\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs et droites}	
\newcommand{\Cl}{1S}	
\newcommand{\Annee}{2014-2015}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoDav

\section{Colinéarité}
\Exoi{Dans le repère $(O;\vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(6;2)$, $B(-2;-3)$ et $C(17;9)$.
\item Que dire des points $A$, $B$ et $C$ ?
\item Si le point $D$ a pour coordonnées $(120;75)$ le quadrilatère $BADO$ est-il un trapèze ?
}

\Exoi{$ABCD$ est un rectangle.\\
$E$ est le symétrique de $C$ par rapport à $B$, $F$ est le symétrique de $A$ par rapport à $D$, $G$ est le point tel que $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item En se plaçant dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$, démontrer que $G$, $E$ et $F$ sont alignés.
\item Soit $H$ le point d'intersection de $(EF)$ et $(CD)$. Exprimer $\overrightarrow{DH}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
\end{enumerate}}


\Exoi{$ABCD$ est un tétraèdre. Dans le plan $(ABC)$, le point $K$ est défini par :
$$ \overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$
\begin{enumerate}
\item Faire une figure puis une deuxième dans le plan $(ABC)$.
\item En choisissant un repère du plan $(ABC)$, démontrer que $B$, $K$ et $C$ sont alignés.
\end{enumerate}}
\section{Décompostion dans une base}
\Exoi{On considère $ABCD$ un parallélogramme non aplati.
\begin{enumerate}
\item Donner la décomposition des vecteurs $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{AO}$ et $\overrightarrow{BC}$ dans la base $\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)$.
\item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{CA}$ dans chacune des bases suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)$.
\item $\left(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}\right)$.
\item $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)$ avec $\vec{u}=2\overrightarrow{CB}$ et $\vec{v}=-0,5\overrightarrow{CD}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vec{w}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{BD}$ dans la base  $\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)$.
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $ABC$ un triangle. Le point $I$ est tel que $\overrightarrow{BI}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BA}$, le point $J$ est l'image de 
$C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$, et le point $K$ est défini par la relation vectorielle :
$$ -3\overrightarrow{AK}+3\overrightarrow{BK}+10\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{0}$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\item Préciser la position de $K$ sur $(IJ)$.
\end{enumerate}}


\Exoi{$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés. Les points $D$, $E$ et $F$ sont définis par :
$$ \overrightarrow{AD}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\qquad \overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}\qquad \overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$
Le but de l'exercice est de démontrer par deux méthodes que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés puis de comparer ces deux méthodes.\\
 Faire une figure.\\
  \partieBac{méthode 1}
\begin{enumerate}
\item Justifier que $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un repère du plan.
\item Déterminer les coordonnées des points $D$, $E$ et $F$ dans ce repère.
\item En déduire celles des vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ et démontrer que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}
  \partieBac{méthode 2}
  \begin{enumerate}
\item Ecrire chacun des vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
\item Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires. Conclure.
\end{enumerate}
  \partieBac{Comparaison des deux méthodes}
  \begin{enumerate}
\item Comparer les relations vectorielles trouvées  dans la partie B avec les coordonnées de $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ trouvées dans la partie A. Commenter.
\end{enumerate}
}
\Exoi{Soit $ABC$ un triangle et $a$ un réel.
\\
On considère les points $P$, $Q$ et $R$ définis par :
$$ \overrightarrow{AP}=a\overrightarrow{AB}\qquad \overrightarrow{CQ}=a\overrightarrow{CA}\qquad \overrightarrow{CR}=a\overrightarrow{CB}$$
La figure ci-contre correspond au cas où $a=\dfrac{1}{2}$
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.98,-0.7)(4.64,5.14)
\psline(-2.44,2.68)(-0.1,3.98)
\psline(-0.1,3.98)(1.8,1.08)
\psline(1.8,1.08)(-2.44,2.68)
\psplot{0.85}{4.64}{(--3.64-1.45*x)/0.95}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-2.44,2.68)
\rput[bl](-2.68,2.74){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-0.1,3.98)
\rput[bl](-0.02,4.06){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.8,1.08)
\rput[bl](1.88,1.16){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-1.27,3.33)
\rput[bl](-1.18,3.4){$P$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-0.32,1.88)
\rput[bl](-0.24,1.96){$Q$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](2.75,-0.37)
\rput[bl](2.84,-0.3){$R$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
Existe-t-il des valeurs de $a$ pour lesquelles les points $P$, $Q$ et $R$ sont alignés ?}

