\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Trigonométrie}	
\newcommand{\Cl}{1S}	
\newcommand{\Annee}{2014-2015}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoDav

\vspace{0.2cm}

\begin{exoi}

\begin{enumerate}
\item Convertir en radian les mesures d'angles suivantes exprimées en degré :
$$ 15\textrm{\degre},\qquad 40\textrm{\degre},\qquad 50\textrm{\degre},\qquad 63\textrm{\degre},\qquad 125\textrm{\degre}.$$
\item Convertir en degré les mesures suivantes exprimées en radian :
$$ \dfrac{\pi}{6},\qquad \dfrac{3\pi}{10},\qquad \dfrac{11\pi}{12},\qquad \dfrac{\pi}{36},\qquad \dfrac{17\pi}{25}.$$
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{exoi}
Construire les points $A$, $B$, $C$, $E$ et $F$ du cercle trigonométrique de centre $O$ sachant que :
$$ \left(\vec{i}; \overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{\pi}{3}\qquad \text{;}\qquad  \left(\vec{i}; \overrightarrow{OB}\right)=\dfrac{\pi}{8}\qquad \text{;}\qquad \left(\vec{i}; \overrightarrow{OC}\right)=-\dfrac{5\pi}{6}\qquad \text{;}\qquad  \left(\vec{i}; \overrightarrow{OE}\right)=-\dfrac{\pi}{4}\qquad \text{et}\qquad  \left(\overrightarrow{OF}; \overrightarrow{j}\right)=\dfrac{\pi}{3}$$
On se placera dans un repère $(O;\vec{i}, \vec{j})$ orthonormal direct ce qui signifie que les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ ont pour longueur $1$ et de plus $(\vec{i};\vec{j})=\dfrac{\pi}{2}$.
\end{exoi}

\begin{exoi}
Sur le cercle trigonom\'etrique $\mathscr C$ de centre $O$ ci-dessous, les points $A$ et $B$ sont tels que :
$$ \widehat{IOA}=45\textrm{\degre} \qquad \text{ et } \widehat{IOB}=-120\textrm{\degre}$$
Donner une mesure en radians des angles orient\'es :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OA})$
\item $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OB})$
\item $(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA})$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-1.3)(2.2,1.3)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
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}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){2.0000}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.7070,0.7070)
\uput{0.3000}[45.0000](0.7070,0.7070){A}
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\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.5000,-0.8600)
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\psline(0.0000,0.0000)(-0.5000,-0.8600)

\endpsclip
\uput[dl](0,0){O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{exoi}

\begin{exoi}
Montrer que pour tout réel $x$ on a : $ \left(\cos x +\sin x\right)^2 + \left(\cos x-\sin x\right)^2=2$
\end{exoi}


\begin{exoi}
Donner la mesure principale de chacun des angles suivants en radian :
$$ \alpha=\dfrac{38\pi}{9} \text{ rad}\qquad \text{;}\qquad \beta=-\dfrac{11\pi}{12} \text{ rad}\qquad \text{et}\qquad \gamma=-\dfrac{50\pi}{7} \text{ rad}$$
\end{exoi}

\begin{exoi}Les r\'eels $ \dfrac{7\pi}{5}$ et $ -\dfrac{13\pi}{5}$ sont-ils des mesures en radians d'un m\^eme angle orient\'e ? Donner la mesure principale d'un angle orient\'e dont une mesure est $ -\dfrac{17\pi}{3}$\end{exoi}

\begin{exoi}Dans chaque cas, d\'eterminer la mesure principale de l'angle dont on donne une mesure en radians.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{5\pi}{4}$
\item $- \dfrac{4\pi}{3}$
\item $ - \dfrac{10\pi}{3}$
\item $135\pi$
\item $ \dfrac{185\pi}{6}$
\item $ \dfrac{17\pi}{13}$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}
Calculer la valeur exacte de 
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\cos \left(\dfrac{5\pi}{3}\right)$
\item $\sin \left(\dfrac{4\pi}{3}\right)$
\item $\cos \left(\dfrac{79\pi}{6}\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{enumerate}
\item On pose $x=\dfrac{5\pi}{3}$ et $y=-\dfrac{25\pi}{3}$. Dire, en justifiant, si $x$ et $y$ sont des mesures en radians d'un même angle orienté.
\item On considère le point $M$ sur le cercle trigonométrique de centre $O$ et d'origine $I$. Dans chacun des cas suivants, déterminer la mesure principale en radians de l'angle $\left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OM}\right)$, dont une mesure en radians est :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OM}\right)=-\dfrac{47\pi}{3}$
\item $ \left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OM}\right)=2014$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{exoi}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $$2\cos^2 x+\cos x-1=0$$
\item Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
$A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ sont des points tels que :
$$ \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{2\pi}{3}\qquad \text{;}\qquad \left(\overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{7\pi}{6}\qquad \text{et}\qquad \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AE}\right)=\dfrac{5\pi}{6}$$
Montrer que $A$, $D$ et $E$ sont alignés.
\end{exoi}

\begin{exoi}
On veut résoudre l'équation $(E)$ : $\sqrt{3}\cos x=\sin x$ dans l'intervalle $[0;2\pi[$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $x$ est solution de l'équation $(E)$ alors $x$ est aussi solution de l'équation $$ \cos^2 x=\dfrac{1}{4}$$
\item Résoudre alors l'équation $\cos^2 x=\dfrac{1}{4}$ dans $[0;2\pi[$.
\item Expliquer pourquoi $\cos x$ et $\sin x$ doivent avoir le même signe.
\item En déduire les solutions de l'équation $(E)$.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
Calculer $\sin x$ et $\cos x$ sachant que l'on a :
$$ 2\sin x + 4\cos x=5$$
\textit{Indication : On pourra utiliser la relation $\cos^2 x+ \sin^2 x=1$}
\end{exoi}



