\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Variable Al\'eatoire}
\newcommand{\Cl}{1S}
\newcommand{\Annee}{2015-2015}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macrodwicky.tex

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\setcounter{NumLecon}{5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\ddwicky{small.eps}{Small Change}{Tom Waits}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Thomas Alan Waits est un auteur-compositeur, musicien, chanteur, réalisateur musical, et acteur américain né le 7 décembre 1949, à Pomona en Californie.
\\
Son travail se distingue généralement par sa voix rocailleuse, sa forte personnalité, sa présence sur scène très théâtrale et l'humour de mises en monde portées par des textes cyniques. Waits possède une voix reconnaissable, décrite un jour par un critique comme trempée dans un fût de Bourbon, séchée et fumée pendant quelques mois, puis sortie et renversée par une voiture1. Avec des bruits de bouche comme signes distinctifs, il incorpore des styles antérieurs au rock comme le blues, le jazz, le bluegrass, le vaudeville ou la musique country ; Tom Waits s'est bâti un personnage distingué et distinct.
\\
Ses textes sont ceux d'un portraitiste du bizarre, peuplés de personnages et de lieux miteux, criblés d'images d'un romantisme souvent déglingué voire fantomatique, arrosés de loin en loin d'une valse irlandaise. Mordants, chaleureux et tristes, ses textes se démarquent aussi par leur drôlerie, dont témoignent diverses interviews accordées tout au long de sa carrière.}{1.8}{1.8}{
\item Calculer une espérance et interpréter le résultat.
\item Calculer un écart-type et interpréter le résultat.
\item Utiliser les arbres de probabilité.
}

\TITRE{bernoulli.eps}{0.3}


\begin{Intro}{Au fil du temps}
Alors que les êtres humains se sont intéressés à la géométrie depuis la nuit des temps, et qu’une première 
présentation rigoureuse ( les mathématiciens disent axiomatique ) en a été proposée trois siécles avant JC par le 
grec Euclide, il a fallu attendre le 
XVI$^e$ siècle pour qu'on s'intéresse enfin aux probabilités, et encore était-ce pour aider les princes à améliorer 
leurs gains au jeu (c'est d'ailleurs pourquoi on en a gardé le vocabulaire). \newline

Parmi toutes les définitions possibles du hasard, nous en retiendrons deux qui ont influencé la théorie des 
probabilités :
\begin{itemize}
\item pour certains, tout a une cause, et le hasard n'est le reflet que de l'ignorance que nous avons des lois de la 
Nature. Cet esprit souffla particulièrement au XVIII ème siècle au moment où Laplace posa les bases d'une première 
théorisation des probabilités. 
Les probabilités sont alors déterminées a priori, par des considérations non expérimentales. Par exemple, un dé a 
six faces, donc, on peut poser 
d’avance que l’événement \og obtenir 5 \fg\, a une probabilité de $\dfrac16$. Cette symétrie, cette \og
géométrie du hasard \fg\, selon les 
termes de Pascal, permet de calculer sans ressentir le besoin de recourrir à l’expérience. 
Elle implique la notion centrale d'équiprobabilité : une probabilité est égale au rapport du nombre de cas 
favorables sur le nombre de cas possibles. \newline
Cette conception peut apparaître assez naïve : il est illusoire de penser qu’un dé puisse être parfaitement 
équilibré, mais doit-on être gêné pour autant ? 
\item pour d’autres, le hasard constitue notre univers, i.e qu'il n'est pas qu'une abstraction mathématiques mais 
une réalité physique. 
La théorie du chaos mise en forme par René Thom en 1955 montre en 
effet que dans certaines situations, on aura beau observer un phénomène pendant un temps très long, on ne pourra 
prévoir son évolution. De même en physique quantique, la connaissance du passé et du présent ne permettent pas 
de prévoir mieux des états possibles futurs. 
\end{itemize}
Alors, le hasard, une réalité physique ou une invention mathématiques ?
Au lieu de s’opposer, ces deux visions se complètent et il faut les avoir en tête.
Ces deux notions ont en commun de postuler que l’issue de l’expérience (le jeté d’un dé)
est indépendant de l’observateur, mais ceci peut ne plus être vrai dans certains domaines, comme par exemple 
l’économie ou la physique quantique.\\

Dans ce chapitre, nous allons revoir les bases des probabilités, à savoir la construction de modèles
pour décrire des expériences aléatoires, ainsi que le vocabulaire et les propriétés de base. 
Le besoin d'avoir une méthode systématique de modélisation est justifié 
par le fait que certains résultats nous semblent parfois intuitivement 
évidents mais sont en réalité faux, comme en témoignent les problèmes d'introduction ci-dessous.\\
Ensuite, nous découvrirons les variables aléatoires, qui associent des résultats 
d'expériences aléatoires à des variables telles qu'un gain éventuel. Nous apprendrons alors à déterminer certains paramètres
de ces expériences, telles que le gain que l'on peut espérer gagner ou le risque d'un jeu,
sans avoir à le réaliser.
\end{Intro}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
\newpage

\section{Univers, événement et loi de probabilité}


\subsection{Univers, événement}

\begin{defi}
L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire est appelé \textbf{univers}, souvent noté $\Omega$.
\end{defi}


\Expl{\begin{enumerate}
\item On lance deux dés et on observe la somme obtenue. Dans ce cas :
$$ \Omega=\{2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\}$$
\item On lance trois fois de suite une pièce de monnaie. Il est astucieux d'utiliser des arbres de probabilités pour décrire l'univers dans ce type de cas :
\begin{center}
%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine en Haut, développement vers le bas
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(-0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(-1.6666666666666665)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(-3)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauD{(-4)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({(3.5)*\InterFeuilles},{\NiveauA}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({(1.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$Pile$};
\node[noeud] (Raa) at ({(0.5)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$Pile$};
\node[feuille] (Raaa) at ({(0)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Pile$};
\node[feuille] (Raab) at ({(1)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Face$};
\node[noeud] (Rab) at ({(2.5)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$Face$};
\node[feuille] (Raba) at ({(2)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Pile$};
\node[feuille] (Rabb) at ({(3)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Face$};
\node[noeud] (Rb) at ({(5.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$Face$};
\node[noeud] (Rba) at ({(4.5)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$Pile$};
\node[feuille] (Rbaa) at ({(4)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Pile$};
\node[feuille] (Rbab) at ({(5)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Face$};
\node[noeud] (Rbb) at ({(6.5)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$Face$};
\node[feuille] (Rbba) at ({(6)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Pile$};
\node[feuille] (Rbbb) at ({(7)*\InterFeuilles},{\NiveauD}) {$Face$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (Raa)--(Raaa) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (Raa)--(Raab) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (Rab)--(Raba) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (Rab)--(Rabb) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (Rba)--(Rbaa) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (Rba)--(Rbab) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (Rbb)--(Rbba) node[etiquette] {$0.5$};
\draw[fleche] (Rbb)--(Rbbb) node[etiquette] {$0.5$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%:-+-+-+-+- Fin
\end{center}
\end{enumerate}
L'univers de cette expérience aléatoire est alors :
$$ \Omega=\{PPP;PPF;PFP;PFF;FPP;FPF;FFP;FFF\}$$}