\Exoi{\hfill \textbf{Démonstration de cours}
\\
On considère trois points du plan $A$, $B$ et $C$ non alignés.\\
Soit $M$ un point du plan.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Existence}\\
La parallèle à $(AC)$ passant par $M$ coupe $(AB)$ en $P$ et la parallèle à $(AB)$ passant par $M$ coupe $(AC)$ en $Q$.
\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure.
\item Montrer qu'il existe un réel $x$ tel que $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}$ et un réel $y$ tel que $\overrightarrow{AQ}=y\overrightarrow{AC}$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $APMQ$ ? Justifier.
\item En déduire l'expression de $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Unicité}\\
Suppsons maintenant qu'il existe deux couples $(x;y)$ et $(x';y')$ tels que :
$$ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=x'\overrightarrow{AB}+y'\overrightarrow{AC}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(x-x')\overrightarrow{AB}=(y'-y)\overrightarrow{AC}$.
\item En déduire que $x=x'$ et que $y=y'$.
\item Conclure. 
\end{enumerate}\end{enumerate}}

\Exoi{Soit un triangle $RST$ et $K$ le milieu de $[RS]$.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $H$ et $L$ tels que :
$$ \overrightarrow{TH}=-3\overrightarrow{TR}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{SL}=-2\overrightarrow{ST}$$
\item Montrer que $\overrightarrow{TR}+\overrightarrow{TS}=2\overrightarrow{TK}$.
\item Décomposer le vecteur $\overrightarrow{HL}$ sur $\overrightarrow{TR}$ et $\overrightarrow{TS}$
\item En déduire que $(HL)$ et $(TK)$ sont parallèles.
\end{enumerate}}

\Exoi{Construire un triangle $ABC$, puis les points $D$, $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BC}$.\\
\textit{Le but de cet exercice est de démontrer par deux méthodes différentes que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Décomposer $\overrightarrow{DE}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$.
\item Décomposer $\overrightarrow{DF}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$.
\item Démontrer que $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}
\item La parallèle à $(DE)$ passant par $C$ coupe $[AB]$ en un point $I$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $E$ est le milieu de $[AI]$.
\item En déduire que $I$ est le milieu de $[EB]$.
\item Démontrer alors que la droite $(CI)$ est parallèle à la droite $(FD)$. Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{$ABCD$ est un tétraèdre. $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ celui de $[BD]$ et $K$ celui de $[JC]$. $E$ est le point du segment $[AE]$ tel que $AE=\dfrac{2}{3}AJ$ et $F$ est le point du segment $[BC]$ tel que $BF=\dfrac{2}{3}BC$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item On se place dans le plan $(ABD)$. Faire une figure (dans le plan $(ABD)$) puis démontrer que $I$, $E$ et $D$ sont alignés.
\item On se place dans le plan $(BCD)$. Démontrer que $F$, $K$ et $D$ sont alignés.
\item \begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des droites $(IE)$ et $(FK)$ ?
\item En déduire que $I$, $E$, $F$ et $K$ sont coplanaires.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\section{Vecteurs directeurs et droites}
\Exoi{On considère un repère $(O;\vec{i}, \vec{j})$ du plan. Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A(2;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(-1;2)$.}

\Exoi{On considère un repère $(O;\vec{i}, \vec j)$ du plan. Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par les points $A(15;-10)$ et $B(-25;30)$.}

