\documentclass[4apaper,10pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Trigonom\'etrie}
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\newcommand{\Annee}{2014-2015}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

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\setcounter{NumLecon}{3}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}



\ddwicky{wire.eps}{The Wire}{David Simon}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Sur écoute (The Wire) est une série télévisée américaine, créée par David Simon et Ed Burns.\\
Elle a pour sujet la criminalité dans la ville de Baltimore, à travers la vision de ceux qui la vivent au quotidien : policiers, trafiquants en tous genres, politiques, enseignants, journalistes, résidents de Baltimore, etc.
\\
Avec un aspect de quasi-documentaire par son réalisme et son non-manichéisme, la série est acclamée par la critique, bien qu'elle n'ait pas connu un succès commercial important. Elle est souvent considérée comme la meilleure série télévisée jamais diffusée à la télévision, et l'une des fictions les plus abouties dans les années 2000, notamment pour sa représentation réaliste quasi littéraire de la vie urbaine, et son exploration profonde des thèmes socio-politiques de l'Amérique. 
\\
Le tour de force de la série est de s'engager, sur le plan social, en montrant sans détour les pans les plus sombres du décor américain, son revers le plus inavouable, tout en mettant en scène une multitude de points de vue réalistes qui multiplient les questions dérangeantes sans jamais proposer de solution miracle. Il n'y a pas de fausse objectivité rassurante et pas de subjectivité accusatrice sous-jacente, l'épisode ne fait que montrer le plus passivement possible, il en résulte un étrange bourdonnement qui persiste longtemps après sa diffusion.
}{0.5}{0.5}{\item Se repérer sur le cercle trigonométrique
\item Déterminer la mesure principale d'un angle
\item Utiliser les notations d'angle de vecteurs
\item Connaître la définition du cosinus et du sinus d'un nombre réel
\item Connaître les valeurs du cosinus et sinus des angles remarquables
\item Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer des angles associés, leur cosinus et sinus, résoudre des (in)équations
trigonométriques
}

\TITRE{trounoir.eps}{0.6}


\begin{Intro}{Au fil du temps}
Les origines de la trigonom\'etrie remontent aux civilisations d'\'Egypte antique, de M\'esopotamie et de la vall\'ee de l'Indus, 
il y a plus de 4000 ans. Il semblerait que les Babyloniens aient bas\'e la trigonom\'etrie sur un syst\`eme num\'erique \`a base 60.
 Lagadha (-1350 ; -1200) est le premier math\'ematicien \`a utiliser la g\'eom\'etrie et la trigonom\'etrie pour l'astronomie. 
La plupart de ses travaux sont aujourd'hui d\'etruits.
La premi\`ere utilisation de sinus appara\^it dans les sulba Sutras en Inde, entre 800 et 500 avant J.C., o\`u le sinus de
 $ \dfrac{\pi}{4}$ est correctement calcul\'e comme $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ dans un probl\`eme de construction d'un cercle
 de m\^eme aire qu'un carr\'e donn\'e (le contraire de la quadrature du cercle).
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.40, angle=80]{fig2.eps} 
\end{center}
Lorsque qu'on cherche une rue sur un plan de ville, on rep\`ere le rectangle o\`u se trouve cette 
rue gr\^ace \`a une lettre qui d\'efinit une colonne et un nombre qui d\'efinit une ligne du quadrillage 
sur le plan. Les marins ou les g\'eographes rep\`erent un point sur la Terre gr\^ace \`a sa longitude 
et sa latitude. Les astronomes ont besoin, eux, de trois mesures pour rep\'erer un objet spatial, 
par exemple deux angles d\'efinissant une direction et une distance caract\'erisant l'\'eloignement 
de l'objet sur la direction. 
Le rep\'erage est donc indispensable d\`es lors qu'on cherche \`a d\'efinir la position d'un objet dans un espace. Les rep\`eres que nous
 avons utilis\'e jusqu'\`a pr\'esent sont dit cart\'esiens, adjectif cr\'e\'e 
en hommage \`a Descartes (1596 - 1650) math\'ematicien et philosophe fran\c cais qui inventa en 
m\^eme temps que Fermat (1601 - 1665) mais ind\'ependamment de lui, le syst\`eme de coordonn\'ees 
que nous utilisons couramment. Les rep\`eres cart\'esiens utilis\'es jusqu'\`a pr\'esent permettent de 
positionner des points dans un plan. Ils peuvent \^etre compl\'et\'es par une troisi\`eme coordonn\'ee 
permettant de se rep\'erer dans l'espace \`a trois dimensions. Ces rep\`eres ne sont pourtant pas 
les seuls permettant de positionner des objets, nous allons d\'ecouvrir dans ce chapitre comment 
se rep\'erer sur un plan avec un angle et un rayon : gr\^ace aux coordonn\'ees polaires.
\end{Intro}

\newpage

\section{Le cercle trigonométrique}
\subsection{Découper une tarte en trois}

\textbf{\underline{Objectifs} : } Introduire le cercle trigonométrique et les angles orientés.\\

\begin{Exo}
La maman de Norbert a fait une tarte aux pommes. Elle lui demande de la découper 
en 6 parts égales. Il ne dispose que d'un couteau et d'un bout de ficelle. \\
\begin{itemize}
 \item Lui proposer une méthode sur un schéma en utilisant une règle sans ses graduations (pour modéliser son couteau) 
et au compas (l'écart entre les deux points modélisant le bout de ficelle tendu).\\
\item Proposer une méthode (ou trois ?) pour décrire la position des points du bord de la tarte où Norbert 
doit effectuer ses découpes.\\
\end{itemize}
 \end{Exo}

\textit{En général, les élèves trouvent une solution en faisant une rosace. 
Dans ce cas, il faut prendre le temps de démontrer pourquoi cela a l'effet voulu.\\
La description des positions des points sur le cercle permet d'introduire le \textbf{cercle trigonométrique}
et l'orientation des angles. On peut également évoquer la \textbf{longueur d'arc} ainsi que les \textbf{coordonnées} dans un repère orthonormé
associé au cercle.}\\