\Rq{Dans des chacun des cas précédent l'univers comporte un nombre fini d'éléments, nous nous contenterons d'étudier cette année des situations de ce type.}

\begin{defi}
Un événement est un sous ensemble de l'univers. On le décrit soit par une phrase soit en lisant tous les éléments de cet ensemble.
\end{defi}

\Expl{\begin{enumerate}
\item Pour la somme de deux dés.
\\
Soit $A$ l'événement  :\og obtenir un résultat premier \fg{} alors $A=\{2;3;5;7;11\}$
Soit $B$ l'événement  :\og obtenir un résultat pair \fg{} alors $B=\{2;4;6;8;10;12\}$
Soit $C$ l'événement :\og obtenir sept \fg{} alors $C=\{7\}$
\Rq{Chaque résultat est appelé issue ou événtualité ; ainsi $C$ est une issue.}
\item Pour le lancer de 3 pièces de monnaie.
Soit $A$ l'événement : \og obtenir trois fois le même résultat \fg{} alors $A=\{PPP;FFF\}$
\\
Soit $B$ l'événement : \og obtenir au moins 2 fois piles \fg{} alors $B=\{PPP;PPF;PFP;FPP\}$
\end{enumerate}}

\subsection{Opération sur les événements}

\begin{center}
\newcolumntype{C}[1]{>{\center}m{#1}}
\begin{tabular}{|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|} \hline 
$A\cap B$ & $A\cup B$  & $\overline{A}$ &  $A\cap B = \emptyset$ \tabularnewline\hline
\textbf{Intersection de $A$ et $B$ :} Eléments communs de $A$ et $B$
 & \textbf{Réunion de $A$ et $B$ : } Eléments de $A$ ou $B$ (voire les deux)
& \textbf{Complémentaire de $A$ :} Eléments de $\Omega$ non dans $A$
& \textbf{ $A$ et $B$ sont disjoints} : Aucun élément commun à $A$ et $B$ \tabularnewline\hline
 \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=red] \cercleB; 
\end{scope} 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture}
 &
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,0) {$B$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\end{tikzpicture} 
&\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\draw[color=black,fill=blue!50] \cercleO; 
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=white] \cercleO; 
\end{scope} 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (0.7,0.7) {$A$};
\node at (-0.9,-0.5) {$\overline{A}$};
\end{tikzpicture}
 & \begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.6,0.5) circle (0.9cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.7,-0.7) circle (0.7cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.9,-0.5) {$B$};
\node at (0.7,0.9) {$A$};
\end{tikzpicture}
\tabularnewline\hline
%&$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$&$p(\overline{A})=1-p(A)$&$p(A\cup B)=p(A)+p(B)$  \tabularnewline\hline
 \end{tabular}
\end{center}

\Expl{\begin{enumerate}
\item Pour la somme de deux dés si $A=\{2;3;5;7;11\}$ et $B=\{2;4;6;8;10;12\}$ alors on a :
\\ $A\cup B=\{2;3;4;5;6;7;8;10;11;12\}$ et $A\cap B=\{2\}$ puis $\overline{A}=\{4;6;8;9;10;12\}$ et $\overline{B}=\{3;5;7;9;11\}$. 
\item Pour le lancer de trois pièces de monnaie, si  $A=\{PPP;FFF\}$ et $B=\{PPP;PPF;PFP;FPP\}$ alors on 	a :\\
$A\cup B=\{PPP;PPF;PFP;FPP;FFF\}$ et $A\cap B=\{PPP\}$ puis $\overline{A}=\{PPF;PFP;FPP;FFP;FPF;PFF\}$ et enfin $\overline{B}=\{FFF;FFP;FPF;PFF\}$
\end{enumerate}}

\begin{prop}
Soit $A$ et $B$ deux événements alors on a :
$$ A\subset A\cup B \qquad \text{et}\qquad A\cap B\subset A$$
\end{prop}

\subsection{Loi de probabilité}

\begin{defi}
$P$ est une loi de probabilité sur l'univers $\Omega$ si et seulement si elle vérifie les trois axiomes suivants :
\begin{enumerate}
\item La probabilité d'un événement $A$ est comprise entre $0$ et $1$ :
$$ 0\leq P(A)\leq 1$$
\item La probabilité de l'univers vaut $1$ :
$$ P(\Omega)=1$$
\item Si $A\cap B=\emptyset$ alors $ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
\end{enumerate}
\end{defi}

\Expl{Pour définir la loi de probabilité associé au lancer de deux dés, il suffit de compléter le tableau suivant en respectant l'axiome $2$ :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
Issue & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & Total\tabularnewline
\hline 
\hline 
Probabilité &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
Ensuite il s'agit de modéliser correctement cet expérience et donc de dénombre toutes les manières d'obtenir $2$, $3$, $4$, ect...
\\
Pour obtenir $2$ il faut faire $1+1$.
\\
Pour obtenir $3$ il faut faire $2+1$ ou $1+2$
\\
Pour obtenir $4$ il faut faire $3+1$ ou $1+3$ ou $2+2$.
\\
Pour obtenir $5$ il faut faire $4+1$ ou $1+4$ ou $3+2$ ou $2+3$
\\
Pour obtenir $6$ il faut faire $5+1$ ou $1+5$ ou $4+2$ ou $2+4$ ou $3+3$.
\\
Pour obtenir $7$ il faut faire $6+1$ ou $1+6$ ou $5+2$ ou $2+5$ ou $4+3$ ou $3+4$.
\\
Pour obtenir $8$ il faut faire $6+2$ ou $2+6$ ou $5+3$ ou $3+5$ ou $4+4$.
\\
Pour obtenir $9$ il faut faire $6+3$ ou $3+6$ ou $5+4$ ou $4+5$.
\\
Pour obtenir $10$ il faut faire $6+4$ ou $4+6$ ou $5+5$.
\\
Pour obtenir $11$ il faut faire $6+5$ ou $5+6$.
\\
Pour obtenir $12$ il faut faire $6+6$.
\\
On dénombre un total de $36$ possibilités toutes équiprobables donc :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
Issue & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & Total\tabularnewline
\hline 
\hline 
Probabilité & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{4}{36}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{6}{36}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{4}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{1}{36}$ & 1\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
En respectant le troisième axiome il est alors possible de calculer la probabilité d'un événement quelconque.
\\
Par exemple :
$$ P(A)=P(\{2;3;5;7;11\})=\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{26}+\dfrac{4}{36}+\dfrac{6}{36}+\dfrac{2}{36}=\dfrac{15}{36}$$
ou encore :
$$ P(B)=P(\{2;4;6;8;10;12\})=\dfrac{1+3+5+5+3+1}{36}=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}$$
ou encore :
$$ P(A\cap B)=P(\{2\})=\dfrac{1}{36}\qquad \text{et}\qquad P(A\cup B)=P(\{2;3;4;5;6;7;8;10;11;12\})=\dfrac{32}{36}$$
}

