\documentclass[11pt,francais]{article}
\PassOptionsToPackage{dvipsnames,svgnames}{xcolor}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,epsfig,stmaryrd,bbm,mathrsfs,stmaryrd}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{titlesec,graphicx,comment}
\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\hypersetup{urlcolor=blue,linkcolor=blue,citecolor=black,colorlinks=true}
 %\usepackage{sectsty}%pour 
\usepackage{multido}
\usepackage{multicol}

\usepackage[top=1.5cm,left=2cm,right=2cm,bottom=2cm]{geometry}

%%%%%%%%%%% FONTE %%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[fulloldstyle]{kpfonts} 

%%%%%%%%%%%%%%%%%% FIORITURES %%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[object=vectorian]{pgfornament}
\usetikzlibrary{shapes.geometric,calc}
\usepackage{psvectorian,auto-pst-pdf}
\usepackage{tikz}
 \renewcommand*{\psvectorianDefaultColor}{NavyBlue}%
\tikzset{pgfornamentstyle/.style={draw=NavyBlue, fill = blue}}

\everymath{\displaystyle}


%\usepackage{fourier}
%%\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
%%\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%%\usepackage[normalem]{ulem}
%%\usepackage{ulem}
%%\usepackage{lscape}
%%\usepackage{dcolumn}
\usepackage{eso-pic,url,graphicx,geometry,typearea}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
%\usepackage{tabularx}
%\usepackage[top=1.5cm,left=2cm,right=2cm,bottom=2cm]{geometry}


\newcommand{\euro}{\eurologo{}}

\theoremstyle{plain}

\newtheorem{theo}{Théorème } 




%%%%%%%% ENVIRONNEMENT EXERCICES %%%%%%%%%%

\makeatletter
\newcounter{exo}[subsection]
\newenvironment{exo}[1][]
  {\edef\@exer{#1}%
   \ifx\@exer\empty{}\else{\setcounter{exo}{#1}\addtocounter{exo}{-1}}\fi%
   \refstepcounter{exo}%
   \noindent { \textcolor{NavyBlue}{\fontfamily{pzc}\selectfont \large {\LARGE\textsc{E}}xercice \theexo.}}%
   \hspace{0.5em}}
  {\medskip}

\newcounter{sol}[subsection]
\newenvironment{sol}[1][]
  {\edef\@exer{#1}%
   \ifx\@exer\empty{}\else{\setcounter{sol}{#1}\addtocounter{sol}{-1}}\fi%
   \refstepcounter{sol}%
   \noindent {\it \underline{Solution de l'exercice \thesol}%
   \hspace{0.5em}}}
  {\medskip}
\makeatother




%%%%% COMMANDES MAISON %%%%

\newcommand{\ligne}{\begin{center}\vrule depth 0pt height 0.4pt
width 5cm\end{center}}
\newcommand{\etoile}{\begin{center}$\ast\ast\ast$\end{center}}
\def \cor {\noi{ \textcolor{red}{{\bf Corrigé :}}}}
\def \fin {\hfill$\square$}%\newtheorem{exo}{Exercice}

\def\ind{{\mathbbm{1}}_}
\def\al{\alpha}
\def\a{{\mathcal A}}
\def\vep{\varepsilon}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\T}{\mathbb{T}}
\newcommand{\A}{\mathbb{A}}
\renewcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\renewcommand{\L}{\mathbb{L}}
\def\ov{\overline}
\def\sg{\sigma}
\def\dl{\delta}

\def\f{{\mathcal F}}
\def\sg{\sigma}
\def\noi{\noindent}
\def\b{{\mathcal B}}
\def\dl{\delta}
\def\vph{\varphi}
\def\lm{\lambda}
\def\build#1_#2^#3{\mathrel{
\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}}
\def\cc{{\mathcal C}}
\def\p{{\mathcal P}}
\def\x{{\mathcal X}}
\def\z{{\mathcal Z}}
\def\y{{\mathcal Y}}
\def\la{\longrightarrow}
\def\s{{\mathcal S}}
\newcommand\Es[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]}
\renewcommand\Pr[1]{\mathbb{P}\left[#1\right]}