Une unité de longueur est choisie dans le plan pour tout le chapitre.\\
\begin{minipage}{10cm}
\begin{defi}
Un \textbf{cercle trigonométrique} est un cercle de rayon $1$, muni d'un sens de rotation, 
sur lequel est fix\'e un point \og d'origine \fg.\\
Le sens de rotation \textbf{positif} (ou \textbf{direct}) est le sens inverse des aiguilles d'une montre.
\end{defi}
 \end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(2.8,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psline{->}(0,-2)(0,2)
\pscircle(0,0){2}
\uput{0.3}[0](2,0){$I$}
\uput{0.3}[90](0,2){$J$}
\uput{0.3}[220](0,0){$O$}
\uput{0.2}[-90](0.7,0){$\vec i$}
\uput{0.2}[180](0,0.7){$\vec j$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1](1.4,1.4)
\psline(1.4,1.4)(1.3,1.2)
\psline{-}(1.4,1.4)(1.65,1.45)
\uput{0.3}[0](1.45,1.45){$+$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\Rq{
Le sens d'orientation du cercle nous permet désormais d'orienter les longueurs d'arcs ainsi que les angles.\\
L'angle orienté $\widehat{IOA}$  \og allant de $I$ vers $A$ \fg 
sera désormais noté $\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA}\right)$ (notation qui indique l'orientation 
\og $\overrightarrow{OI}$ vers $\overrightarrow{OA}$ \fg).
Celui allant de $A$ vers $I$ sera donc noté $\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OI}\right)$
}

\Expls{\begin{itemize}
        \item Dessiner des angles tels que 
$\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA}\right)=45^{\circ}$ 
et $\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB}\right)=-60^{\circ}$
\item On a la figure suivante, où $ABCD$ est un rectangle direct tel que $\widehat{ADB}=60^{\circ}$
\begin{multicols}{3}
\begin{center}
\underline{Angles g\'eom\'etriques } 
 \newline
$$\widehat{ADB}=\widehat{BDA}=60^{\circ}$$ 
$$\widehat{ADC}=\widehat{CDA}=90^{\circ}$$
$$\widehat{BDC}=\widehat{CDB}=30^{\circ}$$
\newrgbcolor{ffttqq}{1 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\newrgbcolor{qqwwqq}{0 0.4 0}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.32)(5.5,3.4)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=ffttqq,opacity=0.1](0,0)(5,0)(5,3)(0,3)
\psline[linecolor=ffttqq](0,0)(5,0)
\psline[linecolor=ffttqq](5,0)(5,3)
\psline[linecolor=ffttqq](5,3)(0,3)
\psline[linecolor=ffttqq](0,3)(0,0)
\psline(0,3)(5,0)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.540419500270584}{0.6*cos(t)+0|0.6*sin(t)+3}\lineto(0,3)\closepath}
%\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,3)(0.6,0.6){-90}{-30}
\rput[tl](0.2,2.2){$\qqwwqq{60^{\circ}}$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,0)
\rput[bl](0.08,0.08){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](5,0)
\rput[bl](5.08,0.08){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](5,3)
\rput[bl](5.08,3.08){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](0,3)
\rput[bl](0.08,3.08){$D$}
\end{pspicture*}
\underline{Angles orient\'es } %(angle entre 2 vecteurs)
\newline
\newline
$(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DA})=-60^{\circ}$ et $( \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DB} )=60^{\circ}$\\
$(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA})=-90^{\circ}$ et $( \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC} )=90^{\circ}$\\
$(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC})=30^{\circ}$ et $( \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DB} )=-30^{\circ}$
\end{center}
\end{multicols}
Donner des mesures des angles orientés suivants :
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$ ; $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD}) $ ; $(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CD})$\\
       \end{itemize}
}


Pour tout le chapitre, on utilisera les éléments de la figure ci-dessus. Ainsi :
\begin{itemize}
  \item on note $O$ le centre d'un cercle trigonométrique, $I$ son point d'origine (disposé comme sur la figure) et
  $\vec i = \overrightarrow{OI}$
  \item on note $J$ le point du cercle tel que $\left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OJ}\right) = +90^{\circ}$ et
    $\vec j = \overrightarrow{OJ}$
  \item on munit ainsi le cercle du repère orthonormé direct $(O,\vec i, \vec j)$ ci-dessus (donc d'unité graphique 1)
\end{itemize}

\begin{minipage}{10cm}
Soit $A$ un point du cercle trigonométrique.\\
L'objectif de cette partie est de rappeler les liens entre les mesures
 de l'angle $\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA}\right)$ en degré,
 la longueur des arcs orient\'es reliant $I$ à $A$,
 et les coordonn\'ees du point $A$ dans le rep\`ere $(O;\vec i; \vec j)$
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
 \psset{xunit=1.5cm , yunit=1.5cm,algebraic=true,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2.5,2.5)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psellipticarc[linecolor=blue]{->}(0,0)(0.4,0.4){0}{60}
\psellipticarc[linecolor=green,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(2,2){0}{60}
%\pscustom[linecolor=blue,linewidth=1pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{0.4*cos(t)+0|0.4*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath}
%\pscustom[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0471975511965976}{0.4*cos(t)+0|0.4*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psline(2,0)(-2,0)
\psline(0,2)(0,-2)
\pscircle(0,0){3}
\uput{0.3000}[0](2,0){$I$}
\uput{0.3000}[90](0,2){$J$}
\uput{0.3000}[220](0,0){$O$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](0.94,1.76)
\rput[bl](1.1,1.9){$A$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0.94,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0,1.76)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0)(0.94,1.76)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(2,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,2)
%\rput[bl](1,-0.5){$\vec i$}
%\rput[bl](-0.4,0.9){$\vec j$}
\rput[bl](0.8,-0.3){\red{$x_A$}}
\rput[bl](-0.4,1.5){\red{$y_A$}}
\rput[bl](0.5,0.08){\blue{$\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA}\right)$}}
\rput[bl](1.9,1){\green{$\wideparen{IA}$}}
%\uput{0.3000}[0](1.4500,1.4500){$\mathbb{+}$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\end{minipage}\\



