\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}
\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{Racines Carrés et Valeurs Absolues}	
\newcommand{\Cl}{1S}	
\newcommand{\Annee}{2014-2015}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}



\debutExoDav


\section{Racines Carrées, Variations : applications aux suites}



\Exoi{On a représenté graphiquement dans un repère les fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$ définies par :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $f(x)=\sqrt{x+2}$
\item $g(x)=\sqrt{2-x}$
\item $h(x)=\sqrt{x}-2$
\item $k(x)=\sqrt{x^2+1}$
\end{itemize}
\end{multicols}
Associer à chacune de ces fonctions la représentation graphique qui lui correspond.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
\newrgbcolor{qqcccc}{0 0.8 0.8}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-2.52)(8.5,6.3)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-2.52)(8.5,6.3)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-1.999999872000013}{8.5}{(x+2)^0.5}
\psplot[linecolor=zzqqqq,plotpoints=200]{3.1527648910790768E-15}{8.5}{x^0.5-2}
\psplot[linecolor=qqzzqq,plotpoints=200]{-4.3}{1.999999999999993}{(2-x)^0.5}
\psplot[linecolor=qqcccc,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{(x^2+1)^0.5}
\rput[tl](-3.24,4.04){$\qqcccc{\mathscr C_1}$}
\rput[tl](-4,2.24){$\qqzzqq{\mathscr C_2}$}
\rput[tl](5.4,2.64){$\qqqqcc{\mathscr C_3}$}
\rput[tl](2,-0.76){$\zzqqqq{\mathscr C_4}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}

\Exoi{Déterminer l'ensemble de définition  pour la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}$
\item $f(x)=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}$
\item $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x+5}}$
\item $f(x)=\dfrac{\sqrt{2-x}}{x}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exoi{Etudier les variations des fonctions $f$ définies par :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{5x-1}$
\item $f(x)=\sqrt{1-5x}$
\item $f(x)=\sqrt{7x-9}+2$
\item $f(x)=\sqrt{9-6x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\pagebreak
\Exoi{On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\sqrt{4x+5}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer son ensemble de définition $\mathscr D_f$.
\item Déterminer les variations de la fonction $f$ sur $\mathscr D_f$
\item Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=f(n)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les premiers termes de la suite $u$.
\item Démontrer que la suite $u$ est croissante.
\end{enumerate}
\item Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_{n+1}=f(v_n)$ et $v_0=-1$
\begin{enumerate}
\item Placer sur l'axe des abscisses les premiers de la suite $v$ en s'aidant de la représentation graphique de la fonction $f$ et de la droite d'équation $y=x$ donné ci-dessous puis conjecturer le sens de variation et la limite de $v$.
\item Démontrer que si $v_n<v_{n+1}$ alors $v_{n+1}<v_{n+2}$.
\item Vérifier que $v_0<v_1$ ; en déduire le sens de variation de  $v$.
\end{enumerate}
\item Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_{n+1}=f(w_n)$ et $w_0=10$
\begin{enumerate}
\item Placer sur l'axe des abscisses les premiers de la suite $w$ en s'aidant de la représentation graphique de la fonction $f$ et de la droite d'équation $y=x$ donné ci-dessous puis conjecturer le sens de variation et la limite de  $w$.
\item Démontrer que si $w_n>w_{n+1}$ alors $w_{n+1}>w_{n+2}$.
\item Vérifier que $w_0>w_1$ ; en déduire le sens de variation de la suite $v$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.59999)(8.5,8.59999)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{8}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.5,-2.59999)(8.5,8.59999)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1,0)(-1,1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(-1,0)(-1,1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1,1)(0,1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(-1,1)(0,1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,1)(1,1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,1)(1,1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,1)(1,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,1)(1,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F}
\uput[0](3,6.5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](-1,0){\small $v_0$}
\end{pspicture*}