\begin{exoi}
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)=\dfrac{\pi}{8}$. On notera $BC=2a$.
\begin{enumerate}
\item $O$ est le milieu de $[BC]$ et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $[BC]$.
Démontrer que :
$$ \widehat{AOH}=\dfrac{\pi}{4}$$
\item En déduire que :
$$ AH=OH=a\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
\item En déduire enfin que :
$$AB=a\sqrt{2+\sqrt{2}}$$
\item Utiliser le triangle $AHB$ pour déterminer $\cos \dfrac{\pi}{8}$ et $\sin \dfrac{\pi}{8}$
\end{enumerate}
\end{exoi}










\begin{multicols}{2}
\begin{exoi}ABCD est un carr\'e tel que $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}$\newline
$AEB$ et $BCF$ sont des triangles \'equilat\'eraux tels que $ (\overrightarrow{EA}, \overrightarrow{EB})=\dfrac{\pi}{3}$ et  $ (\overrightarrow{FC}, \overrightarrow{FB})=\dfrac{\pi}{3}$
\newline
On se propose de d\'emontrer que les points D, E et F sont align\'es en utilisant les angles orient\'es
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item D\'emontrer que le triangle ADE est isoc\`ele
\item D\'emontrer que $ (\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EA})=\dfrac{5\pi}{12}$ 
\end{enumerate}
\item D\'eterminer une mesure de $ (\overrightarrow{BE}, \overrightarrow{BF})$ et en d\'eduire une mesure de $ (\overrightarrow{EB}, \overrightarrow{EF})$
\item \begin{enumerate}
\item Utiliser la relation de Chasles pour calculer une mesure de $ (\overrightarrow{ED}, \overrightarrow{EF})$
\item Conclure
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-2.5)(3.2,5.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{6}
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\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,6.2)
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\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
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}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(2.0000,-2.0000)(2.0000,2.0000)
\psline(2.0000,2.0000)(-2.0000,2.0000)
\psline(-2.0000,2.0000)(-2.0000,-2.0000)
\psline(-2.0000,-2.0000)(2.0000,-2.0000)
\uput{0.3000}[-45.0000](2.0000,-2.0000){A}
\uput{0.3000}[45.0000](2.0000,2.0000){B}
\uput{0.3000}[135.0000](-2.0000,2.0000){C}
\uput{0.3000}[-135.0000](-2.0000,-2.0000){D}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,4.4600){F}
\psline(-2.0000,2.0000)(0.0000,4.4600)
\psline(0.0000,4.4600)(2.0000,2.0000)
\uput{0.3000}[-180.0000](-0.4600,0.0000){E}
\psline(2.0000,-2.0000)(-0.4600,0.0000)
\psline(-0.4600,0.0000)(2.0000,2.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\begin{exoi}Sur un cercle trigonom\'etrique $\mathscr C$, on consid\`ere les points A et B tels que : 
$$ (\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA})=\dfrac{7\pi}{8} \qquad \text{ et }(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OB})=-\dfrac{3\pi}{5}$$
D\'eterminer la mesure principale des angles suivants : \footnote{On pourra utiliser la relation de Chasles}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ (\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OJ})$
\item $ (\overrightarrow{OJ}, \overrightarrow{OB})$
\item $ (\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OA})$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exoi}




\begin{exoi}En utilisant les valeurs remarquables, calculer les réels suivants :
$$ \cos \dfrac{7\pi}{6},\qquad \sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right),\qquad \cos\left(-\dfrac{9\pi}{4}\right), \qquad \sin \dfrac{10\pi}{3}$$\end{exoi}

\begin{exoi}Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\cos x=\cos \dfrac{\pi}{4}$
\item $\sin x=\sin \dfrac{\pi}{6}$
\item $\cos x=-\dfrac{1}{2}$
\item $\sin x=-\cos \dfrac{\pi}{4}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exoi}

\begin{exoi}Soit $\theta\in[\pi;2\pi]$ tel que $\cos \theta=-\dfrac{4}{5}$ alors on a :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\sin \theta\leq 0$
\item $\sin^2 \theta=\dfrac{1}{5}$
\item $\sin \theta=0,6$
\item $\sin \theta=-\dfrac{3}{5}$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}Soit $\theta\in\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ tel que $\sin \theta =\dfrac{1}{4}$ alors on a :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\cos \theta \leq 0$
\item $\cos \theta=\dfrac{3}{4}$
\item $\cos \theta=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
\item $\cos \theta=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
\end{enumerate}
\end{multicols} \end{exoi}