\subsection{Le radian}

\begin{defi}\begin{multicols}{2}
Soit $A$ un point du cercle trigonométrique. \\
On appelle \textbf{mesure en radian de l'angle} $\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA}\right)$ 
la longueur de tout arc orienté reliant $I$ à $A$.
\begin{center}
%\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(11,6.5)
\pscustom[linecolor=zzttqq]{\parametricplot{0.0}{0.6073641476410545}{1*10*cos(t)+0*10*sin(t)+0|0*10*cos(t)+1*10*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.6073641476410545}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\rput[tl](4.84,-0.3){$1$}
\rput[tl](9.8,3.5){$\alpha$}
\rput[bl](-1,-0.3){$O$}
\rput[bl](10.2,-0.3){$I$}
\rput[bl](8.22,5.82){$A$}
\rput[bl](1.53,0.37){$\alpha$ rad}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\end{defi}


\Expl{
\begin{itemize}
 \item Quel est le périmètre d'un cercle trigonométrique ? d'un demi-cercle ?
 \item Donner plusieurs mesure en radian de l'angle $\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OJ}\right)$.
 \item A quelle mesure en radian correspondait un découpage de demi-tarte en 3 par Norbert ?
 \item A combien de parts correspond le découpage d'une demi-tarte d'angle d'ouverture chacune 
 $\dfrac{\pi}4$ ? $\dfrac{\pi}6$ ? $\dfrac{\pi}8$ ?\\
 \textit{Construire tous ces découpages à la règle et au compas (rappels sur les bissectrices).}
 \item Dessiner un cercle trigonométrique et placer les points $A_i$ sur ce cercle tels que :
 $$\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA_1}\right) =\dfrac{\pi}4, 
 \qquad \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA_2}\right)=-\dfrac{\pi}4, 
 \qquad \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA_3}\right)=\dfrac{3\pi}{4}, 
 \qquad\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA_4}\right)=-\dfrac{3\pi}{4}$$
 \item Sur ce même cercle, placer $B_i$ tel que 
 $$\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB}\right)=\dfrac{15\pi}4
 \qquad \left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB_2}\right)=-\dfrac{15\pi}{4}, 
 \qquad\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB_3}\right)=-\dfrac{3606\pi}{4}$$
 \item A quels angles en degré cela correspond-il à chaque fois ? \\
 \textit{Présenter les résultats sous forme d'un tableau}\\
 \item Que remarquez-vous ?\\
 \textit{Proportionalité, correspondance avec les angles dans le sens négatif, non unicité de la mesure}
 \end{itemize}
}

\Rq{
Il n'y a pas unicité de la mesure en radians d'un angle orienté. \\
En général, on donnera la mesure d'un angle comprise entre $-\pi$ et $\pi$ (celle-ci est unique). \\
Elle s'appelle la \textbf{mesure principale} de l'angle.\\
Donner les mesures principales des angles $\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OB_i}\right)$ précédents.\\
\textbf{Introduire la notation $[2\pi]$}
}


\begin{prop}
Les mesures d'angles en degrés et en radians sont proportionnelles.
\end{prop}
\Dem{Les longueurs d'arc sont proportionnelles aux angles en degrés.}

\Expls{
Le périmètre de $\mathscr C$ valant $2\pi$, on en déduit facilement qu'un angle plat mesure $\pi$ radians ; un angle droit $\dfrac{\pi}2$ rad.\\
Avec le tableau de proportionnalité suivant, on trouve convertit n'importe quelle mesure.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
 Mesure en degrés & $180$ & d \\ \hline
 Mesure en radians & $\pi$ & $\alpha$  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Ainsi pour convertir $60^{\circ}$ en radian on calcule $\alpha=\dfrac{60\pi}{180}=\dfrac{\pi}3$ rad.\\\\
Pour convertir $\dfrac{5\pi}{6}$ rad en degré, on calcule $d=\dfrac{\frac{5\pi}{6} \times 180}{\pi} = \dfrac{5 \times 180}{6}=5\times 30 = 150^{\circ}$\\
Ou encore on remplace $\pi$ par $180$ dans la mesure d'angle ...
}

\begin{center}
\textbf{Correspondance degré-Radian}\\
\begin{tabular}{|c*{6}{|C{1cm}}|}
\hline
 Degr\'es & 0 & $30$ & $45$ & $60$ & 90 & 180  \tabularnewline\hline
 Radians & 0  & $ \dfrac{\pi}{6}$  & $ \dfrac{\pi}{4} $  & $ \dfrac{\pi}{3}$  & $ \dfrac{\pi}{2}$  
& $\pi$  \tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}

\Rqs{
\begin{multicols}{2}
\item Au collège, le degré comme unité d'angle convenait parfaitement, même pour la trigonométrie (dans un triangle rectangle).
Mais pour mettre en oeuvre des notions qui seront abordées dans les classes ultérieures, il est plus pratique d'utiliser désormais
le radian.
\item Cette définition ne dépend pas de l'unité de longueur choisie. En fait, dans un cercle de rayon $R$, 1 radian est la mesure d'un angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon $R$.
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(11,10)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0043052892581679}{1*10*cos(t)+0*10*sin(t)+0|0*10*cos(t)+1*10*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0043052892581679}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\rput[tl](4.71,-0.3){$R$}
\rput[tl](8.98,5.38){$R$}
\rput[bl](0.2,-0.96){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](10.12,0.2){$A$}
\rput[bl](5.58,8.76){$B$}
\rput[bl](1.23,0.64){\qqwuqq{$1 rad$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}




