\documentclass[4apaper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Vecteurs et droites}
\newcommand{\Cl}{1S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macrodwicky.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{6}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\ddwicky{brode.eps}{Peter Broderick}{http://www.itstartshear.com}  					% Image + titre + Auteur
{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann}		% Citation + Auteur
{Peter Broderick est un jeune américain de 25 ans tout juste et pourtant, il a déjà une longue discographie derrière lui. Et ce n'est même pas à cause du fait qu'il ait commencé tôt. Son premier album solo ne date seulement que de 2007. Mais depuis, tous les ans, il en sort 3 ou 4 - même s'il considère que celui-ci est son deuxième véritable. La musique de Peter Broderick s'inscrit dans la lignée des Sufjan Stevens et Owen Pallett et comme eux il participe à élaborer un langage pop moderne.
} 						% Présentation auteur
{0.5}		% Ratio portrait
{0.6}		% Ratio Image
{
\item Colinéarité de deux vecteurs
\item Décomposer un vecteur dans une base.
\item Vecteurs directeurs d'une droite.
}

\TITRE{qijiushao.eps}{0.5} 						% Image 1ere page + ratio
%\begin{abstract}
 

\begin{Intro}{Au fil du temps}{
On désigne un vecteur par une flèche, plus ou moins longue, qui point dans une direction. Elle n'est ancrée à rien, même
si elle peut se fixer sur un point précis d'un objet physique ...\\
Telle est l'essence étrange des vecteurs, à mi-chemin entre une droite bien concrète et une représentation abstraite. 
Représentation de quoi ? 
D'un mouvement ou d'une force physique, comme la gravité qui nous rive au sol ...\\
Le mot vecteur vient du latin ``vector'', d\'eriv\'e du verbe ``vehere'', qui signifie transporter. 
Un vector pourrait donc désigner un v\'ehicule, par exemple un chariot, son point de d\'epart n'ayant pas d'importance sur 
sa nature.\\
De fait, c'est le caractère abstrait des vecteurs qui explique qu'ils aient mis des siècles pour passer de la notion
intuitive à un concept mathématique et physique formel, au XIX$^e$ siècle.\\
En particulier, c'est la nature peu maniable de la droite géométrique, telle que l'avait définie le grec Euclide au III$^e$ avant JC,
qui a progressivement conduit à la formalisation des vecteurs. En effet, Euclide décrit dans son ouvrage  L\textit{es Elements} 
 la droite comme \og une longueur sans largeur \fg, dont \og les limites sont des points \fg et \og qui est placée de manière égale
par rapport aux points qui sont sur elle \fg .
Si ces définitions conduisent à l'idée de distance entre points, cela laisse peut de place aux opérations mathématiques... 
Quelles manipulations sont permises ??\\
Mais l'oeuvre d'Euclide traverse les siècles et progressivement les manipulations de figures sont associées à des équations algébriques
qui libèrent la droite de ses contraintes géométriques, notamment au XI$^e$ sicèle, grâce au le poète, philosophe et mathématicien
perse Omar Khayyâm. La symbiose entre la géométrie et l'algèbre se fera au XVII$^e$ siècle, grâce à René Descartes et son 
invention des coordonnées (dites cartésiennes).\\
Pourtant c'est la physique, entre $1604$ et $1687$, qui rendra les vecteurs indispensables, car ils incarneront les notions
de vitesse, d'accélération et de force s'exerçant sur un solide. C'est Galilée qui lance ce processus, par la découverte des 
premières lois du mouvement d'un solide. \\
Chez Galilée, les notions de vitesse et d'accélération restent informelles, tout comme celle de force qui attire les corps 
vers le sol, mais elles conduiront l'anglais Isaac Newton, en 1687, à leur donner un sens clair via le concept de vecteur.\\
Newton instaure également les règles d'addition entre forces, entre accélérations, entre vitesses ... qui sont celles des vecteurs tels qu'on 
les connait aujourd'hui.\\
Pour finir, disons que les savants du XIX$^e$ incluront les vecteurs dans un cadre plus large, celui des tenseurs, dont Einstein
fera grand usage dans sa théorie de la relativité, qui généralise la théorie de Newton.
 }
\end{Intro}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
\newpage