%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-2.59999)(15.5,10.6)
\def\xmin{-2} \def\xmax{15} \def\ymin{-2} \def\ymax{10}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.5,-2.59999)(15.5,10.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(10,0)(10,6.7082)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(10,0)(10,6.7082)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(10,6.7082)(0,6.7082)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(10,6.7082)(0,6.7082)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,6.7082)(6.7082,6.7082)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6.7082)(6.7082,6.7082)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.7082,6.7082)(6.7082,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.7082,6.7082)(6.7082,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{10}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{10}{\F}
\uput[0](3,6.5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](10,0){\small $w_0$}
%\uput[180](0,6.7082){\small $u_1$}
%\uput[-90](6.7082,0){\small $u_1$}
\end{pspicture*}


\end{center}
\end{multicols}

\Exoi{Dans un repère orthonormé $(O, I, J)$, on a tracé la courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction $g$ définie sur $[0;1]$ par :
$$ g(x)=x-1+2\sqrt{1-x}$$
ainsi que la droite $d$ qui représente graphiquement la fonction affine $f$ définie par $f(x)=x$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $I$ et $J$ sont deux points de $\mathscr C$.
\item La droite $d$ coupe $\mathscr C$ en $A$. Calculer les coordonnées du point $A$.
\item La courbe $\mathscr C$ est-elle un quart de cercle de centre $O$ ?
\end{enumerate}}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=5.0cm,yunit=5.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.24,-0.35)(1.74,1.32)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.24,-0.35)(1.74,1.32)
\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{0.0}{1.0}{x-1+2*(1-x)^0.5}
\psplot[linecolor=zzqqqq]{-0.24}{1.74}{(-0--1*x)/1}
\rput[tl](0.3,0.34){$\qqqqcc{\mathscr C_f : y=x-1+2\sqrt{1-x}}$}
\rput[tl](1.31,1.26){$\zzqqqq{d:y=x}$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1,0)
\rput[bl](1.01,0.01){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,1)
\rput[bl](0.01,1.01){$J$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,0)
\rput[bl](-0.1,-0.05){$O$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0.75,0.75)
\rput[bl](0.8,0.74){$A$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Exoi{On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$x$ et $y$ sont des nombres réels.\\
}
{
Entrer $x$ \\
  \IfThenElse{ $x>1$ }
{$y:=\dfrac{2}{\sqrt{x-1}}$}
{Afficher \og impossible \fg.}
Afficher $y$
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Tester cet algorithme pour les valeurs suivantes de $x$ : $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$ et $5$.
\item Expliquer les réponses obtenues pour les valeurs de $-1$, $0$ et $1$ de $x$.
\item Déterminer l'expression algébrique, donnant $y$ en fonction de $x$, définie par cet algorithme, ainsi que l'ensemble $\mathscr D$ des réels $x$ pour lesquels elle est définie.
\item Démontrer que la fonction définie sur $\mathscr D$ par $x\longmapsto y$ est décroissante.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\\
\partieBac{Une fonction auxiliaire}
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^2+4x+5$
\begin{enumerate}
\item Montrer que :
$$ \forall x\in\R, \quad x^2+4x+5=(x+2)^2+1$$
\item En déduire que :
$$ \forall x\in\R, \quad g(x)\geq 0$$
\item Dresser le tableau de variation de $g$
\end{enumerate}
\partieBac{Etude d'une fonction composée}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $ f(x)=\sqrt{x^2+4x+5}$
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $f$ est définie sur $\R$.
\item Etablir que la fonction $f$ admet un minimum à préciser.
\end{enumerate}
}

\section{Valeurs Absolues : Résolution d'équation et d'inéquation}

\Exoi{Résoudre dans $I$ les équations et inéquations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $|x-2|=3$ avec $I=\R$
\item $|x+5|=|3-x|$ avec $I=\R$
\item $\left|\cos x-\dfrac{1}{2}\right|\leq 1$ avec $I=]-\pi;\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Un chien errant a été signalé sur une autoroute à moins de $3$ km de la borne kilométrique $50$, mais à plus de $5$ km de la borne $54$. On appelle $x$ le réel qui repère la position du chien sur l'autoroute.
\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé en utilisant des valeurs absolues.
\item Entre quelles bornes kilométriques de l'autoroute ce chien peut-il se trouver ?
\end{enumerate}}

