\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Suites numériques}	
\newcommand{\Cl}{1S}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoDav







\section{Définir une suite - Algorithme}

\Exoi{Pour les suites suivantes, calculer les termes de $u_1$ à $u_5$ puis conjecturer une formule
explicite du terme général. Retrouver alors $u_0$ à partir de la formule conjecturée.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_n\end{array} \right.$
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=u_n+5 \end{array} \right.$
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=3 \\ u_{n+1}=u_n-6 \end{array} \right.$
\item $\left\{ \begin{array}{l} u_0=4 \\ u_{n+1}=1-\dfrac{1}{1+u_n}\end{array} \right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\Exoi{Voici les $4$ premiers nombres triangulaires :
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{tri.eps}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Représenter et donner les valeurs de $T_5$ et $T_6$.
\item Définir la suite $T$ puis proposer un algorithme permettant de calculer un nombre triangulaire quelconque $T_n$. 
\item A l'aide d'un programme donner $T_{12}$ et $T_{60}$.
\item Ecrire et programmer un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $T_n\geq 100$
\item $T_n \geq 1000$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Exoi{
\textbf{Nombres pyramidaux
}.\\
On suppose que la suite des entiers naturels est écrite dans un tableau selon la disposition
ci-dessous. On représentera un nombre par le numéro de la ligne qui le contient et par son
rang dans la ligne à partir de la gauche. Par exemple, 6. Le nombre 6 est au second rang
de la troisième ligne. Dans quelle ligne se trouve le nombre 2 013 ? Quel est son rang
dans cette ligne ?
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{pyr.eps}
\end{center}
}

\pagebreak
\Exoi{
On définit la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ de la façon suivante :
$$ u_0=2\qquad u_1=1+\dfrac{1}{2}\qquad u_2=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}\qquad u_3=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}}$$
et ainsi de suite.
\begin{enumerate}
\item Exprimer sous la forme de fraction irréductible les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item Donner une définition par récurrence de la suite $u$.
\item Ecrire un algorithme permettant de calculer $u_n$ en fonction de $n$ puis à l'aide de votre programme donner $u_5$, $u_{10}$, $u_{20}$ et $u_{50}$ à $10^{-4}$ près. 
\item Conjecturer la limite de la suite $u$.
\end{enumerate}}





\Exoi{On donne :
$$ u_0=1\quad \text{;}\quad u_1=3\quad \text{;}\quad u_2=7 \quad \text{;}\quad u_3=15 \quad \text{;}\quad u_4=31 \quad \text{;}\quad u_5=63 \quad \text{;}\quad u_6=127$$
\begin{enumerate}
\item Donner $u_7$.
\item Proposer une formule donnant $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Vérifier qu'elle est correcte sur les premiers termes.
\item Proposer une formule donnant $u_n$ en fonction de $n$. Vérifier qu'elle est correcte sur les premiers termes.
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\Exoi{On considère la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définies par le programme suivant :
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $u$  et $A$ sont des nombres réels.\\
$ i$, $n$  et $A$ sont des nombres entiers.\\
}
{
$u:=1$\\
Entrer $n$  et $A$\\
  \For{i allant de 1 à $n$}
{$u:=\dfrac{1}{2}\left(u+\dfrac{A}{u}\right)$ 
}
Afficher $u$
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner la définition par récurrence de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$.
\item Pour $A=2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$ ; $u_1$ et $u_2$.
\item Que semble calculer la suite $(u_n)$ ?
\end{enumerate}
\item Choisir une autre valeur de $A$ et reprendre la question précédente.
\end{enumerate}
\textbf{Cette suite s'appelle la suite de Héron}
\end{multicols}
}