\def\be{\begin{equation}}
\def\ee{\end{equation}}
\def\ba{\begin{eqnarray*}}
\def\ea{\end{eqnarray*}}
\def\ov{\overline}
\def\wh{\widehat}
\def\wt{\widetilde}
\def\cg{\Big[}
\def\cd{\Big]}
\def\pg{\Big(}
\def\pd{\Big)}
\def\la{\longrightarrow}
\def\lmt{\longmapsto}
\def\da{\downarrow}
\def\ua{\uparrow}


%%%% PAS D'INDENT %%%%
\setlength{\parindent}{0pt}



%%%% Début du document %%%%


\textwidth 173mm \textheight 235mm \topmargin -50pt \oddsidemargin
-0.45cm \evensidemargin -0.45cm

\title{
\Huge \vspace{-2cm} \textsc{
TFJM$^2$
\\\medskip
\Large Problèmes du tournoi français des jeunes
mathématiciennes et mathématiciens
} \\
%\vspace{3mm} \textbf{\Large 5 exercices \small(enoncé et corrigé)}
}
%\author{D.Zancanaro \date{06/2014}}
\usepackage{fancyhdr} 
\newcommand{\ch}{Les nombres réels}
\newcommand{\Ch}{Les ensembles de nombres}	
\newcommand{\Cl}{2$^\text{nde}$}	
\newcommand{\Annee}{2014-2015}	
\newcommand{\Profs}{D.Zancanaro}
\newcommand{\LyDav}{Jean Durand}

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\fancypagestyle{styleLyc}{%
%\fancyhf{} 
%\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
\fancyhead[C,L,R] {}
	\fancyfoot[LE,LO]{{\scriptsize\textsl{ \Profs \\ Lycée \LyDav }}}
	\fancyfoot[C]{\scriptsize\textsl{\Cl \\ \Annee}}
\fancyfoot[LE,RO]{\bfseries\thepage / \pageref{LastPage}}
}
\pagestyle{styleLyc}

\begin{document}
\vspace {-3cm}


\fontfamily{pzc} \selectfont

\begin{tikzpicture}[every node/.style={inner sep=0pt}]   
\node[text width= \linewidth-2cm](Text){%
~ 
\bigskip\\
{\LARGE Les nombres}  \hfill {\large  Lycée Jean Durand} \\
~ \bigskip \\
 \centerline{\LARGE \normalfont Les nombres réels -- Feuille d'exercices }
} ;
\node[shift={(-1cm,0.2cm)},anchor=north west](CNW)  at (Text.north west)
                 {\pgfornament[width=1cm]{61}};
\node[shift={(1cm,0.2cm)},anchor=north east](CNE)   at (Text.north east)
                 {\pgfornament[width=1cm,symmetry=v]{61}}; 
\node[shift={(-1cm,-0.5cm)},anchor=south west](CSW) at (Text.south west)
                 {\pgfornament[width=1cm,symmetry=h]{61}}; 
\node[shift={(1cm,-0.5cm)},anchor=south east](CSE)  at (Text.south east)   
                 {\pgfornament[width=1cm,symmetry=c]{61}}; 
   \node[shift={(0cm,0cm)}](CS) at (Text.south)   
                 {\pgfornament[width=4.5cm,ydelta=+3cm]{75}};  
\pgfornamenthline{CNW}{CNE}{north}{89}
\pgfornamentvline{CNW}{CSW}{west}{87}
\pgfornamentvline{CNE}{CSE}{east}{87} 
\end{tikzpicture}