\subsection{Trigonométrie}


\begin{defi}
Soit $\theta\in\R$ et $A$ le point du cercle trigonométrique tel que 
$\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OA}\right)=\theta$ .\\
On appelle \textbf{cosinus} de $\theta$, noté $\cos(\theta)$ l'abscisse de $A$ dans le repère 
$(O; \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OJ})$.\\
On appelle \textbf{sinus} de $\theta$, noté $\sin(\theta)$ son ordonnée dans le même repère.
\end{defi}

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
 \psset{xunit=1.5cm , yunit=1.5cm,algebraic=true,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2.5,2.5)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(3.2,3.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscustom[linecolor=blue,linewidth=1pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{0.4*cos(t)+0|0.4*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath}
\psline(2.0000,0.0000)(-2.0000,0.0000)
\psline(0.0000,2.0000)(0.0000,-2.0000)
\pscircle(0.0000,0.0000){3.0000}
\uput{0.3000}[0.0000](2.0000,0.0000){$I$}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,2.0000){$J$}
\uput{0.3000}[220.0000](0.0000,0.0000){$O$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](0.94,1.76)
\rput[bl](1.1,1.9){$A$}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.4000,1.4000)
\psline[linewidth=1pt](1.4000,1.4000)(1.400,1.2000)
\psline[linewidth=1pt](1.4000,1.4000)(1.600,1.400)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0.94,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0,1.76)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0)(0.94,1.76)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(2,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,2)
%\rput[bl](1,-0.5){$\vec i$}
%\rput[bl](-0.4,0.9){$\vec j$}
\rput[bl](0.8,-0.25){\darkgray{$\cos(\theta)$}}
\rput[bl](-0.7,1.5){\darkgray{$\sin(\theta)$}}
\rput[bl](0.15,0.08){\blue{$\theta$}}
\rput[bl](1.9,1){\blue{$\theta$}}
%\uput{0.3000}[0.0000](1.4500,1.4500){$\mathbb{+}$}
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}

\Rq{On vérifie aisément que cet définition coïncide avec celle donnée dans le triangle rectangle 
pour un angle $\theta$ tel que $0<\theta<\frac{\pi}{2}$.
}
\Expl{
$\left(\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OJ}\right)=\dfrac{\pi}2$ \quad et \quad  $J(0;1)$ 
dans le repère $(O; \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OJ})$.\\
Donc $\cos \dfrac{\pi}2 = 0$ et $\sin \dfrac{\pi}2 = 1$
}

\end{multicols}


\subsection{Valeurs remarquables}
Le tableau ci-dessous rappelle les valeurs remarquables du cosinus et du sinus pour des valeurs particuli\`eres d'un angle 
orienté $\theta$ (en radians). Il est connaître par coeur.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{*{7}{|C{1.5cm}} |}
\hline 
$\theta$  & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ &  $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$  \tabularnewline\hline
$\cos \theta$ & 1 & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $0$  & $-1$ \tabularnewline\hline
$\sin \theta$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ & $0$  \tabularnewline\hline
%$\tan \theta $ & 0 & $ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & n'existe pas & 0 \tabularnewline \hline
\end{tabular}
\end{center}


\Dem{
\begin{multicols}{2}
Pour calculer les valeurs de $\sin \dfrac{\pi}{4}$ et de $\cos \dfrac{\pi}{4}$ on 
se place dans le quadrilatère $OHMK$ ci-contre, de diagonale $OM=1$.\\

On sait que $OHMK$ est un carré, car il possède 4 angles droits et que l'angle $(\overrightarrow{OH} ; \overrightarrow{OM})$ mesure $\dfrac{\pi}{4}$.\\
On appelle $a$ la mesure de son côté.\\

Par définition du cosinus et sinus d'un nombre réel, on a $a=\cos \dfrac{\pi}4=\sin\dfrac{\pi}4$. Cherchons cette valeur.\\
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-11,-1.2)(11,11)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](0,0)(7.07,0)(7.07,7.07)(0,7.07)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](7.07,0.71)(6.36,0.71)(6.36,0)(7.07,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,6.36)(0.71,6.36)(0.71,7.07)(0,7.07)
\pscircle(0,0){4}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.7853981633974482}{1.5*cos(t)+0|1.5*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1.5,1.5){0}{40.38}
\psline(0,0)(7.07,7.07)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(7.07,0)
\psline[linecolor=zzttqq](7.07,0)(7.07,7.07)
\psline[linecolor=zzttqq](7.07,7.07)(0,7.07)
\psline[linecolor=zzttqq](0,7.07)(0,0)
\psline{->}(0,-1)(0,10)
\psline{->}(-10,0)(10,0)
\rput[bl](-0.8,-0.8){$O$}
\rput[bl](10.2,-0.2){$I$}
\rput[bl](7.35,7.22){$M$}
\rput[bl](2,0.2){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}4$}}
\rput[bl](0.13,10.19){$J$}
\rput[bl](6.8,-0.8){$H$}
\rput[bl](-0.9,7){$K$}
\rput[bl](3.5,-0.7){\darkgray{$a$}}
\rput[bl](-1.2,3.5){\darkgray{$a$}}
\rput[bl](3.4,4){\darkgray{$1$}}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{multicols}
Dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$, d'après le théorème de Pythagore, on a :
$$OM^2=OH^2 + MH^2 \iff 1^2 =2 a^2 + a^2 \iff a^2 = \dfrac{1}{2} \stackrel{a>0}{\iff} a = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
Donc \fbox{$\cos \dfrac{\pi}{4} =\sin \dfrac{\pi}{4}= \dfrac{\sqrt{2}}{2} $}.%\\

\begin{multicols}{2}
Pour calculer les valeurs du cosinus et du sinus de $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{6}$,
 on se place dans le triangle $OIM$ ci-contre, de côté $OM=1$. \\