\section{Vecteurs}
\subsection{Rappels}
%\Exoi{Dans Géogébra, on a créé la figure suivante.
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
%\begin{pspicture*}(-14,-7)(13,7)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-14,-7)(13,7)
%\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-14,-7)(13,7)
%\psline{->}(2,2)(10,6)
%\psline{->}(8,-6)(12,-4)
%\psline{->}(1,0)(-3,-2)
%\psline{->}(-4,2)(-13,-2.5)
%\psline{->}(-6,4)(-2,6)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,2)
%\rput[bl](1.6,2.2){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](10,6)
%\rput[bl](10.07,6.11){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8,-6)
%\rput[bl](7.78,-5.7){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](12,-4)
%\rput[bl](12.07,-3.8){\blue{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0)
%\rput[bl](1.09,0.12){\blue{$E$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3,-2)
%\rput[bl](-3.19,-1.8){\blue{$F$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4,2)
%\rput[bl](-3.92,2.12){\blue{$G$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-13,-2.5)
%\rput[bl](-12.85,-3){\blue{$H$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-6,4)
%\rput[bl](-5.85,3.5){\blue{$I$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,6)
%\rput[bl](-1.85,5.5){\blue{$J$}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
% \item \textbf{Caractérisation de vecteurs}
%\begin{enumerate}
%        \item Que possèdent en commun les vecteurs créés ?
% \item Que possèdent en plus les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{GH}$ ?\\
%  Et les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{CD}$ ?\\
%  Que dire des vecteurs $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{IJ}$ ?\\
% Quel quadrilatère est alors un parallélogramme ?
%\item Ecrire les égalités vectorielles qui existent entre $\overrightarrow{AB}$ et chacun des autres vecteurs.
%       \end{enumerate}
%\item \textbf{Coordonnées de vecteurs}
%\begin{enumerate}
% \item Retrouver pour chaque vecteur à partir des coordonnées de ses points extrêmes ?
%\item Ecrire sous la forme de système les égalités vectorielles de la question 1.d.
%\end{enumerate}
%\item \textbf{Application}\\
%Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ? Si oui, préciser le coefficient de colinéarité :
%\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{2}
%  \item $ \vec u \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \vec v \left(\begin{array}{c} 3\\12 \end{array}\right) $
% \item $ \vec w \left(\begin{array}{c} 5\\3 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \vec z \left(\begin{array}{c} -6 \\-4 \end{array}\right) $
% \item $ \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} -12 \\ 4 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} 135\\-45 \end{array}\right) $
% \item $ \overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{z} \left(\begin{array}{c} -2 \\ \dfrac43 \end{array}\right) $
%\end{multicols}
%\end{enumerate}
%\item \textbf{Condition nécessaire et suffisante}\\
%On veut s'affranchir de la recherche du coefficient de colinéarité $k$ et trouver un test numérique simple pour 
%prouver la colinéarité de deux vecteurs.\\
%Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls, dont on connait les coordonnées respectives 
%$\left(\begin{array}{c} x \\y \end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c} x'\\ y' \end{array}\right)$.
%\begin{enumerate}
% \item \underline{Condition nécessaire} : on suppose que $\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires.\\
%Traduire ce que cela signifie à l'aide des coordonnées de ces vecteurs.\\
%Montrer qu'en combinant les égalités obtenues, on obtient :\\
%Si $\vec u $ et $\vec v $  sont colinéaires, alors $xy'-yx'=0$.
%\item \underline{Condition suffisante} : on suppose que l'on a l'égalité $xy'-yx'=0$.\\
%Comme $\vec u$ est non nul, l'une de ses coordonnées est non nulle, par exemple son abscisse $x$. 
%Posons alors $k=\dfrac{x'}{x}$ (si $x$ est nul, on prendra alors $k=\dfrac{y'}{y}$ et la méthode restera la même).\\
%Exprimer alors $y'$ en fonction de $y$.\\
%Que peut-on alors dire sur les coordonnées des deux vecteurs ? Conclure.
%\item \textit{Cas particulier} : Que peut-on dire du vecteur $\vec 0$ ? Vérifier que la condition fonctionne aussi avec ce vecteur.
%\end{enumerate}
%\item \textbf{Application}\\
%Dire si les vecteurs suivants sont colinéaires, en utilisant la condition nécessaire et suffisante démontrée ci-dessus.
%\begin{enumerate}
% \begin{multicols}{2}
% \item $ \overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} 4\\-9 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{w} \left(\begin{array}{c} 3.5 \\ -7.8 \end{array}\right) $
% \item $ \overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c}6.4 \\3.1 \end{array}\right) \quad \text{ et } \quad \overrightarrow{z} \left(\begin{array}{c} 22.4 \\ 10.85 \end{array}\right) $
% \item $ \overrightarrow{p} \left(\begin{array}{c}\dfrac12 \\ -6 \end{array}\right)\quad \text{ et } \quad \overrightarrow{n} \left(\begin{array}{c} -\dfrac53 \\ 20 \end{array}\right) $ 
%\end{multicols}
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}


\subsubsection{Définition}
\begin{defi}[Translation de vecteur]
Le \textbf{vecteur} $\overrightarrow{AB}$ symbolise le déplacement rectiligne de $A$ vers $B$. On l'associe à la
translation qui transforme $A$ en $B$, noté $t_{\overrightarrow{AB}}$. 
\end{defi}


\Expl{On a représenté deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ et un rectangle $EFGH$ :
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.52,-0.68)(11.66,3.74)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.52,-0.68)(11.66,3.74)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.52,-0.68)(11.66,3.74)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](5,2)(7,2)(7,1)(5,1)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](8,3)(10,3)(10,2)(8,2)
\psline{->}(1,2)(4,3)
\psline{->}(0,0)(3,1)
\psline[linecolor=zzttqq](5,2)(7,2)
\psline[linecolor=zzttqq](7,2)(7,1)
\psline[linecolor=zzttqq](7,1)(5,1)
\psline[linecolor=zzttqq](5,1)(5,2)
\psline[linecolor=zzttqq](8,3)(10,3)
\psline[linecolor=zzttqq](10,3)(10,2)
\psline[linecolor=zzttqq](10,2)(8,2)
\psline[linecolor=zzttqq](8,2)(8,3)
\psline{->}(5,2)(8,3)
\psline{->}(7,2)(10,3)
\psline{->}(5,1)(8,2)
\psline{->}(7,1)(10,2)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1,2)
\rput[bl](1.08,2.04){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4,3)
\rput[bl](4.08,3.04){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.08,0.04){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,1)
\rput[bl](3.08,1.04){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5,2)
\rput[bl](5.08,2.04){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7,2)
\rput[bl](7.08,2.04){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](7,1)
\rput[bl](7.08,1.04){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](5,1)
\rput[bl](5.08,1.04){$H$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8,3)
\rput[bl](8.08,3.04){$E'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](10,3)
\rput[bl](10.08,3.04){$F'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](10,2)
\rput[bl](10.08,2.04){$G'$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8,2)
\rput[bl](8.08,2.04){$H'$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
L'image du rectangle $EFGH$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ donne le rectangle $E'F'G'H'$. Le rectangle $E'F'G'H'$ est aussi l'image de $EFGH$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CD}$. Par conséquent $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ définissent la même translation, on dit que ce sont deux représentants d'un même vecteur et on note :
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$}