\normalfont










\begin{exo}\hfill \textbf{Des écritures différentes pour un même nombre}

Considérons $a=0,9999\dots=0,\underline{9}$. Le but de l'exercice est de démontrer que $a$ et $1$ sont \textbf{exactement} le même nombre. Ce résultat est particulièrement contre intuitif.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que :
$$10a=9+a$$
\item Résoudre l'équation $10a=9+a$ puis conclure.
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
 \item Effectuer les quatre opérations suivantes en moins de 20 secondes chacune :
 $$3+\dfrac14 \qquad\qquad\qquad 5\times \dfrac23 \qquad \qquad\qquad \dfrac17 + \dfrac15 \qquad\qquad\qquad \dfrac34 \div \dfrac27$$
 \item Compléter les égalités manquantes en moins de 30 secondes chacune.
 $$4+ \hdots = 2 \times 6 \qquad \qquad\qquad 5- \hdots = -2 \times (-3) 
 \qquad\qquad\qquad 2+3\times \hdots = 4  \qquad \qquad \qquad 2x+5=x-2 + \hdots$$
 \item  Répondre à chaque problème posé en moins d'une minute chacun.
 \begin{itemize}
  \item Dans une classe de seconde, il y a 15 garçons et 20 filles. Les deux-tiers des garçons 
  et le quart des filles sont demi-pensionnaires. Combien y-a-t-il d'élèves de cette classe demi-pensionnaires ?
  \item Dans un triangle rectangle en $C$, le côté $[AB]$ mesure 6 cm, le côté $[BC]$ mesure 5 cm. 
  Donner la valeur exacte de la longueur du côté $[AC]$.
 \end{itemize}
\end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exo}
\hfill \textbf{Somme et différence}\\
Trouver deux nombres entiers dont la somme vaut 281 et dont la diff\'erence vaut 111.

\end{exo}


\begin{exo}
\hfill \textbf{Division euclidienne}\\
La somme de deux entiers naturels $x$ et $y$ est 157. Dans la division euclidienne de $x$ par $y$, 
le quotient vaut 6 et le reste 17. D\'eterminer $x$ et $y$.

\end{exo}


\begin{exo}
 \begin{enumerate}
\item Écrire chacun des nombres suivants sous la forme d'une fraction irréductible : 
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $ \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}$
\item $ \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} }$
\item $ \dfrac{1}{\dfrac{1}{3} }-\dfrac{1}{\dfrac{1}{5} }$
\item $ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+2} } }$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{enumerate}
\item La somme des inverses de deux nombres est-elle égale à l'inverse de la somme de ces deux nombres ? 
\item La différence des inverses de deux nombres est-elle égale à l'inverse de la différence de ces deux nombres ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exo}
 On donne $\sqrt{2}\simeq 1.41$ et $\sqrt{3}\simeq 1.73$. \hfill \textbf{Ordre de grandeur, sans calculatrice}
 \begin{enumerate}
  \item Pouvez-vous donner facilement (et sans calculatrice) un ordre de grandeur des valeurs suivantes ?
  $$A=\sqrt{72}+\sqrt{32}-6\sqrt{8} \qquad \qquad B=\sqrt{\dfrac32} \qquad \qquad C=\dfrac{1}{1+\sqrt{3}}$$
  \item \begin{enumerate}
         \item Ecrire $A$ en fonction de $\sqrt{2}$. En déduire un ordre de grandeur de $A$.
         \item Ecrire $B$ sous la forme d'une fraction de dénominateur $2$. 
         En déduire un ordre de grandeur de $B$.
         \item Montrer que $C=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$. En déduire un ordre de grandeur de $C$.
        \end{enumerate}
% \item Donner alors un ordre de grandeur de $A$, $B$ et $C$.
 \item Déterminer un ordre de grandeur des valeurs suivantes, après avoir changer leur écriture : 
 $$D=\sqrt{2}\times \sqrt{54} \qquad\qquad E=\sqrt{\dfrac43} \qquad\qquad
F=\dfrac{2}{1-\sqrt{3}} \qquad\qquad G=1+ \dfrac{1 }{ 1+ \dfrac{1}{1+\sqrt{3} }  } $$
 \item \textbf{Application} : Un triangle rectangle isocèle a son hypoténuse qui mesure 10 cm.\\
 Déterminer un ordre de grandeur de la longueur des deux autres côtés
 \end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Tracer un segment d'une longueur quelconque, à l'aide uniquement de la règle non graduée et du compas, diviser ce segment en trois segments égaux. Expliquer votre démarche.
\end{exo}