\section{Valeurs Absolues : Applications aux limites de suites}

\Exoi{
On considère les suites $u$, $v$ et $w$ définies par  :
$$u_n=1+\dfrac{2}{n}\qquad\text{;}\qquad  v_n=\dfrac{7}{n}-3\qquad \text{et}\qquad w_n=\dfrac{5}{n+1} $$
\begin{enumerate}
\item Donner, sans justification :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n\qquad\text{;}\qquad \lim\limits_{n\to +\infty}v_n\qquad \text{et}\qquad \lim\limits_{n\to +\infty} w_n $$
\item Soit $\epsilon$ un nombre réel strictement positif, on considère les équations $(E)$, $(F)$ et $(G)$ suivantes :
$$ (E) :|u_n-1|\leq \epsilon \qquad\text{;}\qquad (F) : |v_n+3|\leq \epsilon \qquad \text{et}\qquad (G) : |w_n|\leq \epsilon$$
\begin{enumerate}
\item Résoudre les équations $(E)$, $(F)$ et $(G)$ pour $\epsilon=0,1$ et $\epsilon=10^{-3}$
\item On considère les deux algorithmes suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$u\in \R$ et $n\in \N^*$.\\
}
{
$u:=3$ \\
$n:=1$\\
  \While{ $|u-1|>\epsilon$ }
{$n:=n+1$
\\
$u:=1+\dfrac{2}{n}$}
Afficher $n$
}
}
\end{center}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$v\in \R$ et $n\in \N^*$.\\
}
{
$uv=4$ \\
$n:=1$\\
  \While{ $|v+3|>\epsilon$ }
{$n:=n+1$
\\
$v:=\dfrac{7}{n}-3$}
Afficher $n$
}
}
\end{center}
\end{multicols}
Qu'affiche ces deux algorithmes lorsque l'utilisateur entre $\epsilon=0,1$ puis lorsqu'il entre $\epsilon=10^{-3}$ ?
\item Ecrire un algorithme permettant d'afficher le plus petit entier naturel $n$ tel que $ |w_n|\leq \epsilon$
\item Résoudre l'équation $(E)$. Qu'a-t-on démontré ?
\item De la même manière résoudre les équations $(F)$ et $(G)$ et préciser les résultats ainsi démontrés
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\pagebreak

\section{Pour aller plus loin}





%\Exoi{\begin{enumerate}
%\item 
%Montrer que la somme de deux fonctions croissantes (respectivement décroissantes) sur $I$ est une fonction croissante (respectivement décroissante) sur $I$.
%\item  Qu'en est-il du produit de deux fonctions croissantes ? de deux fonctions décroissantes ?
%\end{enumerate}
%}



%\Exoi{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
%$$ f(x)=\sqrt{x^2-6x+10}$$
%\begin{enumerate}
%\item Ecrire le trinôme sous forme canonique.
%\item Lorsque $h$ parcourt $\R$, quelle propriété géométrique les points  de coordonnées $\left(3-h;f(3-h)\right)$ et $\left(3+h;f(3+h)\right)$ vérifient-ils ?
%\item Qu'en déduit-on sur la représentation graphique de la fonction $f$ ?
%\item Montrer que la fonction $f$ est décroissante, puis croissante sur des intervalles que l'on précisera.
%\item $f$ admet-elle un minimum ?
%\item Soit $M\in \R$, $M\geq 1$.
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que l'équation $f(x)=M$ admet une ou deux solutions.
%\item Interpréter en langage courant la proposition :
%$$ \forall M\geq 1, \exists x\in\R, f(x)\geq M $$
%puis la démontrer.
%\item Quelle nouvelle information, relative au tableau de variations de la fonction $f$, cette proposition apporte-t-elle ?
%\item Montrer que :
%$$ \forall x\in\R,\quad f(x)-(x-3)=\dfrac{1}{f(x)+x-3}$$
%\item En déduire que l'affirmation \og le nombre (positif) $"f(x)-(x-3)"$ peut être rendu aussi petit que l'on veut à condition que $x$ positif soit suffisamment grand \fg{} est vraie.
%\item Justifier alors les différents éléments graphiques de la représentation graphique ci-dessous sachant que la courbe est tracée en bleue :
%\begin{center}
%\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
%\newrgbcolor{ttffqq}{0.2 1 0}
%\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-4.3,-1.52)(8.5,6.3)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.3,-1.52)(8.5,6.3)
%\psplot[linecolor=qqqqcc,plotpoints=200]{-4.3}{8.5}{(x^2-6*x+10)^0.5}
%\psplot[linecolor=ttffqq]{-4.3}{8.5}{(-3--1*x)/1}
%\psplot[linecolor=ttffqq]{-4.3}{8.5}{(--3-1*x)/1}
%\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=ccqqqq](3,-1.52)(3,6.3)
%\rput[tl](4.46,2.86){$\qqqqcc{\mathscr C_f : y:\sqrt{x^2-6x+10}}$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}}