On cherche $OH=\cos\dfrac{\pi}3$ et $OK=\sin\dfrac{\pi}3$.\\

On sait que le triangle $OIM$ est équilatéral car\\
 $OM=OI$ et que $(\overrightarrow{OH} ; \overrightarrow{OM})$ mesure $\dfrac{\pi}{3}$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-11,-1.2)(11,11)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](0,0)(10,0)(5,8.66)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](5,0.71)(4.29,0.71)(4.29,0)(5,0)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,7.95)(0.71,7.95)(0.71,8.66)(0,8.66)
\pscircle(0,0){4}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-2.0943951023931957}{-1.5707963267948966}{2*cos(t)+5|2*sin(t)+8.66}\lineto(5,8.66)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(5,8.66)(2,2){-120}{-94.62}
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(10,0)
\psline[linecolor=zzttqq](10,0)(5,8.66)
\psline[linecolor=zzttqq](5,8.66)(0,0)
\psline{->}(0,0)(0,10)
\psline{->}(0,0)(10,0)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0471975511965976}{1*cos(t)+0|1*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(1,1){0}{55.38}
\psline(5,8.66)(5,0)
\psline(0,8.66)(5,8.66)
\psline(0,0)(-10,0)
\psline(0,0)(0,-10)
\rput[bl](-0.8,-0.8){$O$}
\rput[bl](10.42,-0.2){$I$}
\rput[bl](-0.17,10.3){$J$}
\rput[bl](5.14,8.86){$M$}
\rput[bl](1.3,0.5){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}3$}}
\rput[bl](4.77,-0.8){$H$}
\rput[bl](-0.9,8.62){$K$}
\rput[bl](2.,4.62){$1$}
\rput[bl](3.9,4.7){\qqwuqq{$\dfrac{\pi}6$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
Donc sa hauteur $[MH]$ est aussi sa médiane. D'où $H$ est le milieu de $[OI]$ et\quad  $OH=$\fbox{$\cos\dfrac{\pi}3=\dfrac12$}.\\ 
De plus, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$ on a :
$$OM^2 = OH^2 + MH^2 \iff 1^2 = \left(\dfrac12\right)^2 + OK^2 \iff OK^2 = 1-\dfrac14 = \dfrac34 \stackrel{OK>0}{\iff} OK = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
Donc \fbox{$\sin\dfrac{\pi}3 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$}.\\

De plus la hauteur $[MH]$ du triangle $OIM$ est aussi sa bissectrice donc $(\overrightarrow{MO} ; \overrightarrow{MI})=\dfrac{\pi}6 \quad [2\pi]$.\\
On en déduit dans le triangle $OHM$ rectangle  en $H$ que \quad \fbox{ $\cos\dfrac{\pi}6 = \dfrac{MH}{OM} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ }\quad  et \quad 
\fbox{$\sin\dfrac{\pi}6 = \dfrac{OH}{OM} = \dfrac{1}{2}$ }
}



\subsection{Mesure principale}

Un angle admet, en radians, une infinité de mesure. Si par exemple la mesure d'un angle vaut $x$ radians, toutes les autres mesures s'obtiennent en ajoutant ou en soustrayant un certains nombres de \og tours \fg{}. Tout autre mesure de notre angle est donc de la forme :
$$ x+2k\pi \qquad \text{ avec } k \in \Z$$


En revanche dans l'intervalle $[0;2\pi[$ ou encore dans l'intervalle $]-\pi ; \pi]$ tout angle admet une unique mesure ; d'une manière générale dans un intervalle de longueur $2\pi$ (la longueur d'un intervalle étant la différence entre les deux bornes) tout angle admet une unique mesure.

\begin{defi}
On appelle mesure principale d'un angle en radians l'unique mesure de cet angle comprise dans l'intervalle $]-\pi ; \pi ]$
\end{defi}

\Expl{
\begin{itemize}
\item Si $\alpha=\dfrac{13\pi}{3}$ rad. Déterminons sa mesure principale. Puisque :
$$ 4<\dfrac{13}{3}<5 \Longleftrightarrow 4\pi <\dfrac{13\pi}{3}<5\pi$$
On enlève 2 tours, c'est-à-dire $4\pi$ et on obtient :
$$ 4\pi-4\pi<\dfrac{13\pi}{3}-4\pi<5\pi-4\pi \Longleftrightarrow 0<\dfrac{\pi}{3}<\pi$$
La mesure principale de $\alpha$ est $\dfrac{\pi}{3}$.
\item Si $\alpha=-\dfrac{33\pi}{6}$ rad. Déterminons sa mesure principale. Puisque :
$$ -7<-\dfrac{37}{6}<-6 \Longleftrightarrow -7\pi <-\dfrac{37\pi}{6}<-6\pi$$
On ajoute 3 tours, c'est-à-dire $6\pi$ et on obtient :
$$ -7\pi+6\pi<-\dfrac{37\pi}{6}+6\pi<-6\pi+6\pi \Longleftrightarrow -\pi<-\dfrac{\pi}{6}<0$$
La mesure principale de $\alpha$ est $-\dfrac{\pi}{6}$.
\item Si $\alpha = \dfrac{3\pi}{8}$ alors puisque $0<\dfrac{3}{8}<1$ il suit que $0\dfrac{3\pi}{8}<\pi$ et donc la mesure principale de $\alpha$ est simplement $\dfrac{3\pi}{8}$
\end{itemize}
}
\begin{ExoF}
 Dans chacun des cas, dire si les deux réels donnés sont les mesures en raidans d'un même angle de vecteurs.
 \begin{multicols}{3}
  $\dfrac{3\pi}2$ et $-\dfrac{\pi}2$ 
  
  $-\dfrac{17\pi}3$ et $\dfrac{\pi}3$ 
  
  $\dfrac{2011\pi}6$ et $\dfrac{4023\pi}6$ 
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Déterminer la mesure principale des angles suivants, puis placer les points correspondants sur le cercle trigonométrique  :
 $$\left(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{13\pi}3 \qquad\qquad 
 \left(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OB}\right)=-\dfrac{31\pi}4 \qquad\qquad
 \left(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OC}\right)= \dfrac{2014\pi}6 \qquad \qquad
 \left(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OD}\right)=-\dfrac{4023\pi}8 $$
\end{ExoF}