\begin{prop}
Soit $P$ une loi de probabilité sur un univers $\Omega$, $A$ et $B$ deux événements alors :
\begin{enumerate}
\item $P(A)+P(\overline{A})=1 \Longleftrightarrow P(\overline{A}=1-P(A)$
\item $P(\emptyset)=O$
\item $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
\item $P(A)\leq P(A\cup B)$ et $P(A\cap B)\leq P(A)$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item Nous avons $A\cap \overline{A}=\emptyset$, par conséquent d'après l'axiome $3$ on a :
$$ P(A\cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$$
Or $A\cup \overline{A}=\Omega$ d'où :
$$ P(\Omega)=P(A)+P(\overline{A})\Longleftrightarrow 1=P(A)+P(\overline{A})$$
\item 
  $$1=P(\Omega)=P(\emptyset \cup \Omega) = P(\emptyset) + P(\Omega) = P(\emptyset) +  1 $$
D'où $P(\emptyset) =0$.
 \item Tout repose sur ces découpages en événements disjoints deux à deux :
\begin{multicols}{2}
   $$ A =  \left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right)$$
$$ B =  \left( B\setminus A \right)\cup \left(A \cap B  \right)$$
$$A \cup B =  \left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right) \cup \left( B \setminus A \right)$$
\begin{tikzpicture} 
\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1.2cm)} 
\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.3) circle (1cm)} 
\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
\draw[color=black,fill=red] \cercleA; 
\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
\draw[color=black] \cercleO; 
\node at (-1,1) {$\Omega$};
\node at (-0.8,-0.75) {$B\setminus A$};
\node at (0.7,0.7) {$A\setminus B $};
\begin{scope} 
\clip \cercleA; 
\draw[color=black,fill=orange] \cercleB; 
\end{scope} 
\node at (-0.1,-0.1) {$A\cap  B $};
\draw[color=black] \cercleA; 
\draw[color=black] \cercleB;
\end{tikzpicture} 
\end{multicols}
Ainsi 
\begin{eqnarray*}
P(A) + P(B) - P(A\cap B) & = & P\bigg(\left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right)\bigg) + P\bigg( \left( B\setminus A \right)\cup \left(A \cap B  \right) \bigg) - P(A\cap B)\\
& = &  P\bigg(A\setminus B \bigg)+ P\bigg(A \cap B  \bigg) + P\bigg( B\setminus A \bigg)+P\bigg(A \cap B  \bigg) - P(A\cap B)\\
& = & P\bigg(A\setminus B \bigg)+ P\bigg(A \cap B  \bigg) + P\bigg( B\setminus A \bigg)\\
& = & P \bigg(\left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right) \cup \left( B \setminus A \right) \bigg) \\
& = & P(A\cup B)
\end{eqnarray*}
D'où $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$.
\item Cela découle du fait que $A\subset A\cup B$ et $A\cap B\subset A$
\end{enumerate}
}


\Expl{\begin{enumerate}
\item Reprenons donc l'exemple de la somme des deux dés et retrouvons $P(A\cup B)$ à l'aide de la dernière propriété.
$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{15}{36}+\dfrac{18}{36}-\dfrac{1}{36}=\dfrac{32}{36}$$
On vient de retrouver le résultat que l'on avait calculé autrement.
\item Dans un omnisports, diverses activités sportives sont organisés (Foot, Bad, Equitation, ect...). Ce club comporte $200$ adhérents dont $130$ pratiquent le bad, $100$ le foot et $50$ le bad et le foot.\\
On choisit un membre au hasard, et on note $F$ l'événement \og l'adhérent est inscrit à la section foot\fg{} et $B$ l'événement \og l'adhérent est inscrit à la section bad \fg{}.
\\
Déterminons $P(B)$ ; $P(F)$ ;$P(F\cap B)$ ; $P(F\cup B)$ ; $P(\overline{F})$ ; $P(\overline{B})$ et $P(\overline{FUB})$.
\\
En utilisant les données de l'énoncé on obtient trivialement :
$$P(F)=\dfrac{100}{200}\qquad \text{et }\qquad P(B)=\dfrac{130}{200}\qquad \text{puis enfin} P(B\cap F)=\dfrac{50}{200} $$
On en déduit alors :
$$ P(B\cup F)=P(B)+P(F)-P(B\cap F)=\dfrac{130+100-50}{200}=\dfrac{180}{200}$$
puis :
$$ P(\overline{B})=1-P(B)=\dfrac{200-130}{200}=\dfrac{70}{200}\qquad \text{et}\qquad P(\overline{F})=1-P(F)=\dfrac{200-100}{200}=\dfrac{100}{200}$$
et enfin :
$$P(\overline{FUB})=1-P(F\cup B)=\dfrac{200-180}{200}=\dfrac{20}{200} $$
\end{enumerate}}

\pagebreak
\subsection{Calculer des probabilités et modélisation}

\subsubsection{Avec des diagrammes}
\Exoi{Une compagnie d'assurance analyse les contrats souscrits par ses clients. Voici les résultats:
\begin{itemize}
\item $72\%$ ont souscrit une assurance habitation;
\item $54\%$ ont souscrit une assurance auto;
\item $30\%$ ont souscrit une assurance vie;
\item $7\%$ ont souscrit les trois types d'assurance;
\item $25\%$ ont souscrit exactement une assurance auto et une assurance habitation;
\item $31\%$ ont souscrit uniquement une assurance habitation;
\item $14\%$ ont souscrit uniquement une assurance auto;
\end{itemize}
On appelle H l'évènement: \og l'assuré a souscrit une assurance habitation \fg, V: \og l'assuré a souscrit une assurance vie \fg et A: \og l'assuré a souscrit une assurance auto \fg
\begin{enumerate}
\item Compléter le diagramme précédent.
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.03,-1.71)(2.81,3.46)
\rput{0}(0.41,0.1){\psellipse(0,0)(1.73,1.22)}
\rput{90}(0.81,1.55){\psellipse(0,0)(1.65,0.95)}
\pscircle(-0.36,1.06){1}
\rput[tl](0.74,2.86){$A$}
\rput[tl](-0.77,1.82){$V$}
\rput[tl](0.18,-0.51){$H$}
\rput[tl](0.12,1.17){$7\%$}
\rput[tl](0.78,0.82){$25\%$}
\end{pspicture*}
\item La compagnie envoie un courrier à un assuré choisi au hasard. 
 Calculer les probabilités suivantes:
$$A\cap V\cap H\quad, A\cap V\quad,A\cup H\quad, \overline{H}\cap A\quad,\overline{H}\cap \overline{V}\quad, \overline{A\cup H}\quad, \overline{A\cup V} $$
\item Décrire, à l'aide des lettres A, V et H les évènements suivants puis calculer la probabilité:
\begin{enumerate}
\item E:\og l'assuré n'a pas souscrit d'assurance vie, mais il a souscrit une assurance habitation et une assurance auto\fg
\item F:\og l'assuré a souscrit uniquement une assurance auto\fg
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\subsubsection{Avec un arbre}
\Exoi{Un processus aléatoire affiche l'un des nombres $-1$ ou $+1$ dans $4$ cases successives d'un code.
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité des évènements suivants:
\begin{enumerate}
\item la somme des nombres est nulle.
\item le produit des nombres vaut $1$.
\item la suite des nombres est alternée.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\Exoi{
L'urne U1 contient deux boules vertes et trois boules rouges. L'urne U2 contient deux boules rouges et trois boules vertes. On tire une première boule de l'urne U1.
\begin{itemize}
\item Si elle est rouge, on la remet dans cette urne, et on retire une boule de l'urne U1 .
\item Si elle est verte, on tire une boule de l'urne U2 
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Traduire cette situation par un arbre pondéré
\item Déterminer la probabilité d'obtenir une boule rouge suivie d'une verte.
\item Déterminer la probabilité d'un tirage mono colore
\end{enumerate}
}