\begin{defi}
Il existe un déplacement un peu particulier qui consiste à laisser tous les objets du plan à la même place. On l'appelle l'identité et on l'associe à un vecteur noté $\overrightarrow{0}$ et appelé vecteur nul.
\end{defi}

\Expl{En enchaînant sur la figure précédente les translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis de vecteur $\overrightarrow{BA}$ le rectangle $EFGH$ est d'abord transformé en $E'F'G'H'$ puis en $EFGH$. Autrement dit l'enchaînement de ces deux translations revient à effectuer la translation de vecteur nul. On note alors :
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$$}


\Rqs{
\item Un vecteur non nul du plan est caract\'eris\'e par sa direction, son sens et sa longueur.
\item Un vecteur est un déplacement, pour déterminer un déplacement seul compte le point d'origine et le point d'arrivée. Cependant on peut représenter un même vecteur depuis n'importe quel point du plan i.e qu'un vecteur est ind\'ependant de son point d'origine (point de départ)
\item Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ son \'egaux, on peut leur donner un m\^eme nom, 
par exemple $\vec u$. \\
On dit que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont des repr\'esentants du 
vecteur $\vec u$.
\item Il existe un vecteur qui n'a ni direction, ni sens, et de la longueur 0. On l'appelle le \textit{vecteur nul} 
et on le note $\vec 0$.
\item Deux vecteurs sont dits oppos\'es lorsqu'ils ont la m\^eme direction, la m\^eme norme, mais des sens oppos\'es.\\
On note $-\vec u $ l'oppos\'e du vecteur $\vec u$. Ainsi l'oppos\'e de $\overrightarrow{AB}$ est $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$
\item La longueur d'un vecteur $\vec u$ est aussi appel\'ee norme. C'est un donc nombre positif ou nul. On le note $||\vec u||$. \\
En particulier : $||\overrightarrow{AB}||=AB$
}

\begin{prop}
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points avec $A$ et $B$ distincts. \newline
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont \'egaux si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.
\end{prop}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.78,-1.12)(7.44,3.74)
\psline{->}(-1.9,1.18)(2.9,3.12)
\psline{->}(2.24,-1.06)(7.04,0.88)
\psline(-1.9,1.18)(2.24,-1.06)
\psline(2.9,3.12)(7.04,0.88)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-1.9,1.18)
\rput[bl](-1.82,1.26){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](2.9,3.12)
\rput[bl](2.98,3.2){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](2.24,-1.06)
\rput[bl](2.32,-0.98){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](7.04,0.88)
\rput[bl](7.12,0.96){$D$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}



\subsubsection{Opération sur les vecteurs}
\begin{defi}[Somme de vecteurs]
La \textbf{somme de deux vecteurs} $\vec u$ et $\vec v$ est le vecteur associé à la translation résultant
 de l'enchaînement des translations de vecteurs $\vec u$ et de vecteur $\vec v$. On le note $\vec u + \vec v$.
\end{defi}

\Expl{On se donne deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ puis un point $A$.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.56,-0.76)(12.4,4.52)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.56,-0.76)(12.4,4.52)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.56,-0.76)(12.4,4.52)
\psline{->}(1,2)(4,3)
\psline{->}(5,4)(6,2)
\rput[tl](2.2,3.18){$\vec{u}$}
\rput[tl](5.6,3.6){$\vec{v}$}
\psline{->}(7,2)(10,3)
\psline{->}(10,3)(11,1)
\rput[tl](8.3,3.2){$\vec{u}$}
\rput[tl](10.78,2.68){$\vec{v}$}
\psline{->}(7,2)(11,1)
\rput[tl](8.22,1.62){$\vec{u}+\vec{v}$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,2)
\rput[bl](7.08,2.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](10,3)
\rput[bl](10.08,3.12){\blue{$A'$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](11,1)
\rput[bl](11.08,1.12){\blue{$A''$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
L'image du point $A$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ est $A'$, en particulier $\overrightarrow{AA'}=\vec{u}$ puis l'image du point $A'$ par la translation de vecteur $\vec{v}$ est le point $A''$, en particulier $\overrightarrow{A'A''}=\vec{v}$. La somme $\vec{u}+\vec{v}$ est alors le vecteur permettant de passer directement de $A$ à $A''$ dont un représentant est tout simplement $\overrightarrow{AA''}$}

\Rq{
On retiendra l'idée que l'on met \og bout à bout \fg les vecteurs puis que les \og détours \fg ne comptent pas, 
puisque le vecteur somme est le chemin \textit{rectiligne} entre le point de départ du chemin fomé et son point d'arrivée.
}