\begin{exoi}Sur l'intervalle $[0;2\pi]$, les solutions de l'inéquation $\cos \theta\geq -\dfrac{1}{2}$ sont :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\left[\dfrac{-2\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3}\right]$
\item $\left[\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{4\pi}{3}\right]$
\item $\left[\dfrac{4\pi}{3};2\pi\right]$
\item $\left]0;\dfrac{2\pi}{3}\right[\cup \left]\dfrac{4\pi}{3};2\pi\right[$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et de sens direct tel que $AB=2AC$.\\
$ACD$ est un triangle isocèle et rectangle en $C$ de sens direct et $BAE$ est un triangle équilatéral direct.
\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure.
\item Donner, en justifiant, la mesure principale des angles orientés :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}\right)$
\item $\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{AD}\right)$
\item $ \left(\overrightarrow{EA};\overrightarrow{BC}\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}Simplifier le plus possible les expressions :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A=\cos 0+\cos \dfrac{\pi}{2}+\cos \dfrac{\pi}{2}+\cos \dfrac{3\pi}{4}+\cos \pi$
\item $B=\cos\left(-\pi\right)+\cos \left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)+\cos \left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}A l'aide des propriétés sur les angles associés, calculer la valeur exacte de :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $ \cos \dfrac{8\pi}{3}$
\item $\sin \left(-\dfrac{18\pi}{4}\right)$
\item $\cos \left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)$
\item $\sin \left(-\dfrac{35\pi}{4}\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}\begin{enumerate}
\item Placer au mieux sur le cercle trigonométrique les points repérés par les réels :
$$ \dfrac{2\pi}{7}\quad ; \quad \dfrac{4\pi}{7}\quad ; \quad\dfrac{6\pi}{7}\quad ; \quad \dfrac{8\pi}{7}\quad ; \quad \dfrac{10\pi}{7}\quad ; \quad\dfrac{12\pi}{7}$$ 
\item On pose :
$$\mathscr S=\cos \dfrac{2\pi}{7}+\cos \dfrac{4\pi}{7}+\cos \dfrac{6\pi}{7} \qquad \text{et}\qquad  \mathscr S'=\cos \dfrac{8\pi}{7}+\cos \dfrac{10\pi}{7}+\cos \dfrac{12\pi}{7}$$
$$ \Sigma =\sin \dfrac{2\pi}{7}+\sin \dfrac{4\pi}{7}+\sin \dfrac{6\pi}{7}\qquad \text{et}\qquad  \Sigma'=\sin \dfrac{8\pi}{7}+\sin \dfrac{10\pi}{7}+\sin \dfrac{12\pi}{7}$$
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item Comparer $\mathscr S$ et $\mathscr S'$, puis $\Sigma$ et $\Sigma'$.
\item Calculer $\Sigma$ et $\Sigma'$.
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}A l'aide d'un cercle trigonométrique, donner toutes les valeurs possibles de $x$ vérifiant :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\cos x=\dfrac{1}{2}$ et $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $x\in[-\pi;\pi]$.
\item $\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $x\in \R$.
\item $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $x\in [-\pi;3\pi]$.
\item $\cos x=0$ et $\sin x=-1$, $x\in \R$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exoi}
%\Exoi{D\'emontrer que la repr\'esentation graphique de la fonction $f$ d\'efinie, sur $\R$ par : 
%$$f(x)=\cos (2x)+\sin x-1 $$ est situ\'ee entre les droites d'\'equations $y=-3$ et $y=1$}
%
%\Exoi{\begin{enumerate}
%\item R\'esoudre, dans $\R$, l'\'equation : $$ 2\sin^3 x-17\sin^2 x+7 \sin x +8=0$$
%\item R\'esoudre, dans $]-\pi;\pi[$, les \'equations :
%\begin{enumerate}
%\item $2\cos^3 x-7\cos^2 x+2\cos x+3=0$
%\item $2\sin^3 x+\cos ^2 x-5\sin x-3=0$
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}}

\begin{exoi}\begin{enumerate}
\item $\theta$ est un angle situ\'e dans $]-\pi;\pi]$ dont on sait que $\cos \theta=-\dfrac{ \sqrt{3} }{2}$ et $\sin \theta =\dfrac{1}{2}$. Que vaut $\theta$ (en radians) ?
\item $\theta$ est un angle de $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ tel que $\sin \theta =\dfrac{4}{5}$. Calculer $\cos \theta$ et $\tan \theta$
\item $\theta$ est un angle de $]-\pi;0]$ tel que $\cos \theta=\dfrac{2}{3}$. Calculer $\sin \theta$ et $\tan \theta$
\item $\theta$ est un angle de  $]-\pi;0]$ tel que $\tan \theta =2$. Calculer $\cos \theta$ et $\sin \theta$
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}Dans cet exercice, on dispose de la donn\'ee suivante : $\tan \dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1$\newline
On rappelle que $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ pour tout $x\in D$ o\`u $D=\R-\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi \text{ o\`u } k\in \Z\right\}$ 
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que pour tout $x\in D$ : $ \tan (\pi+x)=\tan x$. En d\'eduire la valeur exacte de $\tan \dfrac{9\pi}{8}$.
\item D\'emontrer que pour $x\in D$ : $ 1+\tan^2 x= \dfrac{1}{\cos^2 x}$. En d\'eduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$ puis de $\sin \dfrac{\pi}{8}$.
\item Calculer la valeur exacte de $\cos \dfrac{5\pi}{8}$
\end{enumerate}\end{exoi}

\begin{exoi}Dans cet exercice on donne : $\qquad \tan \dfrac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}$
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$. D\'emontrer que : $$ \tan \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{1}{\tan x}$$
\item En d\'eduire que : $$ \tan \dfrac{5\pi}{12}=2+\sqrt{3}$$
\end{enumerate}\end{exoi}


\begin{exoi}R\'esoudre les \'equations suivantes dans l'intervalle $I$
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad$ $I=]-\pi;0]$
\item $\sin x=-\dfrac{ \sqrt{2} }{2} \qquad$ $I=[0;2\pi[$
\item $\sin x= \sin \left( \dfrac{3\pi}{4}\right) \qquad$ $I=\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right[$
\item $\cos x= \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \qquad$ $I=[0;2\pi[$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}