 \begin{minipage}{8cm}
\begin{exoi} \textbf{La loi des Grands Nombres}\\
Norbert, un élève syldave studieux, lance des fléchettes sur une cible carrée de côté 1. Il atteint toujours la cible (ie le carré de côté 1) mais comme il n'est pas très doué, il pense 
que sa probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à
l'aire de cette zone.\\
Il s'intéresse à la probabilité d'atteindre la zone sous la parabole $y=x^2$. Malheureusement, 
il ne sait pas encore calculer cette aire (il l'apprendra l'an prochain en Terminale S).\\
Il cherche donc à l'estimer par l'expérience, et pour cela, il a rédigé l'algorithme ci-dessous.
\end{exoi}
 \end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{center}
  \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=6cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.1)(1.5,1.2)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray](0,0)(-0.,-0.)(1.,1.)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.1,-0.2)(1.2,1.2)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\pscustom[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{0}{1}{x^2}\lineto(1,0)\lineto(0,0)\closepath}
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(1,0)
\psline[linecolor=zzttqq](1,0)(1,1)
\psline[linecolor=zzttqq](1,1)(0,1)
\psline[linecolor=zzttqq](0,1)(0,0)
\rput{0}(0,0){\psplot{0}{1}{x^2/2/0.5}}
\psline{<-}(0.71,0.5)(1.1,0.45)
\rput[tl](0.2,0.82){$y ~....~x^2$}
\rput[tl](0.72,0.32){$ y ~.... ~x^2 $}
\rput[bl](1.15,0.4){$y ~....~ x^2$}
\rput[bl](-0.2,0.01){{$A (0, 0)$}}
\rput[bl](1.01,0.01){{$B (1, 0)$}}
\rput[bl](1.01,1.01){{$C (1, 1)$}}
\rput[bl](0.01,1.01){{$D (0, 1)$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{enumerate}
  \item Expliquer en quoi cet algorithme simule le lancer de fléchettes en détaillant ce que représentent 
  $X$, $Y$, $N$, $A$ et $K$.
 \item Que représente l'affichage pour le problème de Norbert ?
 \item En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, simuler 500 lancers et noter l'affichage en sortie.
 \item Relancer votre programme plusieurs fois en notant les affichages successifs. \\
 Est-ce toujours les mêmes ? Pourquoi ?
 \item Simuler 1\,000 lancers et en déduire une valeur approchée de l'aire sous la parabole.
\end{enumerate}
\Rq{
Cette méthode s'appelle la méthode de Monte Carlo. On peut aussi l'utiliser pour trouver une valeur approchée de $\pi$. \\
Il suffit de considérer la courbe représentative de la fonction $y=\sqrt{1-x^2}$ sur $[0,1]$ qui dessine un quart de cercle
dans un carré de côté 1. Cependant, il faut beaucoup de lancers pour obtenir une bonne approximation de $\pi$.
}
\end{minipage} \qquad
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{Algo}{8cm}{
  {N est un entier naturel\\
  X et Y sont des réels compris entre 0 et 1}
\\A prend la valeur 0
   \\
  Saisir N\\
  \For{~K allant de 1 à N~}{
  X prend une valeur aléatoire entre 0 et 1\\
  Y prend une valeur aléatoire entre 0 et 1\\
  \IfThenElse{~$Y>X^2$~}{A prend la valeur A+1}{K prend la valeur K+1}
  }
  Afficher $\dfrac{A}{N}$
  }
 \end{Algo}
 \end{minipage}

\Exoi{
Alice arrive dans un square qui comporte deux bancs avec deux places chacun. Sur l'un deux il y a une personne (Bob) déjà installé ; l'autre est en revanche vide. Fatigué Alice s'installe en laissant le hasard la guider ; quelle est la probabilité qu'Alice s'installe à côté de Bob ?
}



\pagebreak


%\section{Notion de hasard}
%\subsection{Quelques problèmes d'introduction}


%\Pbl{A votre avis, quelle est la probabilité que dans un groupe de 30 personnes, deux personnes aient leur 
%anniversaire le même jour de l'année ? ($\simeq 70 \%$) Dans un groupe de 60 personnes ? ($\simeq 99 \%$)\newline 
%A votre avis, combien doit-on réunir de personnes pour avoir au moins une chance sur deux que deux personnes de ce groupe
%aient leur anniversaire le même jour de l'année ? (23 personnes)
%} \\
%
%
%\Pbl{Un jeu t\'el\'evis\'e se d\'eroule de la mani\`ere suivante : il y a trois portes, derri\`ere l'une d'entre elles
%se trouve $10 000\euro$ et rien derri\`ere les deux autres. Un candidat choisit au hasard l'une des trois. 
%Ensuite le pr\'esentateur \'elimine une des deux mauvaises portes, tout en conservant celle choisie par le candidat. 
%Le candidat peut alors conserver son choix ou le changer. 
%\newline 
%Que vaut-il mieux faire pour le candidat, changer ou conserver son choix ? 
%Quelles sont ses chances de gagner dans le premier cas, et dans le deuxi\`eme ?
%}\\
%
%
%\textbf{\underline{Objectifs} :} établir une discussion au sein de la classe, percevoir les intuitions de chacun et éveiller
%la curiosité. \\
%Il n'est absolumment pas prévu de les faire répondre rigoureusement, simplement de trouver des pistes de solution, et 
%de constater l'utilité d'une modélisation mathématique.
%
%\subsection{Expérience aléatoire et événements}




%\Expls{
%\begin{itemize}
% \item On lance une pièce de monnaie et on s'intéresse à la face obtenue : $\Omega=\{P,F\}$ et Card$(\Omega)=2$\\
%Remarquons que rien n'empêche d'ajouter l'issue \og Tranche \fg\, à cet univers. 
%C'est l'énoncé qui définit l'univers. En l'absence d'indication, on considère tacitement qu'il s'agit de 
%l'univers usuellement utilisé dans telle ou telle situation.
% %\item On lance un dé à $6$ faces et on regarde la face obtenue : $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$ et $\#\Omega=6$.
% \item On lance un dé à $6$ faces on regarde si le numéro obtenu est pair ou impair : 
%$\Omega=\{P,I\}$ et $\#\Omega=2$.\\
%On remarque que l'univers dépend de l'observation qui est faite.
%\item On lance deux dés et on fait le produit $P$ des nombres obtenus :\\
%$ \Omega_P=\{1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;14;15;16;18;20;24;25;30;36\}$
%et Card$(\Omega)=19$.\\
%La partie $A=\{6,12,18,24,30,36\}$ de l'univers est un événement qui peut se décrire par la phrase : \og Obtenir un multiple de 6 \fg.
%\end{itemize}
%}
%
%\Expls{
%Il existe aussi des expériences aléatoires qui comportent une infinité d'issues :
%\begin{itemize}
% \item Choisir au hasard un entier naturel $\Omega = \N$ (ce type d'ensemble est dit \textit{infini dénombrable})
% \item Choisir au hasard un réel entre 0 et 1 : $\Omega=[0;1]$ (\textit{infini non dénombrable})
% \item Choisir un nombre premier au hasard : $\Omega=\{\text{Nombres premiers}\}$ (\textit{infini dénombrable})
%\end{itemize}
%}
%
%\noindent \textit{Dans tout ce chapitre, on considère désormais expérience aléatoire d'univers fini $\Omega=\left\{\omega_1;\omega_2;\dots ; \omega_n\right\}$ (Card$(\Omega)=n$).
%}