\subsection{Propriété élémentaires du sinus et du cosinus}

\begin{prop}
Pour tout nombre réel $\theta$ on a :
$$-1 \leq \cos(\theta) \leq 1\quad \text{ et } \quad  -1 \leq \sin(\theta) \leq 1$$
 $$\cos(\theta+2k\pi)=\cos(\theta) \quad  \text{ et } \quad  \sin(\theta+2k\pi)=\sin(\theta) 
 \quad  \text{ o\`u } k\in\Z$$
 $$\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1  $$
\end{prop}

\Dem{Les deux premières sont immédiates avec la définition.\\
La dernière utilise le théorème de Pythagore.}


\Expl{On donne $ \cos \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. On cherche la valeur de  $ \sin \dfrac{\pi}{12}$.\\
On sait que $\cos^2 \dfrac{\pi}{12} + \sin^2 \dfrac{\pi}{12} = 1 \iff \sin^2 \dfrac{\pi}{12} = 1- \left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^2$
Donc $$\sin^2 \dfrac{\pi}{12}=1-\dfrac{6+2\sqrt{12}+2}{16}= \dfrac{16-8-2\times 2\sqrt{3}}{16}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}$$
De plus $0 < \dfrac{\pi}{12} < \dfrac{\pi}2$ donc $\sin \dfrac{\pi}{12} >0$. On en déduit :
$$\sin \dfrac{\pi}{12} = \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{4}} = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$$
On peut également montrer que $ \sin \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ est une autre écriture du sinus, plus simple .\\

}
\pagebreak

\section{Equations trigonométriques}



\subsection{Angles associés}
Regarder les angles associés à $\dfrac{\pi}3$
\begin{prop}$\forall \theta \in \R$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\cos \theta=\cos (-\theta)$
\item $ \sin (-\theta)=-\sin \theta$
\item $ \cos (\pi-\theta)=-\cos \theta$
\item $ \sin (\pi-\theta)=\sin \theta$
\item $ \cos (\pi+\theta)=-\cos \theta$
\item $ \sin(\pi+\theta)=-\sin \theta$
\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta$
\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta$
\item $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin \theta$
\item $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos \theta$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{prop}

\Dem{On obtient cette propri\'et\'e par une lecture astucieuse du cercle trigonom\'etrique :
Soit $A$ le point du cercle trigonométrique tel que $\left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OA}\right)=\theta$.
Dans le repère $(O ; \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OJ})$ on a 
$A(\cos(\theta) ; \sin(\theta))$.  \\
Grâce à de nombreuses propriétés de symétrie sur un cercle, 
on peut déduire les coordonnées des points associés aux réels  $-\theta$, $\pi-\theta$, $\pi+\theta$, 
$\dfrac{\pi}{2}-\theta$ et $\dfrac{\pi}{2}+\theta$
(donc la valeur de leur cosinus et sinus).\\
Sur le schéma ci-dessous, ces points permettent de définir ce que l'on appelle des angles associés.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-10,-5.5)(10,7)
\pscircle(0,0){5}
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(2.02,4.57)
%\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-2.02,4.57)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red]{-4.5}{4.5}{(-0--0.71*x)/0.71}
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)
\rput[lt](5.5,-1.8){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{2.9 cm}{$\cos(-\theta)=\cos(\theta)\\ \sin(-\theta)=-\sin(\theta)$}}}
\rput[lt](-9.7,-1.8){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos(\pi+\theta)=-\cos(\theta)\\ \sin(\pi+\theta)=-\sin(\theta)$}}}
\rput[lt](-9.7,2.7){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos(\pi-\theta)=-\cos(\theta)\\ \sin(\pi-\theta)=\sin(\theta)$}}}
\rput[lt](3.5,6.5){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos\left(\dfrac{\pi}2-\theta\right)=\sin(\theta)\\ \sin\left(\dfrac{\pi}2-\theta\right)=\cos(\theta)$}}}
%\rput[lt](-6.5,6.5){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=-\sin(x)\\ \sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=\cos(x)$}}}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](-4.57,2.02)(4.57,2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](4.57,2.02)(4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](4.57,-2.02)(-4.57,-2.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](-4.57,-2.02)(-4.57,2.02)
\rput[bl](-0.3,-0.68){$O$}
\rput[bl](5.2,-0.56){$I$}
\rput[bl](4.84,2.14){$\theta$}
\rput[bl](0.16,5.1){$J$}
\rput[bl](4.84,-2.2){$-\theta$}
\rput[bl](-5.6,2.16){$\pi-\theta$}
\rput[bl](-5.6,-2.2){$\pi+\theta$}
\rput[bl](2.1,4.7){$\dfrac{\pi}{2}-\theta$}
%\rput[bl](-2.38,4.7){$\dfrac{\pi}{2}+\theta$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}



\begin{multicols}{2}
\Expl{
Grâce aux angles associés, trouver les valeurs des cosinus et sinus des angles suivants :
$$\dfrac{3\pi}4 \qquad \qquad -\dfrac{\pi}4 \qquad \qquad \dfrac{7\pi}4 $$
$$\dfrac{2\pi}3 \qquad \qquad -\dfrac{2\pi}3 \qquad \qquad \dfrac{5\pi}3$$
$$\dfrac{5\pi}6 \qquad \qquad \dfrac{11\pi}6 \qquad \qquad \dfrac{7\pi}6 $$
}

\begin{center}
\psset{xunit=3.7cm , yunit=3.7cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(1.2,1.3)
\def\xmin{-2} \def\xmax{2} \def\ymin{-2} \def\ymax{2}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pscircle(0.0000,0.0000){3.70000}
\uput{0.3000}[0.0000](1.0000,0.0000){0}
\uput{0.3000}[90.0000](0.0000,1.0000){$\dfrac{\pi}{2}$}
\uput{0.3000}[180.0000](-1.0000,0.0000){$\pi$}
%\uput{0.3000}[-90.0000](0.0000,-1.0000){$-\frac{\pi}{2}$}
\psline(1.0000,0.0000)(-1.0000,0.0000)
\psline(0.0000,1.0000)(0.0000,-1.0000)
\uput{0.3000}[30.0000](0.8600,0.5000){$\dfrac{\pi}{6}$}
\psline(0.8600,0.5000)(-0.8600,-0.5000)
\uput{0.3000}[45.0000](0.7070,0.7070){$\dfrac{\pi}{4}$}
\psline(0.7070,0.7070)(-0.7070,-0.7070)
\uput{0.3000}[60.0000](0.5000,0.8600){$\dfrac{\pi}{3}$}
\psline(0.5000,0.8600)(-0.5000,-0.8600)
\psline(-0.7070,0.7070)(0.7070,-0.7070)
\psline(-0.8600,0.5000)(0.8600,-0.5000)
\psline(-0.5000,0.8600)(0.5000,-0.8600)
	