On en déduit immédiatement le résultat suivant.\\

\begin{prop}[Relation de Chasles]
Pour tous points $A$, $B$ et $C$, on a : 
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$
\end{prop}



\begin{defi}[Produit d'un vecteur par nombre réel]
Soit $k\in\R^*$.
Le produit d'un vecteur $\vec u$ par $k$ est le vecteur not\'e $k\vec u$. Il est défini comme le vecteur ayant :
\begin{itemize}
 \item la même direction que $\vec u$
 \item le même sens que $\vec u$ si $k>0$, le sens contraire si $k<0$.
 \item une norme égale à $|k|$ fois celle de $\vec u$. 
\end{itemize}
\end{defi}


\Exoi{Le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze avec $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{DC}$. On note $O$ le milieu de la diagonale $[AC]$.
\begin{enumerate}
\item Construire un représentant du vecteur $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AB}$
\item Construire le vecteur $\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{DC}$ ayant pour origine $O$.
\item Ecrire à l'aide d'un vecteur le vecteur suivant $ \vec u=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CO}$
\end{enumerate}}

\Exoi{ABCD est un parallélogramme.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $K$ et $L$ définis par :
$$ \overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{CL}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$$
\item Démontrer que $AKCL$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}}


\subsubsection{Coordonnées et propriétés}

\begin{defi}Soit $\vec u $ un vecteur du plan muni d'un repère  $(O; I; J)$. En note $\vec i=\overrightarrow{OI}$ et $\vec j=\overrightarrow{OJ}$ on note le repère $(O;\vec i, \vec j)$.\\
On appelle coordonnées du vecteur $\vec u$ les coordonnées du point $M$ tel que $\vec u = \overrightarrow{OM}$.
Si $M(x;y)$, on note $\vec u(x;y)$ ou encore $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$
\end{defi}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.94,-0.88)(3.48,3.18)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.94,-0.88)(3.48,3.18)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,2.52)(2.42,2.52)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2.42,2.52)(2.42,0)
\rput[tl](2.34,-0.12){$ x $}
\rput[tl](-0.32,2.6){$ y $}
\rput[tl](0.38,-0.04){$ \vec i $}
\rput[tl](-0.3,0.68){$\vec j$}
\psline{->}(0,0)(2.42,2.52)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](2.42,2.52)
\rput[bl](2.5,2.6){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.32,-0.3){$O$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rqs{
\item Le couple $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$
correspond également au déplacement effectué sur le quadrillage.
\item Celles-ci sont donc indépendantes de l'origine du repère.
\item A partir de maintenant, on se place dans un repère $(O; \vec i ; \vec j )$ du plan.
\item On en déduit facilement que deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordonnées dans un repère.
$$\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right) = \vec v\left(\begin{array}{c}
                                  x' \\ y'
                                 \end{array}\right) \Longleftrightarrow   x=x \textrm{  et } y=y' $$
}



\begin{prop}
Soit $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                  x \\ y
                                 \end{array}\right)$ un vecteur dans un rep\`ere \textbf{orthonormal} $(O;\vec i; \vec j )$. 
Grâce au théorème de Pythagore, on montre que :
$$||\vec u||=\sqrt{x^2+y^2}$$
\end{prop}

\begin{prop}
Si $A$ et $B$ sont deux points de coordonn\'ees respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ alors les coordonn\'ees du vecteur
 $\overrightarrow{AB}$ sont 
$$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}
                                  x_B-x_A \\ y_B-y_A
                                 \end{array}\right)$$
On a donc aussi : $$AB=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$$
\end{prop}





\Rq{
Soient deux vecteurs $\vec u( x ; y)$ et $\vec v( x' ; y')$ et $k$ un nombre réel. On a  :
\begin{center}
$\vec u + \vec v$ a pour coordonn\'ees $\left(\begin{array}{c} x+x' \\ y+y' \end{array} \right)$\qquad et \qquad 
 $k\vec u$ a pour coordonn\'ees $\left(\begin{array}{c}  kx \\ ky \end{array} \right)$
\end{center}
}


\Exoi{Dans un repère orthonormée on donne $A(2;3)$, $B(5;3)$ et $C(5;7)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.}

\subsubsection{Colinéarité de deux vecteurs}

\begin{defi}
Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont dits colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.
\end{defi}

\begin{theo}
Soient deux vecteurs $\vec u  \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ 
et $\vec v  \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right)$. \\
On a les équivalences suivantes : $\vec u $ et $\vec v$ sont colinéaires
\begin{itemize}
 \item[$\iff$] il existe un r\'eel $k$ tel que $\vec u =k \vec v$.
 \item[$\iff$] leurs coordonnées sont proportionnelles ($x=kx'$ et $y=ky'$ avec $k\in\R$).
 \item[$\iff$] $xy'-x'y = 0$
\end{itemize}
\end{theo}


\Exoi{
\begin{enumerate}
 \item On considère les vecteurs $\vec u_1\left(\begin{array}{c}
                                                 -2 \\ 7
                                                \end{array}\right)$, $\vec u_2\left(\begin{array}{c}
                                                 5.2 \\ -18.2
                                                \end{array}\right)$ et $\vec u_3\left(\begin{array}{c}
                                                 -6.4 \\ 22.5
                                                \end{array}\right)$. Lesquels sont colinéaires ?
\item Calculer le réel $\alpha$ pour que les vecteurs  $\vec u\left(\begin{array}{c}
                                                 \alpha \\ -4
                                                \end{array}\right)$ et $\vec v\left(\begin{array}{c}
                                                 -5 \\ 14
                                                \end{array}\right)$ soient colinéaires.
\end{enumerate}
}