%\subsection{Loi de probabilité}
%
%\begin{defi}
%Définir une loi de probabilité $P$ sur $\Omega $ c'est associer à chaque éventualité $\omega_i \in \Omega$ un nombre 
%$p_i\in [0;1]$ de sorte que :
%\begin{itemize}
%  \item $\overset{n}{\underset{i=1}{\begin{Large}\Sigma \end{Large}}} p_i=p_1+p_2+\dots+p_n=1$
% \item La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est la somme des probabilités des 
%événements élémentaires qui le composent.
%\end{itemize}
%\end{defi}

%
%
%\Expl{Soit un dé truqué dont les probabilités des faces d'apparitions sont données par le tableau suivant :}
%%\begin{table}[h]
%%\center
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
%\hline
%\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Eventualité & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$  \tabularnewline\hline
%\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Probabilité & $ 0,05$ & $ 0,05 $ & $ 0,1$ & $ 0,1 $ & $ 0,2 $ & $a$ \tabularnewline\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%%\end{table}
%\begin{enumerate}
%\item Calculer la probabilité de l'éventualité : \og le dé tombe sur 6 \fg.
%\item Calculer la probabilité de l'événement $A=$\og obtenir un résultat inférieur ou égal à 4 \fg.
%\item Calculer la probabilité de l'événement $B=$\og obtenir un nombre premier \fg.
%\item Calculer la probabilité de l'événement $C=$ \og obtenir un nombre pair \fg.\\
%\end{enumerate} 
%
%
%\Expl{
%Dans le cas d'un dé parfaitement cubique, chaque face a autant de chances qu'une autre d'apparaître et on choisira comme loi de probabilité celle qui a chaque éventualité associe le nombre $ \dfrac{1}{6}$\newline
%Considérons un dé où tous les nombres ont les mêmes chances d'apparitions sauf $1$ et $2$ qui apparaîssent deux fois plus souvent. La loi de probabilité convenant à cette expérience est telle que : 
%$$ p_1=p_2 = 2 p_3 = 2p_4=2p_5=2p_6\qquad \text{Notons $a=p_3$, alors $p_1=2a$}$$
%Comme   \begin{displaymath}
%  \overset{n}{\underset{i=1}{\begin{Large}\Sigma \end{Large}}} p_i=1
%\end{displaymath} on a $ 2a+2a+a+a+a+a=1\Longleftrightarrow 8a=1\Longleftrightarrow a=\dfrac{1}{8}$
%\newline
%Au final on peut résumer la loi de probabilité que l'on choisira pour modéliser cette expérience dans le tableau suivant :
%}
%\begin{table}[h]
%\center
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
%\hline
%\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Eventualité & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & Total \tabularnewline\hline
%\rule[-3ex]{0pt}{8ex} Probabilité & $ \dfrac{1}{4} $ & $ \dfrac{1}{4} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $ & $ \dfrac{1}{8}  $ & $1$\tabularnewline\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{table}


%\subsection{Equiprobabilité}
%
%\begin{defi}Lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont même probabilité, on dit qu'il y a \underline{équiprobabilité} ou que 
%la loi de probabilité est \underline{équirépartie}. 
%\end{defi}
%
%\begin{prop}Lorsque la loi de probabilité est équirépartie, la probabilité d'un événement $A$ est :
%$$ P(A)=\dfrac{\text{nombre d'éventualités favorables}}{\text{nombre d'éventualités possibles}}=\dfrac{\text{Card} (A)}{\text{Card} (\varOmega)}$$
%\end{prop}
%
%\Expls{
%\begin{enumerate}
% \item Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité de tirer le valet de coeur est $\dfrac{1}{32}$. \\
%Celle de tirer un valet est $\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$.\\
%Celle de tirer un coeur est $\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$.
% \item On lance deux fois une pièce équilibrée et l’on note les faces obtenues. \\
%L'univers $\varOmega$ est $ \varOmega=\{PP;PF;FP;FF\}$ et 
%chaque éventualité a la même probabilité $\dfrac{1}{4}$.\\
%La probabilité de l'événement A \og obtenir Pile et Face \fg $=\{PF;FP\}$ est donc $P(A)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.\\
%La probabilité de l'événement B \og obtenir au plus une fois pile \fg\, $=\{FF, PF,FP\}$ est $P(B)=\dfrac34$. 
%\end{enumerate}
%}