%\Exoi{On considère les  suites $(u_n)_{n\geq 0}$, $(v_n)_{n\geq 0}$ définies par  les algorithmes suivant : \\
%\partieBac{La suite $u$}
%\begin{multicols}{2}
%\begin{center}
%\Algo{8cm}{
%\Entree{ 
%$u_0$, $u_1$ et $u$  sont des nombres réels.\\
%$ i$ et $n$ sont des nombres entiers, $n$ est supérieur ou égal à $2$.\\
%}
%{
%$u_0:=1$\\
%$u_1:=2$\\
%Entrer $n$ \\
%  \For{i allant de 1 à $n$}
%{$u:=5u_1-6u_0$ puis $u_0:=u_1$ et $u_1:=u$\\
%Afficher $u$
%}
%}
%}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item Si l'utilisateur saisit l'entier $n=5$, qu'affiche l'algorithme ?
%\item Que fait cet algorithme ?
%\item Donner une définition de la suite $u$ par récurrence.
%\item Proposer une définition explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
%\item Modifier l'algorithme pour qu'il n'affiche que le terme de rang $n$.
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
%\partieBac{La suite $v$}
%\begin{multicols}{2}
%\begin{center}
%\Algo{8cm}{
%\Entree{ 
% $v$  est un nombre réel.\\
%$ i$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\
%}
%{
%Entrer $n$ \\
%  $v:=\cos \left(n\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\left(n\dfrac{\pi}{3}\right)$\\
%  Afficher $v$.
%}
%}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item Si l'utilisateur saisit l'entier $n=5$, qu'affiche l'algorithme ?
%\item Que fait cet algorithme ?
%\item Compléter :
%$$  \left\{ \begin{array}{l} v_{4n}=\dots \dots \\ v_{4n+1}=\dots \dots  \\ v_{4n+2}=\dots \dots\\ v_{4n+3}=\dots \dots\end{array} \right. $$
%%\item Modifier l'algorithme pour qu'il n'affiche que le terme de rang $n$.
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
%}





\Exoi{On considère les suites $w$ et $s$ définies par les algorithmes suivants :\\
\partieBac{La suite $w$}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $w$  est un nombre réel.\\
$ i$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\
}
{
Entrer $n$ \\
  $w:=4\times (-1)^n+1$\\
  Afficher $w$.
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Si l'utilisateur saisit l'entier $n=5$, qu'affiche l'algorithme ?
\item Que fait cet algorithme ?
\item Compléter :
$$  \left\{ \begin{array}{l} w_{2n}=\dots \dots \\ w_{2n+1}=\dots \dots  \end{array} \right. $$
%\item Modifier l'algorithme pour qu'il n'affiche que le terme de rang $n$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\partieBac{La suite $s$}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $s$  est un nombre réel.\\
$ i$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\
}
{
$s:=-1$\\
Entrer $n$ \\
  \For{$i$ allant de $1$ à $n$}
{$s:=\sqrt{\dfrac{1+s}{2}}$  \\
Afficher $s$
}
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Si l'utilisateur saisit l'entier $n=5$, qu'affiche l'algorithme ?
\item Que fait cet algorithme ?
\item Donner une définition de la suite $u$ par récurrence.
\item Modifier l'algorithme pour qu'il n'affiche que le terme de rang $n$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exoi{La suite $u$ est définie, pour tout entier naturel $n$, par :
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=u_n -3  \end{array} \right.$$
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=2-3n$}