%\Exoi{Soit $(O;\vec i,\vec j)$ un rep\`ere orthonormal. \newline
%$A$ est le point de coordonn\'ees polaires $\left(3,\dfrac{23\pi}{6}\right)$ dans le rep\`ere polaire $(O,\vec i)$
%\begin{enumerate}
%\item Calculer les coordonn\'ees cart\'esiennes du point $A$
%\item Contr\^oler avec la calculatrice
%\end{enumerate}}

%\Exoi{Soit $(O;\vec i,\vec j)$ un rep\`ere orthonormal. \newline
%$M$ est le point de coordonn\'ees $(-1;\sqrt{3})$
%\begin{enumerate}
%\item D\'eterminer un couple de coordonn\'ees polaires $(\rho, \theta)$ dans le rep\`ere polaire $(O;\vec i)$
%\item Contr\^oler avec la calculatrice
%\end{enumerate}}

%\Exoi{Dans un rep\`ere orthonormal $(O;\vec i,\vec j)$, on consid\`ere les points A et B dont les coordonn\'ees polaires (dans $(O;\vec i)$) sont : $$ A(2;0) \qquad \qquad B\left(2;\dfrac{\pi}{6}\right)$$
%On consid\`ere \'egalement le point $C$ dont les coordonn\'ees cart\'esiennes sont : $C(- \sqrt{3};-1)$ 
%\begin{enumerate}
%\item Donner les coordonn\'ees cart\'esiennes de $A$
%\item Calculer les coordonn\'ees cart\'esiennes de $B$
%\item Calculer les coordonn\'ees polaires de $C$
%\item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont sur un m\^eme cercle de centre O dont on pr\'ecisera le rayon.
%\item Placer, pr\'ecis\'ement, les points A, B et C sur une figure
%\item Quelle est la nature du triangle ABC ? (Prouver le)
%\end{enumerate}}
%\begin{center}
%\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
%\begin{pspicture*}(-3.2,-1.4)(3.2,1.4)
%\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
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%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
%\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
%\pscircle(0.0000,0.0000){2.0000}
%\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,0.0000){$I(0)$}
%\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,1.0000){$J\left(\frac{\pi}{2}\right)$}
%\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,0.0000){I'}
%\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-1.0000){J'}
%\uput{0.3000}[157.5000](-0.9200,0.3700){$A\left(\frac{7\pi}{8}\right)$}
%\uput{0.3000}[-108.0000](-0.3100,-0.9500){$B\left(-\frac{3\pi}{5}\right)$}
%\psline(0.0000,0.0000)(-0.9200,0.3700)
%\psline(0.0000,0.0000)(-0.3100,-0.9500)
%
%\endpsclip
%\uput[dl](0,0){0}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}




%\Exoi{On consid\`ere un rep\`ere orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$. $A$ est le point de coordonn\'ees polaires $(\rho,\theta)$ avec $0\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ dans le rep\`ere polaire $(O;\vec i)$\newline
%ABC est un triangle \'equilat\'eral de centre $O$ tel que $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=\dfrac{\pi}{3}$.
%\begin{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Exprimer le c\^ot\'e du triangle $ABC$ en fonction de $\rho$
%\item Donner les mesures des angles $( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$ et $( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OC})$. En d\'eduire les mesures de $( \vec i, \overrightarrow{OB})$ et de $( \vec i, \overrightarrow{OC})$
%\item En d\'eduire les coordonn\'ees polaires de $B$ et $C$ dans le rep\`ere $(O;\vec i)$
%\item D\'eterminer des coordonn\'ees cart\'esiennes de A, B et C
%\end{enumerate}
%\item E est le milieu du c\^ot\'e $[AB]$.
%\begin{enumerate}
%\item Exprimer $ \overrightarrow{OE}$ puis $ \overrightarrow{OC}$ en fonction de $ \overrightarrow{OA}$ et de $ \overrightarrow{OB}$
%\item D\'emontrer que $ \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}= \overrightarrow{0}$
%\item En d\'eduire que :
%$$ \cos \theta+ \cos \left(\theta +\dfrac{2\pi}{3}\right)+ \cos\left(\theta -\dfrac{2\pi}{3}\right)=0$$
%et 
%$$ \sin \theta + \sin \left(\theta +\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sin \left( \theta -\dfrac{2\pi}{3}\right)=0$$
%\end{enumerate}
%\end{enumerate} }

\begin{exoi}$\mathscr{C}$ et $\mathscr{C'}$ sont deux cercles de centres respectifs $O$ et $O'$ et de m\^eme rayon $r=2$ cm.\newline
 On suppose que ces deux cercles se coupent en deux points $A$ et $B$ avec $( \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})=\dfrac{\pi}{3}$
 \begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilat\`ere $OAO'B$
\item Calculer la distance $OO'$ et la distance $AB$
\item Calculer le p\'erim\`etre et l'aire de la surface d'intersection des deux disques (d\'elimit\'e par les deux arcs $ \wideparen{AB}$)
\end{enumerate} \end{exoi}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-2.2)(3.2,2.2)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,0.0000){O}
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,0.0000){O'}
\pscircle(-1.0000,0.0000){1.5000}
\pscircle(1.0000,0.0000){1.5000}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-1.1000){A}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,1.1000){B}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](0.0000,-1.1000)(0.0000,1.1000)
\psline(-1.0000,0.0000)(0.0000,1.1000)
\psline(-1.0000,0.0000)(0.0000,-1.1000)
\psline(1.0000,0.0000)(0.0000,1.1000)
\psline(1.0000,0.0000)(0.0000,-1.1000)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=black](-1.0000,0.0000)(1.0000,0.0000)