\Exoi{Déterminer le(s) valeur(s) de $k$ telle(s) que les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ soient colinéaires :
\begin{enumerate}
 \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} k \\ 1 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} 5 \\ k+1 \end{array} \right)$
 \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} -k+1 \\ -2 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} k^2+17 \\ 5k-4 \end{array} \right)$
\end{enumerate}
}

\Exoi{
\begin{enumerate}
 \item Trouver un réel $x$ tel que les vecteurs 
$\vec u  \left(\begin{array}{c} \cos^2(x) \\ -3\sin(x)+6 \end{array} \right) \qquad 
\vec v  \left(\begin{array}{c} \sin(x) \\ 3 \end{array} \right)$ soient colinéaires
\item L'opposé de la valeur trouvée précédemment est-elle aussi une solution ?
\item Etes-vous capable de donner d'autres solutions ? toutes les solutions ?
\end{enumerate}
}

\pagebreak
\Exoi{ Vrai ou Faux :
\begin{enumerate}
 \item Les vecteurs  $\vec u  \left(\begin{array}{c} 3^{22} \\ \dfrac1{3^{25}} \end{array} \right)$
et $\vec v  \left(\begin{array}{c} 3^{71} \\ 9^{12} \end{array} \right)$ sont colinéaires.
 \item Si $\vec u = k \vec v$ alors il existe $k'$ tel que $\vec v = k' \vec u$.
 \item $\vec 0 = k \vec 0$
 \item $\vec 0 = 0 \vec u$
\item Le vecteur $\vec u  \left(\begin{array}{c} k \\ -k \end{array} \right)$  avec $k\in\R^*$ est colinéaire au(x) vecteur(s)
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
 \item $\vec u  \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$ 
\item $\vec v  \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$ 
\item $\vec w  \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ 
\item $\vec z  \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right)$ 
\end{multicols}
\end{enumerate}
\item Si deux vecteurs $\vec u  \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$ et 
$\vec v  \left(\begin{array}{c} a' \\ b' \end{array} \right)$ sont colinéaires alors :
 \begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
  \item $a'b-ab'=0$ \item $ab'-a'b=0$ \item $ab'=a'b$
 \item $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a'}{b'}$ \item $\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}$
\end{multicols} 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\subsubsection{Applications directes}

\begin{prop}Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan  deux à deux distincts.\\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ssi  les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
\end{prop}

\begin{coro}Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan deux à deux distincts.\\
Les points $A$, $B$ et $C$  sont alignés ssi  les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
\end{coro}

\Cadre[M\'ethode]{Pour d\'emontrer que trois points sont align\'es, il suffit de d\'emontrer que deux des vecteurs form\'es par les trois points sont colin\'eaires.
}

\Exoi{
On donne $A(-4;-1)$, $B(-1;1)$, $C(3;3)$, $D(-1;-3)$ et $E(5;1)$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont colinéaires.
\item En déduire la nature du quadrilatère $ABED$
\item Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\Exoi{
Soit ABC un triangle et M tel que $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ et N tel que 
$\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Montrer que $A$, $M$ et $N$ sont align\'es.
}



\Exoi{
\begin{enumerate}
 \item Tracer un quadrilatère quelconque $ABCD$.\\
Placer les milieux respectifs $I$, $J$, $K$ et $L$ des côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$.
\item Prouver que le quadrilatère $IJKL$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
}


\Exoi{
Soient $A$ et $B$ deux points distinct du plan. On définit le point $C$ tel que $4\overrightarrow{CA}-5\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AC}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
 \item Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
 \item Faire une figure.
\end{enumerate}
}

\Exoi{
$ABC$ est un triangle. Soient $D$ et $E$ les points tels que $\overrightarrow{AD}=2 \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
et $\overrightarrow{BE}=\dfrac13\overrightarrow{BC}$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AE}$.
 \item En déduire que $D$ appartient à la droite $(AE)$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{
 Voici un algorithme :
\begin{center}\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$, $x_C$, $y_C$, $a$, $b$, $c$ et $d$ sont deux nombres réels\\
Saisir $x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$, $x_C$, $y_C$\\
}
{
 $a:=x_B-x_A$ \\
$b:=y_B-y_A$\\
 $c:=x_C-x_A$ \\
$d:=y_C-y_A$\\
\IfThenElse{ $ad-bc=0$}
{Afficher \og les points sont alignés\fg}
{Afficher \og les points ne sont pas alignés \fg}
}
}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item Tester cet algorithme avec les points $A(1;-2)$, $B(3;5)$ et $C(1;-1)$.
\item Ecrire cet algorithme sur votre calculatrice graphique.
\end{enumerate}
}
\pagebreak
\subsection{Décomposition de vecteurs dans une base}

\subsubsection{Définition et propriété}


Considérons deux vecteurs non nuls et non colinéaires. Représentons ces deux vecteurs à partir d'une même origine $O$. A partir de la donnée des deux vecteurs et du point nous construisons le quadrillage suivant :