\pagebreak
\section{Sens de variation}

\Exoi{Etudier le sens de variation de la suite $u$ dans chacun des cas suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_n=3-2n$ avec $n\in\N$.
\item $u_n=-2+5n$ avec $n\in\N$.
\item $u_n=\dfrac{n^2}{2^n}$. avec $n\in\N$.
\item $u_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n}$ avec $n\in\N^*$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exoi{
\begin{enumerate}
\item La suite $u$ est définie pour tout $n\geq 1$ par :
$$ u_n=1+\dfrac{10}{n}$$
En étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$, montrer que la suite $u$ est décroissante à partir de $n\geq 1$.
\item Montrer que la suite $u$ définie pour tout $n\in\N$ par $u_n=5n-n^2$ est décroissante à partir d'un certain rang à préciser.
\item Montrer que la suite $v$ définie pour tout $n\in\N$ par $v_n=n^2-10n+16$ est croissante à partir d'un certain rang à préciser.
\item La suite $u$ est définie pour tout entier $n\in\N$ par $u_n=n^2-3n+1$.\\
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ est croissante à partir d'un certain rang à préciser en étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$.
\item Etudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-3x+1$ et retrouver le résultat précédent.
\end{enumerate}
\item La suite $u$ est définie pour tout entier $n\in\N$ par $u_n=2^n-n$.\\
Montrer que la suite $u$ est croissante.
\end{enumerate}
}





\section{Représentation graphique}

\Exoi{}
\begin{enumerate}
\item On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ ($\mathscr C_f : y=-0,1(x-5)^2+5$ )et la droite $\mathscr D$ d'équation $y=x$. On a représenté les cinq premiers termes de la suite $u$ définie par son premier terme $u_0$ et la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier $n$.
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-1.1)(6.1,6.1)
\def\xmin{-2} \def\xmax{6} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.1,-1.1)(6.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-2,0)(-2,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(-2,0)(-2,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-2,0.1)(0,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(-2,0.1)(0,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.1)(0.1,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,0.1)(0.1,0.1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1,0.1)(0.1,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.1,0.1)(0.1,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1,0)(0.1,2.599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.1,0)(0.1,2.599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.1,2.599)(0,2.599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0.1,2.599)(0,2.599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.599)(2.599,2.599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,2.599)(2.599,2.599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.599,2.599)(2.599,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(2.599,2.599)(2.599,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.599,0)(2.599,4.42351)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(2.599,0)(2.599,4.42351)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.599,4.42351)(0,4.42351)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(2.599,4.42351)(0,4.42351)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.42351)(4.42351,4.42351)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,4.42351)(4.42351,4.42351)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.42351,4.42351)(4.42351,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(4.42351,4.42351)(4.42351,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.42351,0)(4.42351,4.96676)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(4.42351,0)(4.42351,4.96676)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.42351,4.96676)(0,4.96676)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(4.42351,4.96676)(0,4.96676)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.96676)(4.96676,4.96676)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(0,4.96676)(4.96676,4.96676)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.96676,4.96676)(4.96676,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(4.96676,4.96676)(4.96676,0)
\def\F{0 0.1 x 5 sub 2 exp mul sub 5 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-2}{6}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{6}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](-2,0){ $u_0$}
\uput[180](0,0.1){ $u_1$}
\uput[-90](0.1,0){ $u_1$}
\uput[180](0,2.599){ $u_2$}
\uput[-90](2.599,0){ $u_2$}
\uput[180](0,4.42351){ $u_3$}
\uput[-90](4.42351,0){ $u_3$}
\uput[180](0,4.96676){ $u_4$}
\uput[-90](4.96676,0){ $u_4$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner, par lecture graphique, $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
\item Donner l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis calculer les valeurs des termes $u_1$ à $u_4$ à partir de la valeur $u_0$ lue à la question précédente.
\item On modifie la valeur $u_0=0$. Calculer les premiers à partir de $u_0$.
\item Représenter graphiquement sur l'axe des abscisses les 4 premiers termes de la suite $u$ avec donc $u_0=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%}