\Exoi{Soit la fonction $R$ définie sur $\R$ par :
$$ R(x)=|36x^2-810x+2753|$$
\begin{enumerate}
\item Quel est le plus grand entier inférieur ou égal à $\sqrt{2753}$ ? Soit $N$ cet entier naturel que l'on nomme \textbf{partie entière de $\sqrt{2753}$} et que l'on note $E(2753)$.
\item Soit $d\in\N^*$ le plus petit des diviseurs de $R(0)=2753$. Voici une liste d'entier : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$.
\begin{enumerate}
\item Quelle propriété arithmétique ces entiers vérifient-ils ?
\item Vérifier qu'aucun de ces nombres ne divise $2753$.
\item En déduire que $d\geq 53$.
\item A l'aide d'un raisonnement par l'absurde, démontrer qu'il ne peut exister d'entier $d$, strictement supérieur à $1$ et strictement inférieur à $2753$ qui soit un diviseur de $2753$.
\item Quelle conclusion peut-on faire au sujet de $2753$ ?
\end{enumerate}
\item Etablir un raisonnement analogue pour $R(1)$.
\\
Conclure sur la nature de ce nombre.
\item Ecrire sur une calculatrice ou sur algobox un algorithme qui :
\begin{itemize}
\item demande la saisie d'un entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ ;
\item teste, pour $i$ allant de $2$ à $E(\sqrt{n})$ de $1$ en $1$, si $i$ divise $n$ et renvoie \textit{vraie} si l'entier $n$ est premier et \textit{faux} sinon.
\end{itemize}
\item Coder une calculatrice ou algobox un algorithme qui :
\begin{itemize}
\item demande la saisie d'un entier naturel $m$
\item renvoie, pour $j$ allant de $0$ à $m$ de $1$ en $1$, la réponse du test de primalité (établi à la question précédente) de l'entier $R(j)$.
\\
En déduire combien d'entiers premiers successifs, la fonction $R$ génère lorsque $x$ vaut $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $\dots$
\end{itemize}
\end{enumerate}}

\Cadre[Histoire des sciences]{
\begin{itemize}
\item En $1772$, Leonhard Euler, proposa la formule :
$$ E(n)=n^2+n+41$$ qui donne des nombres premiers pour $n$ allant de $0$ à $39$.
\item En 1798, le mathématicien français Adrien-Marie Legendre proposa le polynôme du second degré suivant :
$$ L(n)=2n^2+29$$ qui produit des nombres premiers pour $n$ allant de $0$ à $ 28$.
\item Aujourd'hui, le record est détenu par Russel Ruby qui proposa en $1987$ l'expression :
$$ R(n)=36n^2-810n+2753$$
L'expression $\left|R(n)\right|$ fournit le plus grand nombre consécutifs de nombres premiers.
\end{itemize}}