\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{exoi}Soit $a$ un nombre réel quelconque.\\
Démontrer que l'équation trigonométrique d'inconnue $x$, $\cos x=\cos a$, admet au moins une solution supérieure ou égale à $100$.\end{exoi}

\begin{multicols}{2}
\begin{exoi}Soit le point $A(2;0)$ dans le plan orienté muni d'un repère orthonormé d'origine $O$, $M$ est un point du cercle $\mathscr C$ de centre $O$ qui passe par $A$ et $\mathscr D$ la droite d'équation $y=x$.\\
On considère $M'$ le symétrique du point $M$ par rapport à $d$.\\
Posons $\alpha$ une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM}\right)$ et $\beta$ une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OM'}\right)$.\\
Montrer que, quelle que soit la position de $M$ sur $\mathscr C$, on a :
$$ \sin^2 \alpha+\sin^2\beta=1$$\end{exoi}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(2.5,2.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(2.5,2.5)
\parametricplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{-0.4330894387233064}{2.07496228827405}{1*2*cos(t)+0*2*sin(t)+0|0*2*cos(t)+1*2*sin(t)+0}
\psplot{-1}{2.5}{(-0--1*x)/1}
\psline[linecolor=qqqqcc](0,0)(1.67,1.1)
\psline[linecolor=ccqqqq](0,0)(1.1,1.67)
\pscustom[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.5797155004436785}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqqqcc]{->}(0,0)(1,1){0}{30.45}
\pscustom[linecolor=ccqqqq,fillcolor=ccqqqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.9910808263512182}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=ccqqqq]{->}(0,0)(0.6,0.6){0}{52.17}
\rput[tl](1.1,0.42){$\qqqqcc{\alpha}$}
\rput[tl](0.74,1.16){$\ccqqqq{\beta}$}
\rput[tl](-0.92,2.5){$\mathscr C$}
%\rput[tl](2.98,2.68){$\mathscr D$}
\rput[tl](2.2,2.1){$\mathscr D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2,0)
\rput[bl](2.08,0.08){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,0)
\rput[bl](-0.28,-0.28){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,2)
%\rput[bl](0.08,2.08){$B$}
\rput[bl](-4.2,-3.92){$a$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.67,1.1)
\rput[bl](1.76,1.18){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.1,1.67)
\rput[bl](1.18,1.76){$M'$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{exoi}Un élève propose deux nouvelles formules à ajouter aux formules trigonométriques classiques :
$$ \cos 2a=2\cos a\qquad \text{et}\qquad \sin 2a=2\sin a$$
Ces deux formules sont-elles :
\begin{itemize}
\item vraies pour tout nombre réel $a$ ?
\item vraies pour quelques valeurs de $a$ ? Si oui, lesquelles ?
\item fausses pour toute valeur de $a$ ?
\end{itemize}\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Géogébra}\\
On considère le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé direct $\left(O, I, J\right)$. On place sur ce cercle un point $A$ associé au réel $\alpha$, c'est-à-dire $\left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OA}\right)=\alpha \quad [2\pi]$ et un point $M$ associé au réel $x$.\\
On construit le point $M'$ symétrique de $M$ par rapport à la droite $(OA)$. On appelle $x'$ un réel associé à $M'$.\footnote{On admettra qu'une symétrie axiale transforme un angle orienté en un angle orienté de mesure opposé.}\\
\textbf{Le but de cet exercice est de trouver une relation entre les nombre $x$, $x'$ et $\alpha$.}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-3.5)(4,3.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-3.5)(4,3.5)
\pscircle[linecolor=qqqqzz](0,0){3}
\rput[tl](-3,-1.96){$\qqqqzz{\mathscr C}$}
\psline(0,0)(1.04,2.81)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](-1.11,2.79)(2.65,1.4)
\psline(0,0)(2.65,1.4)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.48649525763338985}{0.65*cos(t)+0|0.65*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(0.65,0.65){0}{23.26}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.9484593741875627}{0.65*cos(t)+0|0.65*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(0.65,0.65){0}{107.02}
\psline(-1.11,2.79)(0,0)
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](3,0)
\rput[bl](3.09,0.1){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,0)
\rput[bl](0.1,0.1){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.04,2.81)
\rput[bl](1.12,2.91){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1.11,2.79)
\rput[bl](-1.02,2.87){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.65,1.4)
\rput[bl](2.74,1.49){$M'$}
\rput[bl](0.69,0.11){\qqwuqq{$0.48\quad rad$}}
\rput[bl](0.6,0.63){\qqwuqq{$1.95\quad rad$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Réaliser la figure avec un logiciel de géométrie dynamique et, pour une valeur de $\alpha$ fixée qu'on choisira, faire bouger le point $M$.
\item Pour chaque position de $M$, noter la valeur de $x$ et celle de $x'$.
\\
Conjecturer une relation entre $x$, $x'$ et $\alpha$.
\item Reprendre les deux questions précédentes avec une autre valeur de $\alpha$.
\item Démontrer la conjecture.
\end{enumerate}
 \end{exoi}



\begin{exoi}Dans un rep\`ere orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$ on donne les points $A(-2\sqrt{3};-2)$ et $B(-3;3 \sqrt{3})$. Construire les points $A$ et $B$ \footnote{Calculer un couple de coordonn\'ees polaires de chacun des points et utiliser les deux sortes de coordonn\'ees pour les placer avec pr\'ecisions}\end{exoi}