\endpsclip
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.09,0.86)(0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.09,0.707)(0.707,0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.09,0.5)(0.86,0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.86,-0.09)(0.86,0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.707,-0.09)(0.707,0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.5,-0.09)(0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.5,-0.86)(0.5,-0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.707,-0.707)(0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.86,-0.5)(0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.86,0.5)(-0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.707,0.707)(-0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.5,0.86)(-0.5,-0.86)
\uput{0.3000}[-90.0000](0.5000,0.0000){$\frac{1}{2}$}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.7070,0.0000){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
\uput{0.3000}[-90.0000](0.8600,0.0000){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.86,-0.22)(0.86,-0.5)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.707,-0.22)(0.707,-0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](0.5,-0.22)(0.5,-0.86)
\uput{0.3000}[180.0000](0.000,0.5000){$\frac{1}{2}$}
\uput{0.3000}[0.0000](0.0,0.707){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
\uput{0.3000}[180.0000](0.0,0.8600){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.15,0.86)(-0.5,0.86)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.19,0.707)(-0.707,0.707)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=blue](-0.19,0.5)(-0.86,0.5)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\Expl{Simplifier les expressions suivantes : 
$A=\cos (-\pi-\theta)$, $B=\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)$, $C=\cos^2(-\theta)+\sin^2(\pi-\theta)$
}

\begin{ExoF}
 A l'aide des propriétés sur les angles associés, donner les valeurs exactes de :
 $$\cos\left(\dfrac{8\pi}{3}\right) \qquad \sin\left(-\dfrac{18\pi}{4}\right)
 \qquad \sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) \qquad \cos\left(\dfrac{35\pi}{4}\right)$$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
  Sachant que $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}4$
déterminer la valeur exacte de $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$,  $\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$
et $\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)$
 \end{ExoF}


\begin{ExoF}
Exprimer \`a l'aide de $\sin(x)$ et $\cos(x)$ les expressions suivantes :
\begin{itemize}
 \item $A=\cos(x+\pi)-\cos(-x)+5\cos(x)$
 \item $B=\sin(\pi-x)+2\sin(x+2\pi)+\sin(x+3\pi)$
 \item $C=\sin(\pi+x)\cos(\pi-x)-\sin(\pi-x)\cos(\pi+x)$
 \item $D=\sin(x+11\pi)+\sin(11\pi-x)-\cos(11\pi-x)$
\end{itemize}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $a=\sin\left(\dfrac{\pi}7\right)$ . Exprimer en fonction de $a$ :
$$\sin\left(-\dfrac{\pi}7\right) \qquad \qquad \sin\left(\dfrac{8\pi}7\right) \qquad \qquad \sin\left(\dfrac{6\pi}7\right)
\qquad \qquad \cos\left(\dfrac{5\pi}{14}\right)$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Sachant que $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{\sqrt{5}-1}4$ :
 \begin{enumerate}
  \item En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)$
  \item Calculer la valeur exacte de $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Sachant que $\cos\left(\dfrac{9\pi}{5}\right)=\dfrac{\sqrt{5}+1}4$ :
 \begin{enumerate}
   \item Calculer la valeur exacte de $\sin\left(\dfrac{9\pi}{5}\right)$
  \item En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoL}
 n$^{\circ}$ 75 p 291
\end{ExoL}

\subsection{Equations trigonométriques}
\Act{\\
\textbf{Partie A : Equation $\cos x = a$}
\begin{enumerate}
 \item Soit l'équation $\cos x = \dfrac12$ à résoudre dans $\R$.
\begin{enumerate}
 \item Placer sur le cercle trigonométrique les points $M$ et $M'$ d'abscisse $\dfrac12$
\item Déterminer les mesures principales des angles $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM})$ et $(\overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OM'})$.\\
En déduire l'ensemble des solutions dans $]-\pi ; \pi]$ de l'équation $\cos x = \dfrac12$.
\item Résoudre dans $\R$ cette équation.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Par une méthode analogue, résoudre dans $\R$ l'équation $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}2$.
 \item En déduire les solutions dans $[0; 2 \pi[$ de cette équation.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Examiner le cas des équations $\cos x = 1.5$ et $\cos x = -3$.
 \item Donner une condition sur $a$ pour que l'équation $\cos x = a$ puisse admettre des solutions.
      \end{enumerate}
\item Soit l'équation $\cos x =0.25$.
\begin{enumerate}
       \item Sur le cercle trigonométrique, placer les images des solutions de l'équation.
\item On note $\theta$ la solution de cette équation dans $[0; \pi[$.\\
Exprimer en fonction de $\theta$ les solutions de l'équation $\cos x = 0.25$ sur $\R$.
\item Résoudre cette équation dans $[0;2\pi[$.\\
Donner, à l'aide de la calculatrice des valeurs approchées de ces solutions à $10^{-4}$ près.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Equation $\sin x = a$}
\begin{enumerate}
 \item En suivant la même méthode que dans la partie A, résoudre l'équation $\sin x = \dfrac12$ dans $]-\pi ; \pi]$ puis dans $\R$.
 \item Même question pour $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}2$. Donner ensuite les solutions de cette équation dans $[0;2\pi[$.
 \item Soit l'équation $\sin x = 0.3$. On note $\alpha$ la solution de cette équation dans $\left]-\dfrac{\pi}2 ; \dfrac{\pi}2 \right]$.\\
Exprimer en fonction de $\alpha$ les solutions sur $\R$ de l'équation $\sin x = 0.3$.\\
\end{enumerate}
}