%\section{Probabilité d'événement}
%\subsection{Base de la théorie des ensembles}
%Les mathématiques utilisent toutes sortes d'ensembles (finis, infinis dénombrables, infinis non dénombrables). 
%Le but de cette partie n'est pas de faire une étude complète de la théorie des ensembles (trop complexe) 
%mais de proposer une approche intuitives des notions les plus utilisées de cette théorie dans le domaine des probabilités.\newline
%Ainsi, nous ne tenterons pas de définir rigoureusement ce qu'est un ensemble. Disons simplement qu'un ensemble 
%s'apparente à une liste (finie ou non) d'objet distincts possédant un certain nombre de propriétés communes 
%(par exemple l'ensemble des nombres entiers naturels multiples de 2, ou encore l'ensemble des polynômes de degré 2,
% $\dots$). 
%Un ensemble se note avec des accolades. On considère ces objets dans leur globalité sans tenir compte d'un ordre éventuel.
%Par exemple si $E$ est l'ensemble des entiers naturels pairs inférieurs à 
%$9$ alors : $$ E=\{0;2;4;6;8\} = \{2;8;4;6;0\}$$
%On utilisera les symboles $\in$ et $\notin$ pour signifier qu'un élément appartient ou non à un ensemble :
%$$ 2\in E \qquad \text{ et }3 \notin E$$
%Enfin nous noterons $\emptyset $ l'ensemble qui n'a pas d'éléments (ensemble vide).
%
%\Act{Une urne contient deux jetons rouges marquées $R_1$ et $R_2$ et deux jetons jaunes marquées $J_2$ et $J_3$.\\
%On tire au hasard un premier jeton dans l'urne, puis, sans le remettre, on tire au hasard un deuxième jeton.\\
%On note à chaque tirage la couleur et le numéro obtenu.
%\begin{enumerate}
% \item Quel est l'univers de cet expérience ?
% \item Ecrire sous forme d'ensemble les événements suivants, puis déterminer leur probabilité :
%\begin{itemize}
% \item A:\og Obtenir deux jetons de même couleur ou de même numéro \fg
% \item B : \og Obtenir deux jetons portant des numéros ayant un écart de 1 \fg
%\item C : \og Obtenir A et B \fg
%\end{itemize}
%\end{enumerate}
%\textbf{\underline{Objectifs} : } Réinvestir le vocabulaire vu précédemment, ainsi que l'équiprobabilité.\\
%Travailler sur les ensembles.\\
%Utiliser les arbres de probabilité vu en seconde.
%}
%
%
%\begin{center}
%\newcolumntype{C}[1]{>{\center}m{#1}}
%\begin{tabular}{|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}|} \hline 
%$A\cap B$ & $A\cup B$  & $\overline{A}$ &  $A\cap B = \emptyset$ \tabularnewline\hline
%\textbf{Intersection de $A$ et $B$ :} Eléments communs de $A$ et $B$
% & \textbf{Réunion de $A$ et $B$ : } Eléments de $A$ ou $B$ (voire les deux)
%& \textbf{Complémentaire de $A$ :} Eléments de $\Omega$ non dans $A$
%& \textbf{ $A$ et $B$ sont disjoints} : Aucun élément commun à $A$ et $B$ \tabularnewline\hline
% \begin{tikzpicture} 
%\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
%\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
%\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
%\draw[color=black] \cercleA; 
%\draw[color=black] \cercleB; 
%\draw[color=black] \cercleO; 
%\begin{scope} 
%\clip \cercleA; 
%\draw[color=black,fill=red] \cercleB; 
%\end{scope} 
%\node at (-1,1) {$\Omega$};
%\node at (-0.9,0) {$B$};
%\node at (0.7,0.7) {$A$};
%\end{tikzpicture}
% &
%\begin{tikzpicture} 
%\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1cm)} 
%\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.1) circle (0.8cm)} 
%\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
%\draw[color=black,fill=yellow] \cercleA; 
%\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
%\draw[color=black] \cercleA; 
%\draw[color=black] \cercleB;
%\draw[color=black] \cercleO; 
%\node at (-1,1) {$\Omega$};
%\node at (-0.9,0) {$B$};
%\node at (0.7,0.7) {$A$};
%\end{tikzpicture} 
%&\begin{tikzpicture} 
%\newcommand{\cercleA}{(0.50,0.2) circle (1cm)} 
%\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
%\draw[color=black] \cercleA; 
%\draw[color=black] \cercleO; 
%\draw[color=black,fill=blue!50] \cercleO; 
%\begin{scope} 
%\clip \cercleA; 
%\draw[color=black,fill=white] \cercleO; 
%\end{scope} 
%\node at (-1,1) {$\Omega$};
%\node at (0.7,0.7) {$A$};
%\node at (-0.9,-0.5) {$\overline{A}$};
%\end{tikzpicture}
% & \begin{tikzpicture} 
%\newcommand{\cercleA}{(0.6,0.5) circle (0.9cm)} 
%\newcommand{\cercleB}{(-0.7,-0.7) circle (0.7cm)} 
%\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)}
%\draw[color=black] \cercleA; 
%\draw[color=black] \cercleB; 
%\draw[color=black] \cercleO; 
%\node at (-1,1) {$\Omega$};
%\node at (-0.9,-0.5) {$B$};
%\node at (0.7,0.9) {$A$};
%\end{tikzpicture}
%\tabularnewline\hline
% \end{tabular}
%\end{center}
%
%\Expls{
%On considère les ensembles suivants :
%\begin{multicols}{2}
% \begin{itemize}
%\item $\Omega=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\}$
% \item $ A=\{2;4;6;8\}$ 
% \item $B=\{1;2;3;4;7\}$
% \item $C=\{2;6\}$
% \item $D=$\og Tirer un roi  (dans un jeu de cartes) \fg
% \item $E=$ \og Tirer un coeur (dans un jeu de cartes) \fg 
% \item $F=$ \og Tirer une figure  (dans un jeu de cartes) \fg
%\end{itemize}
%\end{multicols}
%Alors :
%\begin{enumerate}
% \item $C\subset A$ \qquad \qquad $D\subset F  $
% \item $A\cap B=\{2;4\}$ \qquad \qquad \qquad  
%$B\cap C=\emptyset$ donc $B$ et $C$ sont disjoints (ou incompatibles) \\
%$D\cap E = $\og Tirer le roi de coeur \fg
% \item $A\cup B=\{1;2;3;4;6;7;8\}$\qquad \qquad\qquad   $A\cup C = A$ \\
%$D\cup E = $\og Tirer un coeur ou un roi  \fg (15 cartes)
% \item $ \overline{A}=\{0;1;3;5;7\}$ 
% \qquad \qquad \qquad $\overline{E}= $\og Tirer un pique, un carreau ou un trèfle \fg
%\end{enumerate}
%}

%\Rq{On a toujours
%$$\emptyset \subset A \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad A\cup \overline{A}=\Omega \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 
%A\cap \overline{A}=\emptyset$$
%}


%\subsection{Quelques propriétés}


%\begin{prop}Si deux événements $A$ et $B$ sont \textbf{incompatibles}, alors la probabilité de leur réunion est égale à la somme 
%de leurs probabilités :
%$$ \text{Si } A\cap B=\emptyset \text{ alors }P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$
%\end{prop}
%
%\Dem{Si l'un des événements $A$ et $B$ est l'ensemble vide, alors la relation précédente est évidente.\newline
%Dans le cas contraire, $P(A)$ est la somme des probabilités des éléments de $A$ et $P(B)$ est la somme des probabilités des éléments de $B$. Puisque $A$ et $B$ sont disjoints, $A\cup B$ contient exactement tous les éléments de $A$ et tous ceux de $B$. Par conséquent $P(A)+P(B)$ est égal à la somme des probabilités des élements de $A\cup B$, i.e $P(A\cup B)$}
%
%\begin{prop}Pour tous événements $A$ et $B$ de $\Omega$ on a :
%$$P(\emptyset)=0 \qquad \qquad \qquad P(\overline{A})=1-P(A) 
%\qquad \qquad \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$
%\end{prop}
%
%\Dem{
%\begin{enumerate}
%\item  $$1=P(\Omega)=P(\emptyset \cup \Omega) = P(\emptyset) + P(\Omega) = P(\emptyset) +  1 $$
%D'où $P(\emptyset) =0$.
% \item $$1=P(\Omega)=P(A \cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$$
%D'où $P(\overline{A})=1-P(A)$
% \item Tout repose sur ces découpages en événements disjoints deux à deux :
%\begin{multicols}{2}
%   $$ A =  \left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right)$$
%$$ B =  \left( B\setminus A \right)\cup \left(A \cap B  \right)$$
%$$A \cup B =  \left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right) \cup \left( B \setminus A \right)$$
%\begin{tikzpicture} 
%\newcommand{\cercleA}{(0.5,0.2) circle (1.2cm)} 
%\newcommand{\cercleB}{(-0.5,-0.3) circle (1cm)} 
%\newcommand{\cercleO}{(0,0) circle (1.8cm)} 
%\draw[color=black,fill=red] \cercleA; 
%\draw[color=black,fill=yellow] \cercleB; 
%\draw[color=black] \cercleO; 
%\node at (-1,1) {$\Omega$};
%\node at (-0.8,-0.75) {$B\setminus A$};
%\node at (0.7,0.7) {$A\setminus B $};
%\begin{scope} 
%\clip \cercleA; 
%\draw[color=black,fill=orange] \cercleB; 
%\end{scope} 
%\node at (-0.1,-0.1) {$A\cap  B $};
%\draw[color=black] \cercleA; 
%\draw[color=black] \cercleB;
%\end{tikzpicture} 
%\end{multicols}
%\end{enumerate}
%Ainsi 
%\begin{eqnarray*}
%P(A) + P(B) - P(A\cap B) & = & P\bigg(\left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right)\bigg) + P\bigg( \left( B\setminus A \right)\cup \left(A \cap B  \right) \bigg) - P(A\cap B)\\
%& = &  P\bigg(A\setminus B \bigg)+ P\bigg(A \cap B  \bigg) + P\bigg( B\setminus A \bigg)+P\bigg(A \cap B  \bigg) - P(A\cap B)\\
%& = & P\bigg(A\setminus B \bigg)+ P\bigg(A \cap B  \bigg) + P\bigg( B\setminus A \bigg)\\
%& = & P \bigg(\left( A\setminus B \right)\cup \left(A \cap B  \right) \cup \left( B \setminus A \right) \bigg) \\
%& = & P(A\cup B)
%\end{eqnarray*}
%D'où $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
%}
%