\Exoi{\hfill(Olympiades)\\On définit pour chaque couple de réel $(a;b)$ la fonction $f$ par :
$$f(x)=a-\sqrt{x+b}$$
Deux nombres réels $u$ et $v$ sont dits \textit{échangeables} s'il existe au moins un couple de réels $(a;b)$ tel que la fonction $f$ vérifie à la fois $f(u)=v$ et $f(v)=u$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $2$ et $3$ sont échangeables.
\item Peut-on dire autant de $4$ et $7$ ?
\item A quelle condition deux \textbf{entiers} $u$ et $v$ sont-ils échangeables ?
\end{enumerate}}


\pagebreak

%\Cj{Les quantificateurs $\exists$ et $\forall$.}
%
%\vspace{2mm}
%
%Soit $\mathscr P(x)$ une proposition dépendant d'un élément $x$ d'un ensemble $E$. La valeur de vérité de $\mathscr P(x)$ peut dépendre de $x$. Elle peut être vraie pour au moins un $x$, pour un et un seul $x$, ou encore pour tout $x\dots$
%
%\begin{defi}[Le quantificateur existentiel $\exists$]
%\begin{itemize}
%\item \underline{\textbf{Définition}} : \\
%Le symbole $\exists$ est appelé le quantificateur existentiel et signifie \og il existe au moins un \fg{}.
%\item \underline{\textbf{Exemple}} : \\
%\og Il existe un nombre réel $x$ tel que $x^2-4x+3=0$ \fg{} se traduit en langage formel par : $ \exists x\in\R, x^2-4x+3=0$
%\item \underline{\textbf{Remarque}} :\\
%La proposition est vraie si $x=1$, en effet $1^2-4+3=0$. Cependant elle est encore vraie pour $x=3$. Le quantificateur $\exists$ n'implique pas l'unicité. \\
%En revanche la proposition $x-3=0$ est vraie seulement pour $x=3$, on note alors : $ \exists ! x, x-3=0$
%\item \underline{\textbf{Démontrer une existence}} :
%\\
%Soit $\mathscr P(x)$ une propriété dépendant d'un nombre $x$. Pour montrer qu'il existe un réel $x$ tel que $\mathscr P(x)$ est vraie, il suffit de trouver un exemple de valeur de $x$ qui vérifie la propriété.
%\end{itemize}
%\end{defi}
%
%\begin{defi}[Le quantificateur universel $\forall$]
%\begin{itemize}
%\item \underline{\textbf{Définition}} : \\
%Le symbole $\forall$ est appelé le quantificateur universel et signifie \og pour tout \fg{}.
%\item \underline{\textbf{Exemple}} : \\
%\og Pour tout nombre réel $x\geq 3$, on a $x^2-4x+3\geq 0$ \fg{} se traduit en langage formel par : $ \forall x\geq 3, x^2-4x+3\geq 0$
%\item \underline{\textbf{Remarque}} :\\
%La proposition traduit la propriété : si $x\geq 3$ alors $x^2-4x+3\geq 0$. On peut avoir l'existence d'un réel $x<3$ tel que $x^2-4x+3\geq 0$. Il ne s'agit pas d'un si et seulement si.
%\item \underline{\textbf{Démontrer \og pour tout $\dots$ \fg{}}} :
%\\
%Soit $\mathscr P(x)$ une propriété dépendant d'un nombre $x$. Montrer que pour tout nombre réel $x$, $\mathscr P(x)$ est vraie nécessite un raisonnement qui établira qu'en remplaçant $x$ par n'importe quel nombre réel la propriété $\mathscr P$ sera toujours vraie.
%\end{itemize}
%\end{defi}
%
%
%\Exoi{\hfill $ \forall$ ou $\exists$ ?\\
%L'égalité $x^2+2x-3=(x+1)^2-4$ est-elle vraie pour un réel $x$ au moins ou pour tout réel $x$ ?}
%
%\Exoi{\begin{enumerate}
%\item Traduire en langage courant les propositions mathématiques suivantes :
%\begin{multicols}{2}
%\begin{enumerate}
%\item $\forall x\in \R, x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
%\item $\exists x \in \R, x\neq 2, \dfrac{3}{x-2}=5$
%\item $\forall \epsilon>0, \exists x>0, \dfrac{1}{x}<\epsilon$
%\item $ \exists M\in \R, \forall x\in [3;+\infty[, -2x^2+6x+1\geq M$
%\end{enumerate}
%\end{multicols} 
%\item Ajouter devant chaque proposition, un quantificateur possible en justifiant.
%\begin{multicols}{2}
%\begin{enumerate}
%\item $\dots,|x-3|=2$
%\item $\dots,|x-3|>2$
%\item $\dots,\dfrac{1-6x}{2x+5}=-3$
%\item $\dots,4\sqrt{2x+7}>x+11$
%\end{enumerate}
%\end{multicols} 
%\end{enumerate}}