%\Exoi{On considère le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé direct $(O,I,J)$, le point $K$ de coordonnées $(-1,0)$ et un réel $x$.
%\\
%On place sur le cercle le point $A$ tel que $\left(\overrightarrow{KI}; \overrightarrow{KA}\right)=x$.\\
%Le but de ce problème est de démontrer l'égalité :
%$$ \sin 2x=2\sin x\cos x$$
%\begin{center}
%\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
%\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
%\newrgbcolor{qqwwqq}{0 0.4 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
%\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.94,1.9)(2.05,1.61)(2.34,1.72)(2.23,2.01)
%\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.42,1.29)(1.63,1.06)(1.86,1.26)(1.65,1.49)
%\pscircle[linecolor=qqqqzz](0,0){3}
%\rput[tl](-3.05,-1.96){$\qqqqzz{\mathscr C}$}
%\psline(0,0)(2.23,2.01)
%\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.3672262867396488}{0.65*cos(t)+-3|0.65*sin(t)+0}\lineto(-3,0)\closepath}
%\psline(-3,0)(2.23,2.01)
%\rput[tl](-2.08,0.28){$\qqwwqq{x}$}
%\psline(2.23,2.01)(3,0)
%\psline(1.65,1.49)(3,0)
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](3,0)
%\rput[bl](3.09,0.1){$I$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,0)
%\rput[bl](-0.3,-0.3){$O$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.23,2.01)
%\rput[bl](2.32,2.1){$A$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,3)
%\rput[bl](0.1,3.09){$J$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-3,0)
%\rput[bl](-2.92,0.1){$K$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.65,1.49)
%\rput[bl](1.83,1.38){$H$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item On suppose dans cette question que $x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.\\
%La perpendiculaire à $[0A]$ passant par $I$ coupe la droite $(OA)$ en $H$.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que $\left(\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA}\right)=2x$.
%\item Démontrer que $\sin 2x=IH$
%\item Démontrer que l'aire du triangle rectangle $AKI$ est égale à $2\sin x\cos x$.
%\item Démontrer que les triangles $AKO$ et $AOI$ ont la même aire égale à $\dfrac{IH}{2}$.
%\item Conclure.
%\end{enumerate}
%\item On suppose dans cette question que $x\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$.
%\\
%On pose $x'=x-\dfrac{\pi}{2}$.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que $\sin 2x'=2\sin x'\cos x'$.
%\item En déduire que l'on a encore $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
%\end{enumerate}
%\item On suppose dans cette question que $x\in[-\pi;0]$ et on pose $x''=-x$.
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que $\sin 2x''=2\sin x''\cos x''$.
%\item En déduire que l'on a encore $\sin 2x=2\sin x\cos x$.
%\\
%On a ainsi démontré que cette égalité est vraie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
%\end{enumerate}
%\item Démontrer que : $\qquad \qquad \forall x\in \R, \quad \sin 2x=2\sin x\cos x$
%\end{enumerate}
%}
\pagebreak
\begin{exoi}R\'esoudre, sur $\R$, les \'equations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\sin^2 \theta=\dfrac{3}{4}$
\item $\cos^2 \theta=\dfrac{1}{2}$
\item $\sin(2\theta)=\cos\theta$
\end{enumerate}
\end{multicols}\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Algorithme}\\
\partieBac{}
On donne l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$a$ et $tour$ sont deux nombres réels\\
}
{
Entrer $a$ \\
$tour:=2\pi$\\
  \While{ $a>\pi$ }
{$a:=a-tour$}
Afficher $a$
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Indiquer la sortie de cet algorithme pour les valeurs de $a$ en entrée suivantes : $0$, $\pi$, $3\pi$ et $10$.
\item Que fait l'algorithme ?
\item Indiquer la sortie de l'algorithme pour $a=-3\pi$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Modifier l'algorithme pour qu'il donne la mesure principale d'un angle de mesure $a$.
\item Programmer l'algorithme modifié à la calculatrice ou à l'aide d'un logiciel.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\partieBac{}
Soit $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels quelconques.
\begin{enumerate}
\item Proposer un algorithme qui, à partir d'une mesure $a$ en radians d'un angle, donne toutes les mesures de cet angle qui appartiennent à l'intervalle $[x_1;x_2]$.
\item Programmer cet algorithme.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}Un escargot se déplace dans un potager rectangulaire de dimensions $\qquad 3\quad m\quad\times\quad 4\quad m$.\\
Un repère orthonormé $(O,I,J)$ est tracé sur le sol tel que :
\begin{itemize}
\item $O$ est le centre du potager ;
\item $\overrightarrow{OI}$ a pour direction la longueur du potager ; 
\item le plan est orienté.
\end{itemize} 
L'escargot part de $O$ et avance à la vitesse de $6cm.min^{-1}$ en suivant l'axe des abscisses dans le sens positif pendant $1$ minute, puis tourne d'un angle de $\dfrac{\pi}{45}$. Il poursuit son chemein pendant $1$ minute, tourne encore et ainsi de suite. Arrivera-t-il sur une des clôtures en moins de $2$ heures ?\end{exoi}