%\Expl{Dans une classe, $10\%$ des élèves jouent d’un instrument à cordes, $20\%$
%jouent d’un instrument à vent et $5\%$ jouent d’un instrument à corde et d’un instrument à vent. On
%choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu’il joue d’un instrument à cordes ou à vent ?
%}
%
%\Expl{Dans un club, plusieurs activités sont proposés dont le tir à l'arc et le golf. Parmi les $50$ adhérents, $30$ pratiquent le tir à l'arc, $18$ le golf et $6$ les deux sports. Quelle est la probabilité pour qu'un adhérent choisi au hasard :
%\begin{enumerate}
%\item pratique le tir à l'arc ? le golf ?
%\item pratique l'un au moins des deux sports ?
%\item ne pratique ni le tir à l'arc, ni le golf ?
%\end{enumerate}
%}\\

\subsection{Quelques exercices}
 
\Exoi{\\
Dans un univers $\Omega$, on donne deux événements $A$ et $B$ incompatibles tels que $p(A) = 0,2$ et $p(B) = 0,7$.\\
Calculer $p(A \cap B)$, $p(A \cup B)$, $p ( \overline{A} )$ et $p ( \overline{B} )$.
}

\Exoi{
Les résultats au bac 2009 ont battu des records de réussite, voici quelques chiffres :\\
%\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{3cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} \textbf{Séries} & \textbf{Effectifs des reçus} & \textbf{Effectifs des filles reçues} & \textbf{Taux de réussite} \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} \textbf{Littéraire} & $47\,765$  & $37\, 878$  & $87.1$ \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} \textbf{Economique} & $90\,466$  & $56\, 994$  & $88.5$ \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} \textbf{Scientifique} & $148\,531$  & $69\, 810$  & $89.6$ \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} \textbf{Total} & $286\,762$  & $164\, 682$  & $88.8$ \tabularnewline\hline
\end{tabular}
%\end{center}
\begin{enumerate}
 \item On édite le diplôme d'un bachelier (fille ou garçon) de la session 2009. Quelle est la probabilité pour que ce soit celui 
d'un bachelier scientifique ?
 \item On édite le diplôme d'un bachelier de la session 2009 de la série économique. Quelle est la probabilité pour que ce soit celui 
d'une bachelière ?
 \item On édite le diplôme d'une bachelière de la session 2009. Quelle est la probabilité pour que ce soit celui d'une bachelière
littéraire ?
\end{enumerate}
}

\Exoi{On lance $n$ dés ($n\geq 1)$. On note $A$ l'événement \og obtenir au moins un $6$\fg
\begin{enumerate}
\item Décrire $\bar{A}$ puis exprimer en fonction de $n$ la probabilité $P(\bar{A})$
\item En déduire que $P(A)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^6$
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} gain $n$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$  & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(A)$ &  &  &   &   & & & &\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Combien de dés faut-il lancer pour que la probabilité d'obtenir au moins un six soit supérieure à $ \dfrac{3}{4}$ ?
\end{enumerate}
}

\Exoi{
On souhaite répondre à la question suivante : dans une même classe, y a-t-il plus d'une chance sur deux pour qu'au moins deux élèves de la classe
aient la même date d'anniversaire ?\\
On considérera une classe de $30$ élèves et, pour simplifier, on dira qu'une année comporte 365 jours.
\begin{enumerate}
 \item Combien existe-t-il de listes différentes contenant $30$ dates d'anniversaire (identiques ou non) ? %\\
%\textit{On pourra raisonner à l'aide d'un arbre, sans toutefois le réaliser !}
\item Notons $A$ l'événement \og au moins deux élèves de la classe ont la même date d'anniversaire \fg.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer en français l'événement $\overline{A}$.
\item Quel est le nombre de cas favorables à $\overline{A}$ ?%\\
%\textit{On pourra à nouveau raisonner à l'aide d'un arbre.}
\item Répondre à la question posée en début d'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\pagebreak
\section{Variable aléatoire}

\subsection{Définition}
\Act{
L'éducation coûte trop cher. Afin de réaliser des économies, le
gouvernement syldave  a décidé de se passer à la fois de
correcteurs et d'élèves. Tout est simulé dans les bureaux du
ministère, le but étant d'obtenir une moyenne nationale
satisfaisante à présenter aux investisseurs étrangers qui se
rueront en Syldavie pour profiter d'une main d'\oe uvre aussi
qualifiée.\\
 Le candidat virtuel jette un dé virtuel~: s'il sort un 6, il a 20, s'il
tombe sur un autre numéro pair il a 10, s'il tombe sur un numéro
impair, il a 5.\\
Quelle moyenne nationale peut \textsl{espérer} obtenir le
ministre~? Cette moyenne est-elle une moyenne~? Cette moyenne
sera-t-elle effectivement atteinte~?\\\\
Les derniers syldaves touchant  un salaire pour leur travail
coûtent encore trop cher aux entreprises. Un nouveau système de
rémunération a donc été mis au point par l'ancien ministre de
l'éducation syldave installé aujourd'hui au ministère des
finances.\\
Pour garder son emploi, le salarié doit chaque mois verser 1000
neurones à l'entreprise puis doit lancer un dé. S'il sort un 6, il
touche 3000 neurones~: les 1000 versés au départ par le salarié
plus 2000 versés par l'entreprise. Dans les autres cas,
l'entreprise garde les 1000 neurones.\\
Quelle salaire un employé peut-il espérer toucher~?\\
Que se passera-t-il si l'entreprise propose 5000 neurones au lieu
des 2000~? Et si elle propose 1\,000\,000\,000 de neurones avec un
dé à 100 faces pour un versement initial de 1\,000\,000 de
neurones~?
}


\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Introduire la notion de variable aléatoire, la présentation d'une loi de probabilité ...
 \item Donner du sens à la notion d'espérance, critiquer la valeur trouvée (atteinte ou non, ce qu'elle n'indique pas ...)
\end{itemize}

\medskip

\begin{defi}On appelle \textbf{variable aléatoire} toute fonction de $\Omega$ dans $\R$, notée en général $X$.\\
Autrement dit, définir une variable aléatoire sur $\Omega$ c'est à associer un réel $x_i$ à chaque éventualité $\omega_i$.
\end{defi}

\Rq{
 Soit $x_i$ le réel associé à l'issue $\omega_i$ de l'univers. On note $(X=x_i)$ l'événement \og la variable 
aléatoire $X$ prend la valeur $x_i$ \fg 
}

\Expl{On lance trois pièces de monnaie, que l'on numérote $1$ ; $2$ et $3$. Le jeu qui consiste à gagner $1$ $\euro$ chaque fois que $F$ apparaît et à perdre $1$ $\euro$ chaque fois que $P$ apparaît\newline
La fonction $X$ qui, à chaque issue, associe le gain (positif ou négatif) correspondant, est une variable aléatoire sur $\Omega$.}

\begin{defi}[Proposition (Admise)]La \textbf{loi de probabilité} d'une variable aléatoire $X$ est la fonction de $X(\Omega)$ dans $[0;1]$,
qui à chaque $x_i\in X(\Omega)$ associe le nombre $P(X=x_i)$.
\end{defi}