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.86,-3.76)(13.34,8.18)
\psline{->}(-1.6,1.22)(0.06,2.3)
\psline{->}(-1.6,1.22)(0.82,0.8)
\psplot{-6.86}{13.34}{(--3.75--1.08*x)/1.66}
\psplot{-6.86}{13.34}{(--2.28-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--5.59-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--8.9-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--12.21-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--15.52-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--7.06--1.08*x)/1.66}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--0.44--1.08*x)/1.66}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(-2.87--1.08*x)/1.66}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(-6.18--1.08*x)/1.66}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(-9.49--1.08*x)/1.66}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(-1.03-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(-4.34-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--10.37--1.08*x)/1.66}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.6,1.22)
\rput[bl](-2.14,0.98){\blue{$O$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

Considérons un vecteur, disons $\vec{u}$ et représentons le lui aussi à partir du point $O$. On obtient alors la figure suivante :

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.86,-3.76)(13.34,8.18)
\psline{->}(-1.6,1.22)(0.06,2.3)
\psline{->}(-1.6,1.22)(0.82,0.8)
\psplot{-6.86}{13.34}{(--3.75--1.08*x)/1.66}
\psplot{-6.86}{13.34}{(--2.28-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--5.59-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--8.9-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--12.21-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--15.52-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--7.06--1.08*x)/1.66}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--0.44--1.08*x)/1.66}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(-2.87--1.08*x)/1.66}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(-6.18--1.08*x)/1.66}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(-9.49--1.08*x)/1.66}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(-1.03-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(-4.34-0.42*x)/2.42}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-6.86}{13.34}{(--10.37--1.08*x)/1.66}
\psline{->}(-1.6,1.22)(7.32,1.04)
\rput[tl](3.2,1.28){$\vec{u}$}
\rput[tl](-0.76,1.26){$\vec{i}$}
\rput[tl](-1.28,2.38){$\vec{j}$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.6,1.22)
\rput[bl](-2.14,0.98){\blue{$O$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

Nous observons que :
$$ \vec{u}=3\vec{i}+\vec{j}$$

Si nous construisons un nouveau vecteur $\vec{v}$ il sera de nouveau possible de l'exprimer en fonction des vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ c'est-à-dire qu'il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que :
$$ \vec{v}=x\vec{i}+y\vec{j}$$

\begin{defi}
Deux vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$ non colinéaires et une origine $O$ définissent un repère du plan noté $(O;\vec{i};\vec{j})$. \\
La droite $(O;\vec{i})$ est l'axe des abscisse et la droite $(O;\vec{j})$ est l'axe des ordonnées.\\
\end{defi}

%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-3.1,-0.38)(5.6,4.9)
%\psline{->}(2.36,1.28)(5.18,0.16)
%\psline{->}(-1.66,3.42)(0.42,4.58)
%\rput[tl](-0.96,4.58){$\vec u$}
%\rput[tl](3.44,1.36){$\vec v$}
%\psline{->}(-1.74,1.14)(0.34,2.3)
%\psline{->}(-1.74,1.14)(1.08,0.02)
%\rput[tl](-1.02,2.38){$\vec u$}
%\rput[tl](-0.54,0.54){$\vec v$}
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-1.74,1.14)
%\rput[bl](-2.08,0.82){$O$}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%
%\Rqs{
%\item Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires forment une base notée $\left(\vec{u}, \vec{v}\right)$.
%\item Les côtés d'un triangle $ABC$ quelconque non aplati permettent de former des bases.
%}

\begin{prop}
On considère une base $\left(\vec i, \vec{j}\right)$. \\
Tout vecteur $\vec{w}$ s'exprimer de manière unique  comme une somme de deux multiples de $\vec{i}$ et $\vec{j}$ (on dit que l'on a obtenu une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$) : 
$$ \vec{w}=x\vec{i}+y\vec{j}$$
On dit que le couple $\left(\vec{i};\vec{j}\right)$ forment une base des vecteurs du plan.\\
$x$ est l'abscisse du vecteur $\vec{w}$ et $y$ son ordonnée dans la base $(\vec{i};\vec{j})$
\end{prop}


\Expl{\begin{center}
\psset{xunit=0.65cm , yunit=0.65cm}
\begin{pspicture*}(-2.2,-4)(6.2,3.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{6} \def\ymin{-5} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-4)(6.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(1.0000,1.0000)(4.5000,0.0000)
\uput{0.3000}[30.0000](1.0000,1.0000){$\vec w$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{->}(1.0000,1.0000)(3.0000,-3.0000)
\uput{0.8000}[-80.0000](1,0.5){$2\vec u$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green]{->}(3.0000,-3.0000)(4.5000,0.0000)
\uput{0.5000}[20.0000](3.6,-1.700){$1.5\vec v$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue]{->}(0.0000,0.0000)(1.0000,-2.0000)
\uput{0.5000}[-75.0000](-0.2000,0.0000){$\vec u$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=green]{->}(0.0000,0.0000)(1.0000,2.0000)
\uput{0.5000}[90.0000](0.,0.0000){$\vec v$}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0000,0.0000){O}
\psline(2.0000,-4.0000)(-2.0000,4.0000)
\psline(-1.0000,-2.0000)(3.0000,6.0000)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}}