\pagebreak

\begin{exoi}Deux disques $\mathscr D$ et $\mathscr D'$, de rayons $R$ et $R'$, tounent dans le même sens autour de leur centre respectif $O$ et $O'$.\\
$M$ et $M'$ sont deux points de la circonférence de ces disques. A l'instant $t=0$, $M$ et $M'$ sont respectivement en $A$ et $A'$. On admet qu'à chaque instant les points $M$ et $M'$ ont parcouru des distances identiques.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqccqq}{0 0.8 0}
\newrgbcolor{ffzzzz}{1 0.6 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.55,-4.35)(8.97,4.65)
\pscircle[linecolor=qqccqq,fillcolor=qqccqq,fillstyle=solid,opacity=0.25](-1,0){4}
\pscircle[linecolor=ffzzzz,fillcolor=ffzzzz,fillstyle=solid,opacity=0.25](6,0){2}
\psplot{-5.55}{8.97}{(-0-0*x)/7}
\rput[tl](0.75,0.69){$R=10$}
\rput[tl](7.23,0.69){$R=5$}
\rput[tl](-2.7,4.89){$\qqccqq{\mathscr D}$}
\rput[tl](6.84,2.7){$\ffzzzz{\mathscr D'}$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](-1,0)
\rput[bl](-0.87,0.12){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6,0)
\rput[bl](6.12,0.12){$O'$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](3,0)
\rput[bl](3.12,0.12){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](8,0)
\rput[bl](8.13,0.12){$A'$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1,3.48)
\rput[bl](1.11,3.6){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](5,1.74)
\rput[bl](4.86,1.98){$M'$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Le but de ce problème est de voir si $M$ et $M'$ peuvent se retrouver dans la même position à un moment ou un autre.\\
\partieBac{}
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ et $x'$ le nombre de tours effectués respectivement par le disque $\mathscr D$ et par le disque $\mathscr D'$ à un instant donné $t$.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'à l'instant $t$ la distance parcourue par le point $A$ est $2\pi xR$.
\item Montrer que $2\pi xR=2\pi x'R'$.
\item Que représentent les nombres $2\pi xR$ et $2\pi x'R'$ pour les angles $\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OM}\right)$ et $\left(\overrightarrow{OA'};\overrightarrow{OM'}\right)$ ?
\end{enumerate}
\item Supposons qu'à l'instant $t$ le point $M$ se trouve en $A$ et le point $M'$ se trouve en $A'$.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe alors deux entiers naturels $k$ et $k'$ tels que $2\pi x R=2\pi kR$ et $2\pi x'R'=2k'\pi R'$.
\item En déduire qu'il existe alors deux entiers naturels $k$ et $k'$ tels que $kR=k'R'$.
\end{enumerate}
\item Réciproquement, supposons qu'il existe deux entiers naturels $k$ et $k'$ tels que $kR=k'R'$. Démontrer qu'il existera un instant $t\neq 0$ où les points $M$ et $M'$ de ces deux disques se trouveront en même temps respectivement en $A$ et $A'$.
\end{enumerate}
\partieBac{}
Dans chacun des cas suivants, indiquer après combien de tours les points $M$ et $M'$ se trouveront en $A$ et $A'$ pour la première fois.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $R=10$ et $R'=5$.
\item $R=12$ et $R'=18$.
\item $R=1$ et $R'=\sqrt{2}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\partieBac{}
Considérons la situation où $R=12$ et $R'=18$. Mais cette fois-ci à l'instant $0$, le disque de rayon $R$ a un quart de tour d'avance sur le disque de rayon $R'$.\\
Est-il possible que les points $M$ et $M'$ se trouvent respectivement en $A$ et $A'$ un peu plus tard ?
\end{exoi}

\pagebreak

\Cr{Un exemple de devoir}

\Exoi{\hfill (5 points)\\
\begin{multicols}{2}
Dans la figure ci-contre, $ABC$ est un triangle équilatéral direct, $CBD$, $ACE$ et $AFB$ sont des triangles rectangles isocèles respectivement en $D$, $E$ et $F$. \\
Déterminer la mesure principale, en radians, des angles suivants :
$$ \left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AE}\right),\quad  \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BF}\right),\quad  \left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC}\right)\footnote{On rappelle que quel que soit les points $A$, $B$ et $C$ on a $\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)+\pi [2\pi]$ }, \quad  \left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{CA}\right)\text{ et }  \left(\overrightarrow{EA};\overrightarrow{CA}\right)$$
\textit{\underline{Indication} : \\Il pourra être utile d'utiliser la relation de Chasles.}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\newrgbcolor{ttccqq}{0.2 0.8 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.13,0.07)(2.4,5.46)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2.44,4.81)(-2.12,4.77)(-2.09,5.1)(-2.41,5.13)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.66,3.66)(1.47,3.4)(1.73,3.21)(1.92,3.47)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.39,0.68)(-1.52,0.97)(-1.81,0.84)(-1.68,0.55)
\pspolygon[linecolor=ttccqq,fillcolor=ttccqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2.66,2.74)(-0.02,4.88)(0.51,1.52)
\psline(-2.66,2.74)(0.51,1.52)
\psline(-1.07,2.21)(-1.12,2.08)
\psline(-1.02,2.19)(-1.07,2.06)
\psline(0.51,1.52)(-0.02,4.88)
\psline(0.18,3.16)(0.32,3.19)
\psline(0.17,3.22)(0.31,3.24)
\psline(-2.66,2.74)(-0.02,4.88)
\psline(-1.4,3.85)(-1.32,3.74)
\psline(-1.36,3.88)(-1.28,3.77)
\psline(-2.66,2.74)(-2.41,5.13)
\psline(-2.6,3.94)(-2.47,3.93)
\psline(-2.41,5.13)(-0.02,4.88)
\psline(-1.21,5.07)(-1.22,4.94)
\psline(-2.66,2.74)(-1.68,0.55)
\psline(-2.11,1.67)(-2.23,1.61)
\psline(-1.68,0.55)(0.51,1.52)
\psline(-0.61,1.1)(-0.56,0.97)
\psline(0.51,1.52)(1.92,3.47)
\psline(1.16,2.54)(1.27,2.46)
\psline(1.92,3.47)(-0.02,4.88)
\psline(0.91,4.12)(0.99,4.23)
\psline[linecolor=ttccqq](-2.66,2.74)(-0.02,4.88)
\psline[linecolor=ttccqq](-0.02,4.88)(0.51,1.52)
\psline[linecolor=ttccqq](0.51,1.52)(-2.66,2.74)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-2.66,2.74)
\rput[bl](-2.84,2.58){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-0.02,4.88)
\rput[bl](0.02,4.94){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](0.51,1.52)
\rput[bl](0.62,1.36){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-2.41,5.13)
\rput[bl](-2.35,5.17){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](1.92,3.47)
\rput[bl](1.99,3.5){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=+](-1.68,0.55)
\rput[bl](-1.77,0.3){$F$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{multicols}}
\Exoi{\hfill (4 points)\\
On prend $3$ cm comme unité graphique. 
 On sait qu'un réel $x$ appartient à l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi \right]$ et que  $\sin(x)=\dfrac13$.
  \begin{enumerate}
         \item Placer $x$ sur le cercle trigonométrique.
         \item Quel est le signe de $\cos x$ ?
         \item Calculer $\cos(x)$ \textbf{(en valeur exacte)}.
         \item Donner une valeur approchée de $x$ à $10^{-2}$ près, à l'aide de la calculatrice.
        \end{enumerate}
}