\section{Extrait de devoir}
\Exoi{\hfill (8 points)\\
Maurice est un homme très jaloux. Amoureux de Gertrude, il ne peut supporter que celle-ci se retrouve trop proche d'Alexandre et de Louis, enfin tout du moins dans des conditions très spéciales. Maurice, Gertrude, Alexandre et Louis vivent dans un monde à une dimension, que nous représentons de la manière suivante :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-10.57,-0.74)(7.94,0.63)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-10.57,-0.74)(7.94,0.63)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=false,labels=x,Dx=1,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-10.57,-1.49)(7.94,1.25)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-10,0)
\rput[bl](-9.88,0.2){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](1.14,0.2){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,0)
\rput[bl](7.15,0.2){\blue{$L$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
Ci-dessus $A$ représente la position d'Alexandre, $M$ celle de Maurice et $L$ celle de Louis. Les trois hommes, trop vieux, ne sont plus en capacité de se déplacer.\\
Plus en forme Gertrude, dont la position est donnée par le point $G$ d'abscisse $x$, est encore capable de se déplacer. \\
Gertrude, amoureuse cachée de Maurice, a constaté que ce dernier ne souffrait pas du tout dès que les deux conditions suivantes ont lieu en même temps (et qu'il souffrait sinon) : 
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item[\textit{Condition 1 :}] $GL\geq GM$.
\item[\textit{Condition 2 :}] $GA\geq 2GM$.
\end{itemize}
\end{multicols}
Le but du problème est de déterminer les positions où peut se trouver Gertrude sans que Maurice ne souffre.\\
\partieBac{Modélisation du problème}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Si Gertrude se trouve en $T$ le point d'abscisse $x=-3$, Maurice souffre-t-il ?
\item Si Gertrude se trouve en $T$ le point d'abscisse $x=3$, Maurice souffre-t-il ?
\end{enumerate}
\item Exprimer les distances $GL$, $GM$ et $GA$ en fonction de $x$ en utilisant des valeurs absolues.
\end{enumerate}
\partieBac{Etude de fonctions défnies par des valeurs absolues}
On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=|7-x|\qquad \text{;}\qquad g(x)=|x-1|\qquad \text{et}\qquad h(x)=|x+10|$$
\begin{enumerate}
\item Ecrire $f(x)$ sans utiliser les valeurs absolues, en distinguant les cas $x\geq 7$ et $x\leq 7$.
\item Ecrire $g(x)$ sans utiliser les valeurs absolues, en distinguant deux cas.
\item Ecrire $h(x)$ sans utiliser les valeurs absolues.
\item Représenter graphiquement dans un même repère les courbes des fonctions $f$ et $g$, puis résoudre (graphiquement) l'inéquation $f(x)\geq g(x)$.
\item Représenter graphiquement dans un même repère les courbes des fonctions $h$ et $k$ où $k(x)=2|x-1|$, puis résoudre (graphiquement) l'inéquation $h(x)\geq k(x)$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\partieBac{Résolution du problème de Gertrude par calcul}
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation : $|7-x| \geq |x - 1|$.\\
\begin{footnotesize}
\textit{Indication} : On pourra distinguer trois cas.
\end{footnotesize}
\item Résoudre l'inéquation : $|x+10|\geq 2|x-1|$\\
\begin{footnotesize}
\textit{Indication} : On pourra distinguer trois cas.
\end{footnotesize}
\item Conclure.
\end{enumerate}
}


\end{document}