\begin{exo}
 \begin{enumerate}
\item Calculer $(3 \sqrt{5}-4)^2$ et $(2 \sqrt{6}-5)^2$
\item En déduire une autre écriture de $ \sqrt{61-24 \sqrt{5} } $ et $ \sqrt{49-20 \sqrt{6} }$ 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\hfill \textbf{Sans calculatrice}\\
 Le but de cet exercice est de calculer le nombre suivant sans calculatrice :
$$A = 83\,875\,683\,470^2 – 83\,875\,683\,469 \times 83\,875\,683\,471 $$
\begin{enumerate}
\item On pose $a = 83\,875\,683\,470$. Exprimer $A$ en fonction de $a$, puis en simplifiant déterminer $A$. 
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $3$.\\
On pose :
$$ a=\dfrac{p+1}{2}\qquad \text{et}\qquad b=\dfrac{p-1}{2}$$
\begin{enumerate}
\item Donner la liste des $10$ plus petit nombres premiers.
\item Justifier que $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
\item Calculer $a^2-b^2$ en fonction de $p$.
\item En déduire que tout nombre premier $p\geq 3$ peut s'écrire comme la différence de deux carrés d'entiers. \\
Donner cette différence pour $p=29$.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
On souhaite démontrer que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction.

\textbf{Principe (raisonnement par l'absurde)} : On va supposer qu'au contraire on peut écrire $\sqrt{2}$ sous la forme d'une fraction irréductible puis démontrer que cette supposition implique une contradiction.

Supposons donc qu'il existe deux nombres entiers $p$ et $q$ tels que $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on a $2q^2=p^2$.
\item Démontrer qu'il est impossible que $p$ soit impair.
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $p$ est pair alors $q^2$ est pair.
\item En déduire que $q$ est pair.
\item En déduire une contradiction.
\end{enumerate}
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
Démontrer que la somme de deux nombres rationnels est encore un nombre rationnel. Qu'en est-il de la somme de deux nombres irrationnels ?
\end{exo}

\begin{exo}
 Un triangle a des côtés qui mesurent $x + 4$ cm, $x$ cm et $9$ cm.

Le côté de $x + 4$ cm est le côté le plus long.

Déterminer $x$ pour que ce triangle soit un triangle rectangle. 
\end{exo}

\begin{exo}
La somme de cinq nombres entiers consécutifs vaut $1515$. Déterminer ces cinq nombres.
\end{exo}


\begin{exo}
Pour assister à un mach de foot, un groupe de 21 personnes a payé 90 euros de plus qu'un groupe de 12 personnes.

Sachant que toutes les places sont au même prix, quel est le prix, en euros, d'une place 
\end{exo}

\begin{exo}
À ce jour, l'âge du capitaine est le double de celui de Fred. Dans 5 ans, ils auront à eux deux 70 ans. Quel est l'âge du capitaine ? 
\end{exo}


\begin{exo}
 La somme de trois nombres pairs consécutifs est égale à 378.\\
Quels sont ces trois nombres ? 
\end{exo}

\begin{exo}
Dans une classe de 3e , deux septièmes des élèves apprennent l'allemand, la moitié des élèves apprennent l'espagnol, et les six restants apprennent l'italien.

Combien y a t-il d'élèves dans cette classe ? 
\end{exo}

\begin{exo}
 j'ai deux fois l'age que vous aviez lorsque j'avais l'age que vous avez. Lorsque vous aurez mon age, nous aurons à nous deux 63 ans. quel est mon age? 
\end{exo}


\begin{exo}
 Traduire les propositions mathématiques en français puis dire si elles sont vraies ou fausses :\\
 $\forall$ signifie pour tout ou quelque soit ;  $\exists$ signifie il existe.
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in \Z$ alors $x>0$.
\item Soit $x\in \R$. Si $x^2 \in \N$ alors $x\in \N$.
\item Si $x\in \R$  alors $x^2\geq 0$.
\item $\forall x\in \Q$ et $\forall y \in \N$ alors $x+y\in \N$.
\end{enumerate}
 \end{exo}
 
 \begin{exo}
 Traduire les propositions écrites en français en langage mathématiques dans le cas où elles sont vraies, dans le cas contraire corriger ses propositions et les écrire en langage mathématiques:
 