\Exoi{On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n$, par : $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5} \end{array} \right.$$
%\begin{enumerate}
\item Donner la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item Dans le repère ci-dessous on a tracé la représentation graphique $\mathscr C_f$ de la fonction $f$ et la droite d'équation $y=x$.
\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement sur l'axe des abscisses les $4$ premiers termes de la suite $u$.
\item Conjecturer le sens de variation de la fonction $u$.
\item Conjecturer la valeur limite $\ell$ de la suite $u$.
%\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4.1231)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F}
\uput[0](3,5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Exoi{On considère la suite $u$ définie pour tout entier $n\in\N$ par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=a \\ u_{n+1}=\sqrt{u_n+1} \end{array} \right.$$
\begin{enumerate}
\item Donner la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item Dans un repère, en utilisant la représentation graphique de la fonction $f$, placer sur l'axe des abscisses les $4$ premiers termes de la suite $u$ pour $a=0 $. Dans ce cas conjecturer le sens de variation de la suite $u$.
\item Dans un repère, en utilisant la représentation graphique de la fonction $f$, placer sur l'axe des abscisses les $4$ premiers termes de la suite $u$ pour $a= 15$. Dans ce cas conjecturer le sens de variation de la suite $u$.
\item Que constate-t-on ?
\end{enumerate}}

\Exoi{
Soit $\left(u_{n}\right)_{n\geq 0}$ la suite définie par $u_{0} = 0,~ u_{1} =  3$ et pour tout nombre entier naturel $n,$
\[ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3.\] 
\begin{enumerate}
 		\item Calculer $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
		\item Sur la figure ci-dessous, sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d'équation respectives $y = x$  et $y = \dfrac{1}{2}x + 3$. A partir de $u_{0}$, en utilisant ces deux droites, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière placer les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
 \item Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ?
\end{enumerate}
}

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm,ticksize=0.2cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(24,15)
\psaxes[ticksize=0.5cm,ticks=all,Dx=30,Dy=30]{->}(0,0)(-6,-6)(24,15)
\psline(-6,-6)(15,15)
\psplot[linecolor=blue]{-6}{24}{x 0.5 mul 3 add}
\rput{26.56}(10,7){$y = \dfrac{1}{2}x + 3$}
\rput{45}(7,8){$y = x$}
\uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$}
\multido{\n=-6+1}{31}{\psline(\n,0)(\n,0.25)}
\multido{\n=-6+1}{22}{\psline(0,\n)(0.25,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}



\section{Limite}


\Exoi{Sans justification, dans chaque cas, déterminer si la suite converge en présicant sa limite éventuelle :
\begin{enumerate}
\item La suite $u$ est définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ u_n=1+\dfrac{1}{n+1}$$
\item La suite $v$ est définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ v_n=(-1)^n\times n$$
\item La suite $w$ est définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ w_n=n-\dfrac{1}{n+1}$$
\item La suite $s$ est définie pour tout $n\in\N^*$ par :
$$ s_n=\dfrac{1}{n}$$
\item La suite $t$ est définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ t_n=(-1)^n+n$$
 \item La suite $p$ est définie pour tout $n\in\N$ par :
$$ p_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$
\end{enumerate}}

\Exoi{Une suite $u$ est décroissante et converge vers $0$.\\
La suite $v$ est telle que pour tout $n\in\N$, $v_n<u_n$.\\
Dans chaque cas, indiquer la (les) bonne(s) réponse(s) :
\begin{enumerate}
\item Si la suite $v$ a tous ces termes positifs alors :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item La suite $v$ est décroissante.
\item La suite $v$ est convergente.
\item La suite $v$ a une limite $\ell<0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Si La suite $v$ est croissante alors : 
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item la suite $v$ a tous ses termes négatifs ou nuls.
\item la suite $v$ est convergente.
\item la suite $v$ converge vers $0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}}