\Exoi{On considère un repère $(O;\vec{i}, \vec{j})$ du plan.
\begin{enumerate}
\item Donner une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A(5;-1)$ et parallèle à la droite $d_1$ dont une équation cartésienne est $2x-7y=2$.
\item La droite $d$ est-elle parallèle à la droite $d_2$ dont l'équation réduite $y=-\dfrac{2}{7}x+3$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $(AB)$ avec $A(2;-3)$ et $B(4;-5)$.
\item Donner trois vecteurs directeurs de la droite $(AB)$.
\end{enumerate}}
\Exoi{Quel est le coefficient directeur d'une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ avec :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\vec{u}(1;-3)$
\item $\vec{u}(-2;4)$
\item $\vec{u}(5;-2)$
\item $\vec{u}\left(\dfrac{1}{4};2\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Soit $d$ la droite d'équation $2x-3y=-7$.
\begin{enumerate}
\item Le point $A(-2;1)$ appartient-il à $d$ ?
\item Même question avec $B\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{2}\right)$ et $C\left(3;\dfrac{13}{3}\right)$.
\item Trouver l'ordonnée du point $E$ de $d$ d'abscisse $-\dfrac{2}{7}$.
\item Trouver l'abscisse du point $F$ de $d$ d'ordonnée $\dfrac{1}{5}$.
\end{enumerate}}

\Exoi{Placer les points $A(-2;4)$, $B(2;2)$, $C(-5;0)$ et le point $D$ tel que $\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AB}$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ?
\item Déterminer les coordonnées de $D$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $d:6x+y=14$.
\\
Vérifier que $B$ et $D$ appartiennent à $d$.
\item Trouver une équation cartésienne de la droite $(AC)$.
\item Prouver que $(BD)$ et $(AC)$ sont sécantes.
\item Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $E$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $K$ milieu de $[AB]$ et de $L$ milieu de $[CD]$.
\item Démontrer que les points $E$, $K$ et $L$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $m$ un réel et $d$ la droite d'équation 
$$ x+my+3=0$$
Peut-on trouver $m$ tel que :
\begin{enumerate}
\item $\vec{u}(3;2)$ soit un vecteur directeur de $d$.
\item $A(-2;3)$ appartienne à $d$.
\item $d$ soit parallèle à la droite d'équation $3x-y=0$.
\item $d$ soit parallèle à l'axe des abscisses.
\item $d$ soit parallèle à l'axe des ordonnées.
\item $d$ passe par l'origine du repère.
\item $d$ passe par le point $J(0;1)$.
\end{enumerate}}
\Exoi{Dans un repère du plan $(O;\vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(3;4)$, $B(1;-1)$ et $C(6;-2)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le milieu $I$ de $[AC]$ et parallèle à $(AB)$.
\item $\Delta$ est la droite d'équation $-16x+y=-98$
\begin{enumerate}
\item Prouver que $\Delta$ et $(AB)$ sont sécantes en $D$ de coordonnées à déterminer.
\item Montrer que le milieu $J$ de $[DC]$ est un point de $d$ de deux manières différentes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{Soit $ABC$ un triangle non aplati.
\\
Pour tout réel $t$, on considère le point $M_t$ défini par la relation vectorielle :
$$\overrightarrow{BM_t}=t\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}$$
\begin{enumerate}
\item Construire sur la même figure  $M_0$, $M_1$ et $M_{-1}$.
\item Déterminer et construire le lieu géométrique des points $M_t$ lorsque $t$ décrit $\R$.
\end{enumerate}}
\Exoi{Soit $ABCD$ un trapèze tel que $(AB)$ soit parallèle à $(CD)$. Soit $M$ le point d'intersection des droites $(AD)$ et $(CD)$. Soit $I$ le milieu du côté $[AB]$ et $J$ celui du côté $[CD]$. On nomme $K$ le point d'intersection des diagonales $[AC]$ et $[BD]$. \\
On veut démontrer que $M$, $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$ est un repère.
\item Donner les coordonnées de $A$, $B$, $D$ et $I$ dans ce repère.
\item On nomme $a$ l'abscisse du point $C$ dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$. Déterminer, en fonction de $a$, les coordonnées de $C$ et de $J$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(BC)$ et en déduire les coordonnées de $M$.
\item Montrer que les points $M$, $I$ et $J$ sont alignés.
\item Déterminer une équation cartésienne de $(BD)$ et de $(AC)$. En déduire les coordonnées de $K$.
\item Conclure.
\end{enumerate}}