\subsubsection{Applications}

\Exoi{$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés. Les points $N$ et $P$ sont tels que $$ \overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{BP}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$$
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item \begin{enumerate}
\item Décomposer le vecteur $\overrightarrow{AP}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$.
\item En déduire que les vecteurs $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires. Qu'en déduit-on pour les points $A$, $P$ et $N$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\Exoi{$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés. Les points $D$, $E$ et $F$ sont définis par :
$$ \overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}\qquad \overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BC}$$
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Exprimer $\overrightarrow{DE}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item Exprimer $ \overrightarrow{DF}$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}\right)$.
\item En déduire que les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}}


%\Exoi{Soit $EFG$ un triangle. Le point $I$ est tel que $\overrightarrow{GI}=\dfrac13 \overrightarrow{GF}$ et $H$ est 
%l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FE}$. Le point $O$ est le milieu de $[EG]$.
%\begin{enumerate}
% \item Faire une figure.
% \item Expliquer pourquoi $\left(F ; \overrightarrow{FG} ; \overrightarrow{FE}\right)$ est un repère du plan.
%\item En se plaçant dans ce repère, démontrer que 
%les points $I$, $O$ et $H$ sont alignés.
%\end{enumerate}
%}
%
%
%\Exoi{
%Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ tel que $AB=6$ cm.
%\begin{enumerate}
% \item Placer les points $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{CE}=-\dfrac13\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{FB}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$
% \item Donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{DF}$
%et $\overrightarrow{OE}$ dans les repères suivants :
%\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{3}
% \item $\left(D; \overrightarrow{DC} ; \overrightarrow {DA}\right)$
% \item $\left(A; \overrightarrow{DC} ; \overrightarrow {DA}\right)$
%\item $\left(C; \overrightarrow{CA} ; \overrightarrow {CB}\right)$
%\item $\left(C; \overrightarrow{CB} ; \overrightarrow {CA}\right)$
%\item $\left(O; \overrightarrow{OB} ; \overrightarrow {OA}\right)$
%\end{multicols}
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}
%
%\Exoi{
%Soit $ABCD$ un carré de côté $a$ ($a>0$). On considère les deux triangles équilatéraux $DCE$ et $DAF$ extérieurs au carré $ABCD$.\\
%Démontrer que les droites $(AC)$ et $(EF)$ sont parallèles, en vous plaçant dans le repère orthormé 
%$\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right)$.
%}
%
%\Exoi{$ABCD$ est un tétraèdre.
%Dans le plan $(ABC)$ on définit le point $K$ par $\overrightarrow{AK}=\dfrac23 \overrightarrow{AB} + \dfrac13 \overrightarrow{AC}$.
%\begin{enumerate}
% \item Faire un figure dans l'espace, puis une figure dans le plan $(ABC)$.
% \item En choisissant un repère du plan $(ABC)$, démontrer que $K$ appartient à $[BC]$.
%\end{enumerate}
%}
%
%\Exoi{
%$ABC$ est un triangle. $I$ est le milieu de $[BC]$ et $M$ est un point de la parallèle à $(AB)$ passant par $I$.\\
%La parallèle à $(AC)$ passant par $I$ coupe la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ en $N$.
%\begin{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
%        \item Réaliser une figure avec un logiciel de géométrie.
%\item Semble-t-il exister une position du point $M$ pour laquelle :
%\begin{itemize}
% \item $M=N$ ?
% \item $BCMN$ est un parallélogramme ?
%\item $BCNM$ est un parallélogramme ?
%\end{itemize}
%       \end{enumerate}
%\item On se place dans le repère $\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)$.
%\begin{enumerate}
% \item Justifier que les coordonnées du point $M$ peuvent s'écrire $\left(k ; \dfrac12 \right)$ où $k$ désigne un nombre réel.
% \item Exprimer les coordonnées de $N$ en fonction de $k$.
% \item Justifier les conjectures émises à la question 1.b..
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%}
%



\pagebreak


\section{Vecteurs et Droites}


\subsection{Vecteurs directeurs d'une droite}

\subsubsection{Définition}

\begin{defi}
Soit $d$ une droite du plan.\\
On appelle \textbf{vecteur directeur} de $d$ tout vecteur non nul $\vec{u}$ qui possède la même direction que la droite $d$.
\end{defi}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.28,0.52)(4.2,4.08)
\psline{->}(-1.72,2.26)(0.36,3.42)
\rput[tl](-1.08,3.64){$\vec u$}
\psplot{-2.28}{4.2}{(--4.39--1.16*x)/2.08}
\rput[tl](0,2.06){$d$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\Rq{Si $A$ et $B$ sont deux points distincts d'une droite $d$ alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dirige la droite $d$.}


\Exoi{Dans un  repère, soit $A(-2;3)$, $B(3;1)$ et $C(-1;-3)$. Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de la médiane passant par le sommet $A$ du triangle $ABC$.}


\subsubsection{Propriété}

\begin{prop}
Dans le plan muni d'un repère, soit $d$ une droite d'équation $y=mx+p$ alors le vecteur $\vec{u}\left(1;m\right)$ dirige la droite $d$.
\end{prop}

\Dem{
$d : y=mx+p$ donc le point $A(0,p)\in d$ et le point $B$ de coordonnées $(1,m+p)$ est aussi un point de la droite $d$. Ainsi le vecteur $\overrightarrow{AB}$ dirige la droite $d$ et ce vecteur a pour coordonnées :
$$ \left(1-0;m+p-p\right)=\left(1;m\right)$$ 
}