 \begin{enumerate}
 \item Quelque soit le nombre réel $x$ alors il existe un nombre réel $y$ tel que $x+y=0$.
 \item Quelque soit le nombre réel $x$ alors il existe un nombre réel $y$ tel que $x\times y=1$.
 \item Soit $x$ un nombre réel strictement supérieur à $2$ alors $2-x$ est strictement supérieur à $0$.
 \item L'ensemble des nombres premiers $\P$ est contenu dans l'ensemble des nombres rationnels.
 \end{enumerate}
 \end{exo}
 
 \begin{exo}\begin{enumerate}
\item Supposons que $x\in [1;5]$ et $y\in[2;7]$. Encadrer $xy$, $x+y$, $x-y$ et $\dfrac{x}{y}$.
\item Dans chacun des cas suivants donner l'intervalle dans lequel se situe le nombre $x$ :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $2\leq 2x+3\leq 7$
\item $-3x+1\leq 7$
\item $-4x+\dfrac{1}{2}>\dfrac{7}{3}$
\item $x(x+2)<x^2$
\item $-1\leq -x+1<8$
\item $x^2>4$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{enumerate}
\end{exo}



\begin{tikzpicture}[every node/.style={inner sep=0pt}]   
\node[text width= \linewidth-2cm](Text){%
~ 
\bigskip\\
{\LARGE QCM}  \hfill {\large  Lycée Jean Durand} \\
~ \bigskip \\
 \centerline{\LARGE \normalfont Les nombres réels -- QCM }
} ;
\node[shift={(-1cm,0.2cm)},anchor=north west](CNW)  at (Text.north west)
                 {\pgfornament[width=1cm]{61}};
\node[shift={(1cm,0.2cm)},anchor=north east](CNE)   at (Text.north east)
                 {\pgfornament[width=1cm,symmetry=v]{61}}; 
\node[shift={(-1cm,-0.5cm)},anchor=south west](CSW) at (Text.south west)
                 {\pgfornament[width=1cm,symmetry=h]{61}}; 
\node[shift={(1cm,-0.5cm)},anchor=south east](CSE)  at (Text.south east)   
                 {\pgfornament[width=1cm,symmetry=c]{61}}; 
   \node[shift={(0cm,0cm)}](CS) at (Text.south)   
                 {\pgfornament[width=4.5cm,ydelta=+3cm]{75}};  
\pgfornamenthline{CNW}{CNE}{north}{89}
\pgfornamentvline{CNW}{CSW}{west}{87}
\pgfornamentvline{CNE}{CSE}{east}{87} 
\end{tikzpicture}

\normalfont


\begin{enumerate}
\item Parmi les nombres suivants, lequel est irrationnel ?
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\left(\sqrt{18}+\sqrt{8}\right)^2$
\item $\left(\sqrt{18}+\sqrt{5}\right)^2$
\item $\sqrt{5^2-3^2}$
\item $\dfrac{1}{3}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Parmi les fractions suivantes, laquelle est un nombre décimal ?
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $ \dfrac{17}{99}$
\item $ \dfrac{49}{99}$
\item $ \dfrac{17}{98}$
\item $ \dfrac{49}{98}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Lequel de ces nombres est rationnel et non décimal ?
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $6\times 10^{-4}$.
\item $ \sqrt{0,49}$
\item $ 1,732$
\item $ \dfrac{1}{3\times 10^2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Lequel de ces nombres n'est pas entier ?
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\sqrt{52}}{\sqrt{13}}$
\item $\dfrac{\sqrt{5^2-3^2}}{4}$
\item $\dfrac{\left(\sqrt{2}\right)^4}{4}$
\item $\left(1+\sqrt{2}\right)^2-3$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Le nombre $\left(\sqrt{18}-\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{18}+\sqrt{11}\right)$ est :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item premier.
\item négatif.
\item irrationnel.
\item égal à $2\sqrt{18}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}

~\bigskip
~\medskip
 ~\begin{center}
 \begin{center}
\rput(0,0pt){\psvectorian[scale=0.5]{60}}
\end{center}\fontfamily{pzc} \selectfont
\rput(0pt,42pt){\large \emph{Fin}}
\fontfamily{ptm} \selectfont
\end{center}

\end{document} 