\Exoi{Proposer un exemple de suite $u$ telle que :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u$ est décroissante et converge vers $1$.
\item $u$ n'admet pas de limite.
\item $u$ diverge vers $-\infty$.
\item $u$ est croissante et converge vers $\pi$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exoi{On considère la suite définie pour $n\in\N^*$ par :
$$ u_n=-1+\dfrac{1}{n}$$
}
\begin{enumerate}
\item Conjecturer la limite $\ell$ de la suite $u$.
\item On donne l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$u$  est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier naturel.\\
$\varepsilon$ est un nombre réel strictement positif.
}
{
$u:=0$ et $p:=1$ \\
Entrer $\varepsilon$ \\
    \While{ $u\notin \left]-1-\varepsilon;-1+\varepsilon\right[$ }
{$u:=-1+\dfrac{1}{p}$ et $ p:=p+1$}
Afficher $p-1$.
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre $\varepsilon=0.3$ ? $\varepsilon=0,1$ ? $\varepsilon=10^{-3}$ ?
\item Déterminer un entier $p$ tel que  pour tout entier $n\geq p$, on ait :
$$ u_n\in  \left]-1-\varepsilon;-1+\varepsilon\right[$$
\item Que vient-on de démontrer ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\Exoi{On considère la suite définie pour $n\in\N$ par :
$$ u_n=n^2-3$$
\begin{enumerate}
\item Conjecturer la limite $\ell$ de la suite $u$.
\item On donne l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$u$  est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier naturel.\\
$A$ est un nombre réel strictement positif.
}
{
$u:=-3$ et $p:=0$ \\
Entrer $A$ \\
    \While{ $u < A$ }
{$u:=p^2-3$ et $ p:=p+1$}
Afficher $p-1$.
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Qu'affiche cet algorithme lorsque l'utilisateur entre $A=30$ ? $A=1000$ ? $A=10^{6}$ ?
\item Déterminer un entier $p$ tel que  pour tout entier $n\geq p$, on ait :
$$ u_n>A$$
\item Que vient-on de démontrer ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{On considère la suite définie pour $n\in\N^*$ par :
$$ u_n=1-3n$$
Rédiger un énoncé d'exercice sur le modèle des deux précédents, puis répondre à chacune des questions.}

%\section{Exercices récapitulatifs}
%
%\Exoi{On considère les suites $u$, $v$, $w$ et $s$ définies par :
%\begin{multicols}{2}
%\begin{itemize}
%\item $ \left\{ \begin{array}{l} u_0=0\\ u_{n+1}=2u_n-1  \end{array} \right. \qquad n \in \N $
%\item $ v_n=2\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{8}{3} , \qquad n\in\N$
%\item $ \left\{ \begin{array}{l} w_0=-\dfrac{1}{2}\\ w_{n}=4+w_{n-1} \end{array} \right.  \qquad n\in \N^* $
%\item $ s_n=5-2n,\qquad n\in\N^*$ 
%\end{itemize}
%\end{multicols}
%\begin{enumerate}
%\item \textbf{Pour la suite $u$}
%\begin{enumerate}
%\item Calculer les $5$ premiers termes de la suite $u$.
%\item Exprimer $u_{n+4}$ en fonction de $u_n$.
%\item En déduire $u_8$ ; $u_{12}$ ; $u_{16}$ et $u_{20}$.
%\item Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$
%\item Représenter à l'aide de la fonction $f$ et de la droite $\mathscr D : y=x$ les premiers termes de la suite dans un repère.
%\end{enumerate}
%\item \textbf{Pour la suite $v$}
%\begin{enumerate}
%\item Calculer les $5$ premiers termes de la suite $v$.
%\item Calculer $v_{10}$ et $v_{17}$.
%\item Ecrire un algorithme permettant le calcul du terme de rang $n$ où $n$ est un entier choisit par l'utilisateur.
%\end{enumerate}
%\item \textbf{Pour la suite $w$}
%\begin{enumerate}
%\item  Calculer les $5$ premiers termes de la suite $w$.
%\item Exprimer $w_{n+5}$ en fonction de $w_n$.
%\item En déduire $w_5$ ; $w_{10}$ ; $w_{15}$ et $w_{20}$.
%\item Déterminer la fonction $f$ telle que $w_{n+1}=f(w_n)$.
%\item Représenter à l'aide de la fonction $f$ et de la droite $\mathscr D : y=x$ les premiers termes de la suite dans un repère.
%\item Conjecturer une formule donnant $w_n$ en fonction de $n$ ; vérifier votre conjecture sur les premiers termes de la suite.
%\end{enumerate}
%\item \textbf{Pour la suite $s$}
%\begin{enumerate}
%\item  Calculer les $5$ premiers termes de la suite $s$.
%\item Calculer $s_{1}$ ; $s_{2}$ ; $s_{3}$ et $s_{10}$.
%\item Conjecturer une formule donnant le terme de rang $s_{n+1}$ en fonction de $s_n$.
%\item Déterminer la fonction $f$ telle que $s_n=f(n)$.
%\item Déterminer le sens de variation de la suite $s$.
%\item Déterminer la fonction $g$ telle que $s_{n+1}=g(s_n)$.
%\item Représenter à l'aide de la fonction $g$ et de la droite $\mathscr D : y=x$ les premiers termes de la suite dans un repère.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}
%

