\ Vert\end{center}}}
\rput[lt](4.1,1){\parbox{1.3 cm}{\begin{center} 6 \\ Vert\end{center}}}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Donner la loi de probabilité de $G$ en fonction de $x$.
 \item Calculer $E(G)$ en fonction de $x$.
 \item Comment choisir $x$ pour que le jeu soit équitable ?
       \end{enumerate}
 \item On donne l'algorithme suivant :
 \Algo[Roulette]{12.5cm}{
\Entree{ 
 Secteur, i, N  sont des nombres entiers\\
 Effectif est une liste à trois éléments}
%\Deb{
  Saisir  N \\
  Effectif[1], Effectif[2] et Effectif[3] prennent la valeur $0$.\\
 %$x$ prend la valeur d'un entier aléatoire de 1 à 6.\\
%$j$ prend la valeur $1$.\\
  \For{i allant de 1 à N}
    {Secteur prend la valeur d'un entier aléatoire entre 1 et 6\\
  \IfThenElse{ Secteur $==1$ }
    {Effectif [1] prend la valeur Effectif[1]+1 }
    {\IfThenElse{Secteur $==2$ OU Secteur $==3$}
      {Effectif [2] prend la valeur Effectif[2]+1 }
	{Effectif [3] prend la valeur Effectif[3]+1 }
    }
    }\\
       Afficher \og Vous avez obtenu Effectif[1] fois le secteur Rouge\fg\\ 
       Afficher \og Vous avez obtenu Effectif[2] fois le secteur Jaune.\fg\\
       Afficher \og Vous avez obtenu Effectif[3] fois le secteur Vert.\fg
%}
}
\begin{enumerate}
 \item Que fait cet algorithme ? 
 \item Préciser le rôle de chacune des variables.
  \item Que doit-on rajouter si l'on veut que l'algorithme renvoit aussi le gain moyen d'un joueur par partie ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\end{document}