%\Exoi{\hfill (points)\\
%On donne $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\,$ et 
%on admet que $\sin^2\left(-\dfrac{2\pi}{5}\right)= \dfrac{5+\sqrt{5}}{8}$. 
%\begin{enumerate}
%\item  Déterminer la valeur exacte de 
%$\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) \, $ et de $\,\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right) $.
% \item Déterminer la valeur exacte de $\sin\left(-\dfrac{2\pi}{5}\right) \, $ et de $\, \sin\left(\dfrac{8\pi}{5}\right)$.
%\end{enumerate}}


\Exoi{
\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
\item Résoudre l'équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$ dans :
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
 \item[\textbullet] $]-\pi ; \pi] $
 \item[\textbullet] $[0 ; 2\pi [$
 \item[\textbullet] $ \R$
\end{itemize}
\end{multicols}
\item Le nombre $\dfrac{65\pi}{6}$ est-il solution de cette équation dans $\R$ ? %et le nombre $\dfrac{-68\pi}{7}$ ?
      \end{enumerate}
% \item \begin{enumerate} 
% \item Résoudre dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ l'équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$.
% \item Donner ensuite les solutions de cette équation %sur $\R$, puis les solutions 
%dans $[0 ; 2\pi[$.
%\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
 \item Résoudre dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ l'équation $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$.
 \item Le nombre $-\dfrac{22\pi}{3}$ est-il solution de cette équation dans $\R$ ?
% \item Donner ensuite les solutions de cette inéquation dans $[-2\pi ; 3\pi[$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
 \item Résoudre dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ l'équation $\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}2$.
 \item En déduire les solutions de l'inéquation $\cos(x)>-\dfrac{\sqrt{2}}2$ dans $]-\pi ; \pi]$.
% \item Donner ensuite les solutions de cette inéquation dans $[-2\pi ; 3\pi[$.
\end{enumerate}
%\item On a interrogé le logiciel de calcul formel XCAS en entrant la ligne suivante :
%\begin{center}
%\fbox{\texttt{solve(2*sin(x)\^{}2-sin(x)-1=0,x)}} 
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%       \item Que demande-t-on au logiciel ?
% \item Trouver les trois nombres réels que le logiciel renvoie.
%      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\Exoi{\textit{de la trigonométrie avec $\dfrac{\pi}{8}$}\hfill (10 points)\\
On considère un repère orthonormal $(O;I,J)$. $8$ cm représente $1$ unité graphique. \\
On note $\mathscr C$ le cercle trigonométrique de centre $O$ passant par $I$, soiit $B$ le point de $\mathscr C$ tel que :
$$ \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB}\right)=\dfrac{\pi}{4}$$
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Construire la figure en laissant les traits de construction apparent.
\item Placer le point $A\in\mathscr C$ tel que  $\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{\pi}{8}$
\item Construire le polygone régulier à $16$ côtés dont $A$, $I$ et $J$ sont des sommets.
\item Placer les points $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$ de $\mathscr C$ tels que :
$$\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OC}\right)=-\dfrac{\pi}{8}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OD}\right)=\dfrac{7\pi}{8}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OE}\right)=-\dfrac{7\pi}{8}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OF}\right)=\dfrac{3\pi}{8}\qquad \text{et}\qquad  \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OG}\right)=\dfrac{5\pi}{8}$$
\end{enumerate}
\item Donner les coordonnées de $B$.
\item Calculer $IB$. On donnera la valeur exacte de $IB$ puis une valeur arrondi au dixième de $IB$ en $cm$.
\item On note $H$ le point d'intersection entre la droite $(OA)$ et la droite $(IB)$. Quelle est la nature du triangle $OHI$ ?
\item Montrer que $IB=2\sin \dfrac{\pi}{8}$. En déduire la valeur exacte de $\sin \dfrac{\pi}{8}$.
\item En déduire la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{8}$.
\item Donner les coordonnées des points $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$.
\end{enumerate}
}


\Exoi{\hfill\textbf{Question Cactus}\\
A quelle(s) heure(s) exactement les aiguilles des heures et des minutes d'une montre sont-elles superposées ?}

\end{document}