\pagebreak

\section{Un exemple de devoir}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item 
On considère la suite $u$ définie par l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
$ i$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\
}
{
$u:=5$\\
Entrer $n$ \\
  \For{$i$ allant de $1$ à $n$}
{$u:=\dfrac{2}{3}u+1$  \\
Afficher $u$
}
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item 
Qu'affiche l'algorithme  si l'utilisateur entre $n=4$ ?
\item Que fait cet algorithme ?
\end{enumerate}
\item On considère la suite $u$ définie par :
 $$\left\{ \begin{array}{l} u_0=5 \\ u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+1\end{array} \right.$$
 \begin{enumerate}
\item Donner la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
\item Dans un repère à l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$ et la droite $\mathscr D :y=x$ (que l'on tracera),  placer sur l'axe des abscisses les $4$ premiers termes de la suite $u$.
\item Conjecturer le sens de variation de la suite $u$ et sa limite $\ell$.
\end{enumerate}
\item \textbf{On admet que} la suite $u$ peut se définir pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=2\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n+3$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier cette formule en calculant $u_0$ ; $u_1$ ; $u_2$ et $u_3$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$ u_{n+1}-u_n=-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}$$
\item En déduire le sens de variation de la suite $u$.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
}

\Exoi{Lors d'une soirée de ski nocturne, Augustin apprend à prendre le téléski en snowboard.\\
La première fois, il parcourt $40$ mètres.\\
Puis, à chaque tentative, il réussit à tenir sur la perche $5$ mètres de plus que la fois précédente.\\
Le téléski mesure $300$ mètres de long.
\begin{enumerate}
\item Combien devra-t-il faire de tentatives pour arriver au sommet ?
\item Le téléski avance à la vitesse de $4$ mètres par seconde. \\
Combien de temps Augustin aura-t-il passé sur le téléski ?
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
 $$\left\{ \begin{array}{l} u_0=3 \\ u_{n+1}=2u_n-2\end{array} \right.$$
 \begin{enumerate}
\item A l'aide des droites $\mathscr D :y=x$ et $\mathscr D' :y=2x-2$ donnée ci-dessous, placer sur l'axe des abscisses les termes de $u_0$ à $u_3$.
\item Conjecturer la limite de la suite $u$.
\item Calculer les $4$ premiers termes de la suite $u$.
\item \begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$u$  est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier naturel.\\
$A$ est un nombre réel strictement positif.
}
{
$u:=3$ et $p:=0$ \\
Entrer $A$ \\
    \While{ $u<A$ }
{$u:=2u-2$ et $ p:=p+1$}
Afficher $p$.
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Qu'affiche cet algorithme si l'utilisateur entre $A=30$ ? 
\item Qu'affiche cet algorithme si l'utilisateur entre $A=100$ ? s'il entre $A=10000$ ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(11.1,11.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{11} \def\ymin{-1} \def\ymax{11}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-1.1,-1.1)(11.1,11.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4)
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\def\F{2 x mul 2 sub}
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\uput[dl](0,0){ O}
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\end{pspicture*}

\end{center}
\end{document}