\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Soit $d$ une droite dirigée par le vecteur $\vec{u}$ et $d'$ une droite dirigée par le vecteur $\vec{u'}$. Dans ce cas :
$$ d//d'\Longleftrightarrow \text{$\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires}$$
\item Soit $A$ un point du plan, $\vec{u}$ un vecteur non nul et $d$ la droite passant par $A$ de vecteur directeur $\vec{u}$. Un point $M$ appartient à $d$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.
\end{itemize}
\end{prop}


\Exoi{Dans un repère du plan, on donne les points $A(4;0)$, $B(2;-3)$, $C(2;1)$ et le vecteur $\vec{u}(3;5)$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $(AC)$ et la droite $d$ passant par $B$, de vecteur directeur $\vec{u}$.
\item Le point $E\left(-3;\dfrac{7}{2}\right)$ appartient-il à la droite $(AC)$ ? Justifier.
\item Montrer que le point $A$ n'appartient pas à la droite $d$.
\end{enumerate}}

\subsection{Equation cartésienne d'une droite}

\begin{theo}
Dans un repère du plan, toute droite $d$ (même celles qui sont parallèles à l'axe des ordonnées) admet une équation (dite cartésienne) de la forme $ax+by=c$ avec $(a;b)\neq (0;0)$.
\end{theo}

\Dem{Soit $A(x_A;y_A)$ un point de $d$ et $\vec{u}(\alpha; \beta)$ un vecteur directeur de $d$.
\begin{eqnarray*}
& & M(x;y)\in d \\
&\Longleftrightarrow & \overrightarrow{AM}\left(x-x_A;y-y_A\right) \text{ et } \vec{u}\left(\alpha;\beta\right) \text{ sont colinéaires }\\
& \Longleftrightarrow & \beta(x-x_A)-\alpha(y-y_A)=0\\
&\Longleftrightarrow & \beta x-\alpha y= \beta x_A-\alpha y_A\\
\end{eqnarray*}
On obtient le résultat voulu en posant $a=\beta$, $b=-\alpha$ et $c=\beta x_A-\alpha y_A$.
De plus comme $\vec{u}\neq \overrightarrow{0}$, les réels $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls.}

\begin{theo}
Dans un repère du plan, toute équation de la forme $ax+by=c$ avec $(a;b)\neq (0;0)$ est l'équation d'une droite. De plus cette droite a pour vecteur directeur $\vec{u}(-b;a)$.
\end{theo}

\Dem{On décompose cette démonstration, en étudiant deux cas, le premier si $b\neq 0$ et le second si $b=0$.
\begin{itemize}
\item \begin{eqnarray*}
& & ax+by=c \\
&\Longleftrightarrow & by=c-ax\\
& \Longleftrightarrow & y=-\dfrac{a}{b}x +\dfrac{c}{b}\\
\end{eqnarray*}
Ainsi l'équation $ax+by=c$ s'écrit sous la forme $y=mx+p$ avec $m=-\dfrac{a}{b}$ et $p=\dfrac{c}{b}$, or il s'agit de l'équation d'une droite qui coupe l'axe des ordonnées de vecteur directeur $\vec{v}\left(1;-\dfrac{a}{b}\right)$. Par conséquent le vecteur $-b\vec{v}$ dirige encore cette droite et a pour coordonnées :
$$ \left(-b;a\right)$$ 
\item Si $b=0$ alors l'équation $ax+by=c$ devient $ax=c$. De plus si $b=0$ alors $a\neq 0$ et donc l'équation $ax+by=c$ peut s'écrire $x=\dfrac{c}{a}$ qui est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées. Un vecteur directeur de cette droite est alors $\vec{v}(0;1)$ et donc $a\vec{v}$ dirige encore cette droite et a pour coordonnées $\left(0;a\right)$.
\end{itemize}
}


\Exoi{Dans un repère du plan, on donne les points $A(4;0)$, $B(2;-3)$, $F\left(3;-\dfrac{4}{3}\right)$ et le vecteur $\vec{u}(3;5)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $B$, de vecteur directeur $\vec{u}$.
\item Le point $F$ appartient-il à la droite $d$ ?
\item Le point $A$ appartient-il à la droite $d$ ?
\end{enumerate}}

\Exoi{ Dans un repère du plan, tracer les droites $d_1 : 2x+3y=5$ et $d_2 :-2x=-5$.}

\Exoi{Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$ passant par les points $A(15;-10)$ et $B(-25;30)$.}

\begin{prop}
Les droites d'équations $ax+by=c$ et $a'x+b'y=c'$ sont parallèles si et seulement si $ab'-a'b=0$.
\end{prop}

\Dem{Le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ dirige $d$ et le vecteur $\vec{v}(-b';a')$ dirige $d'$. Ainsi $d//d'$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires i.e si et seulement si
$$ -a'b+ab'=0\Longleftrightarrow ab'-a'b=0$$}

\Exoi{On considère un repère $(O;\vec{i}, \vec{j})$ du plan.
\begin{enumerate}
\item Donner une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A(5;-1)$ et parallèle à la droite $d_1$ dont une équation cartésienne est $3x-y=-12$.
\item La droite $d$ est-elle parallèle à la droite $d_2$ dont l'équation cartésienne réduite est $y=-3x+14$ ?
\end{enumerate}}

\end{document}