\pagebreak


\section{Un exemple de devoir}

\Exoi{
$ABC$ est un triangle quelconque. Les points $N$ et $P$ sont tels que 
$\overrightarrow{AN}=\dfrac32\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}$ et
$\overrightarrow{BP}=\dfrac25\overrightarrow{BC}$.
\begin{enumerate}
 \item Faire un schéma de la situation.\\
\textit{On veut montrer de deux manières différentes que les points $A$, $P$ et $N$ sont alignés.}
 \item \textbf{Solution analytique dans le repère $(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} )$ :}
\begin{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi $(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} )$ est un repère du plan.
 \item Quelles sont les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $N$ dans ce repère ?
 \item Calculer les coordonnées du point $P$.
 \item Montrer que les points $A$, $P$ et $N$ sont alignés.
\end{enumerate}
\item \textbf{Solution vectorielle (sans repère, on utilisera donc pas les résultats de la question 2.) :}
\begin{enumerate}
 \item Ecrire le vecteur $\overrightarrow{AP}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$
et $\overrightarrow{AC}$.
\item En déduire que les vecteurs $\overrightarrow{AN} =k\overrightarrow{AP}$, où $k$ est un réel à déterminer.
\item Expliquer alors pourquoi les points $A$, $P$ et $N$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{
Le plan est muni d'un repère $(O ; \vec i ; \vec j )$. On considère les points $A(1;2)$, $B(-1 ; 3)$ et 
$C(4 ; -1 )$.
\begin{enumerate}
 %\item Construire une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
 \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
 \item \begin{enumerate}
       \item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
 \item Donner un vecteur directeur de la droite $(AB)$ d'ordonnée 1.
 \item Trouver le point $D$ de la droite  $(AB)$ d'ordonnée 1.
       \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item Donner une équation cartésienne de la droite $(d)$ de vecteur directeur 
$\vec u = 2 \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ et passant par le point $A$.
 \item Le point $E\left(\dfrac12 ; \dfrac32\right)$ appartient-il à la droite $d$ ?
      \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BE}$.
 \item Que peut-on dire des droites $(BE)$ et $(AC) $ ? Justifier.
       \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Montrer qu'une équation cartésienne de la droite $(CE)$ est $5x+7y-13=0$.
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection $F$ des droites $(AB)$ et $(CE)$.
\end{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
 %      \item Démontrer que le point $B$ est le milieu du segment $[AF]$.
 %\item Que peut-on en déduire pour  le point $E$ ?
  %    \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{multicols}{2}
\Exoi{
Dans un repère, $d$ est la droite d'équation 
$$ax+by+c=0 \quad \text{ avec } (a;b) \neq (0;0)$$
Expliquer le rôle de l'algorithme ci-contre, dont les variables sont les réels $a$, $b$ et $c$.}
\Algo[Droites]{8cm}{
\Entree{ 
 $a$, $b$ et $c$  sont des nombres réels\\}
{
  Saisir  $a$, $b$, $c$. \\
   \IfThenElse{ $a \neq 0$ }
    {    Afficher \og Point $A\left(-\dfrac{c}{a} ; 0 \right)$\fg\, ...}
    {   Afficher \og Pas de point d'intersection.\fg}
    }
}
\end{multicols}

\end{document}