\Rqs{\item Il s'agit bien d'une probabilité sur $X(\Omega)$.
\item On représente cette loi à l'aide du tableau ci-dessous :
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} Valeurs $x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $\dots$ & $x_m$  & Total \tabularnewline\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} $P(X=x_i)$ & $ p_1$ & $ p_2 $ & $ \dots $ & $ p_m $  & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
}
\noindent \textit{Nous utiliserons désormais toutes ces notations.}

\Expl{Dans l'exemple ci-dessus, la loi de probabilité du gain $X$ est résumée dans le tableau suivant :}
\begin{table}[h]
\center
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{1cm}|>{\centering}p{2cm}|}
\hline
\rule[-1ex]{0pt}{4ex} gain $x_i$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$  & Total \tabularnewline\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex} $P(X=x_i)$ & $ \dfrac{1}{8}$ & $ \dfrac{3}{8} $ & $ \dfrac{3}{8} $ & $ \dfrac{1}{8} $  & $1$\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}



\subsection{Paramètres : espérance et variance}

\Act{
On reprend l'activité précédente sur les élèves de Syldavie. \\
Pour rentrer à l'université de Springfield, ils sont mis en compétition avec les élèves de Groland. \\
Cette université privilégie les élèves du pays au meilleur résultat moyen espéré et la sa régularité.\\
A Groland également, on a décidé de tirer les résultats du baccalauréat aux dés. Voici la règle :
Lorsqu'on obtient 6 au dé, l'élève a 20. Un autre nombre pair fournit un 5 à l'élève. Ensuite s'il sort 1, l'élève a 
0, s'il sort 3, l'élève a 10 et enfin, s'il sort 5, l'élève a 15.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la moyenne nationale que peut espérer obtenir Groland.
 \item De quels moyens dispose-t-on pour comparer la régularité de chacun des pays ?
\end{enumerate}
}

\textbf{\underline{Objectifs} :} 
\begin{itemize}
 \item Réinvestir ce que les élèves viennent d'apprendre sur les variables aléatoires.
 \item Parler d'étendue, écart interquartile, écart à la moyenne (sans valeur absolue, avec) ... suivant leurs idées (recherche en groupe)
 \item Introduire le sens de la variance et de l'écart-type.
\end{itemize}


\begin{defi}L'espérance mathématique de $X$ est le nombre $E(X)$ définie par : 
$$ E(X)=\ds\sum_{i=1}^mx_i\times p(X=x_i)= \ds\sum_{i=1}^mx_ipi= p_1x_1+p_2x_2+\dots +p_mx_m $$
La variance de $X$ est le nombre $V(X)$ définie par : 
$$ V(X)=\ds\sum_{i=1}^m [x_i-E(X)]^2 p(X=x_i) =\ds\sum_{i=1}^m  [x_i-E(X)]^2 pi=[x_1-E(X)]^2p_1+\dots +[x_m-E(X)]^2p_m$$
L'écart-type de $X$ est le nombre $\sigma(X)$ définie par : 
$$ \sigma(X)=\sqrt{V(X)}$$
\end{defi}


\Rqs{
\item On a choisi d'utiliser les carrés pour la variance de manière arbitraire pour ne pas avoir de problèmes de signes ; 
on aurait pu choisir une autre méthode, mais celle-ci a l'avantage de rappeler la distance euclidienne bien connue.
La variance est en ce sens homogène au carré d'une distance. L'écart-type définit donc une distance proprement 
dite.
\item Lorsque $X$ représente le gain du joueur à un jeu de hasard,
$E(X)$ représente le gain moyen qu’il peut espérer par partie, lorsqu’on joue un grand nombre de fois. 
L’écart type est une caractéristique de la dispersion des valeurs de $X$, autrement dit, cela représente le risque du jeu.
\item Vous pouvez obtenir ces valeurs très facilement à l'aide de vos calculatrices. Il suffit de rentrer les valeurs prises par la variable
aléatoire en liste 1, et les probabilités en liste 2.
}

\Expls{Dans l'exemple précédent et calculer l'espérance, la variance et l'écart-type. Interpréter vos résultats.\\
Mêmes questions pour les deux exemples de l'activité.}

\begin{prop}
Notons $m=E(X)$. La variance de la variable aléatoire $X$ se calcule plus facilement grâce à la formule :
$$V(X)=\ds\sum_{i=1}^mx_i^2pi-m^2$$
\end{prop}
\Rq{
On note encore $V(X)=E(X^2)-\left(E(X)\right)^2$
}

\Dem{
\begin{eqnarray*}
 V(X) & = & \sum_{i=1}^m \big(x_1-E(X)\big)^2p_i \\
&=& \sum_{i=1}^m \left(x_i^2-2x_i E(X) + \left(E(X)\right)^2 \right) p_i\\
&=& \sum_{i=1}^m x_i^2p_i-2E(X)\sum_{i=1}^m x_ip_i + \big(E(X)\big)^2 \sum_{i=1}^m  p_i
\end{eqnarray*}
}
\DemS{
\begin{eqnarray*}
 V(X) &=& \sum_{i=1}^m x_i^2p_i-2E(X)E(X) + \big(E(X)\big)^2 \times 1\\
&=& E(X^2)-2\big(E(X)\big)^2 + \big(E(X)\big)^2 \\
&=& E\big(X^2\big)-\big(E(X)\big)^2
\end{eqnarray*}
}


\begin{prop}
Soient $a$ et $b$ deux réels.\\% et $Y$ une variable aléatoire sur $\Omega$.\\
L'espérance est linéaire : $E(aX+b)=aE(X)+b$ %et $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
\\
On en dédut la formule : $V(aX+b)=a^2V(X)$
\end{prop} 

\Dem{
\begin{eqnarray*}
 E(aX+b)&=&Card  \big(ax_i+b\big)p_i = \sum_{i=1}^m \big(ax_ip_i + bp_i \big) \\
&=& a\sum_{i=1}^m x_ip_i + b\sum_{i=1}^m p_i \\
&=& a E(X) + b
\end{eqnarray*}
%$$  E(X+Y) = \sum_{i=1}^m(x_i+y_i)pi = \sum_{i=1}^mx_ipi + \sum_{i=1}^my_ipi = E(X)+E(Y) $$
\begin{eqnarray*}
 V(aX+b)&=&\sum_{i=1}^m \big(ax_i+b)^2pi-\big(E(aX+b)\big)^2\\
&=& \sum_{i=1}^m \big(a^2x_i^2+2abx_i+b^2)pi-\big(aE(X)+b\big)^2\\
&=& \sum_{i=1}^m a^2x_i^2p_i + 2ab\sum_{i=1}^m x_ip_i+b^2\sum_{i=1}^m pi-\big(a^2E^2(X)+2abE(X)+b^2\big)\\
&=& a^2\sum_{i=1}^m x_i^2p_i + 2abE(X)+b^2-a^2E^2(X)-2abE(X)-b^2\\
&=& a^2\left(\sum_{i=1}^m x_i^2p_i-E^2(X) \right)\\
&=& a^2V(X)
\end{eqnarray*}
}






\Exoi{\hfill \textbf{Challenge}\\
Combien y a-t-il de façons de choisir 2 délégués parmi les élèves de votre classe ?
}


 \epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens}{David Hilbert}{mathématicien} 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
\end{document}