Le cercle trigonométrique et la configuration des angles associés nous permettent de résoudre des équations 
du type $\cos x = \cos a$ et $\sin x = \sin a$ où $a$ est un réel connu.

\begin{prop}
L'équation $\cos x = \cos a$ où $a\in\R$ admet pour solutions les nombres réels $x=a+2k\pi$ et $x=-a+2k'\pi$ où $k$ et $k'$ sont des entiers relatifs.\\
L'équation $\sin x = \sin a$ où $a\in\R$ admet pour solutions les nombres réels $x=a+2k\pi$ et $x=\pi-a+2k'\pi$ où $k$ et $k'$ sont des entiers relatifs.
\end{prop}

\Expl{
Résoudre dans $]-\pi; \pi]$, puis dans $\R$ et enfin dans $[0;2\pi[$ les équations suivantes :
$$\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad \qquad \sin x = -\dfrac{1}{2} \qquad \qquad \cos (x) = \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)  
 \qquad \qquad \cos (2x) = \dfrac{1}{2}   \qquad \qquad \sin \left(x-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} 
$$
}


\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels $t$ de $]-\pi; \pi]$ tels que $\cos(t)=-\dfrac12$
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\cos(t)=-\dfrac12$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 
\item $\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
\item $\cos(x)=-1$
\item $\sin(x)=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
Dans chaque cas, donner les solutions de l'intervalle $[2\pi ; 5\pi[$
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
\`A l'aide d'une figure, r\'esoudre les \'equations et in\'equations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $\cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ pour $x\in[0;2\pi[$
\item $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ pour $x\in[-\pi;\pi[$
\item $\cos(x)\geq \dfrac{1}{2}$ pour $x\in[-\pi;\pi[$
\item $\sin(x)<\dfrac{1}{2}$ pour $x\in[0;2\pi[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer les réels $t$ de $]-\pi; \pi]$ puis ceux de $[0;2\pi[$ tels que
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item $-\dfrac12\leq \sin(t) \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 
\item $\cos(t)\leq 0$ 
\item $1-2\sin(t)>0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
On consid\`ere l'\'equation $(E)$ : $\sin x=\cos \dfrac{\pi}{3}$
\begin{enumerate}
\item R\'esoudre dans $\R$ l'\'equation $(E)$
\item R\'esoudre dans $]-\pi;\pi]$ l'\'equation $(E)$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} QCM (plusieurs réponses possibles)
\begin{enumerate}
 \item  Soit $x\in[\pi ; 2\pi]$ tel que $\cos(x)=-\dfrac45$. Alors on a :
 $$\sin(x) \leq 0 \qquad \sin^2(x)=\dfrac15 \qquad \sin(x)=0.6 \qquad \sin(x)=-\dfrac35$$
 \item  Soit $x\in\left[\dfrac{\pi}2 ; \dfrac{3\pi}2\right]$ tel que $\sin(x)=\dfrac{21}{29}$. Alors on a :
 $$\cos(x) \leq 0 \qquad \cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)} \qquad \cos(x)=-\dfrac{20}{29} \qquad \cos(x)=\dfrac{20}{29}$$
  \item  Soit $x\in\left[-\dfrac{\pi}2 ; \dfrac{\pi}2\right]$ tel que $\sin(x)=\dfrac{1}{4}$. Alors on a :
 $$\cos(x) \leq 0 \qquad \cos(x)=\dfrac34 \qquad \cos(x)=-\dfrac{\sqrt{15}}{4} \qquad \cos(x)=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$$
 \item Sur l'intervalle $[0;2\pi]$, les solutions de l'inéquations $\cos(x) \geq -\dfrac12$ sont :
 $$\left[-\dfrac{2\pi}3 ; \dfrac{2\pi}3\right] \qquad 
 \left[-\dfrac{2\pi}3 ; \dfrac{4\pi}3\right] \qquad 
 \left[\dfrac{4\pi}3 ; \dfrac{2\pi}3\right] \qquad 
 \left[0 ; \dfrac{2\pi}3\right] \cup \left[\dfrac{4\pi}3 ; 2\pi\right] $$
 \item Les solutions réelles de l'équation $\cos(x) = \sin\dfrac{\pi}5 $ sont :
 $$\left\{\dfrac{\pi}5 + 2k\pi, k\in\Z \right\} \cup \left\{-\dfrac{\pi}5 + 2k\pi, k\in\Z \right\} \qquad 
\left\{\dfrac{3\pi}{10} + 2k\pi, k\in\Z \right\} \cup \left\{-\dfrac{3\pi}{10} + 2k\pi, k\in\Z \right\} \qquad 
\left\{\dfrac{3\pi}{10} + 2k\pi, k\in\Z \right\} \cup \left\{\dfrac{7\pi}{10} + 2k\pi, k\in\Z \right\} \qquad 
\left\{\dfrac{3\pi}{10} + 2k\pi, k\in\Z \right\}   $$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoL}
 n$^{\circ}$ 113-131-133-134 p 295
\end{ExoL}

\section{Angles orientés - Propriétés}

\section{Résumé du cercle trigonométrique}

Voici deux cercles trigonom\'etriques qui r\'esument l'essentiel :

 
 \begin{center}
\includegraphics[scale=1.5]{cercle_complet.1}
\end{center}


 \begin{center}
 \psset{linecolor=blue, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\newrgbcolor{yellow}{.8 .82 .86}
\psset{unit=6.00cm}
\pspicture*(-1.6500,-1.6500)(1.7000,1.7000)
\psset{linewidth=0.1250pt}
\psset{linecolor=green}
\psline(0.0000,0.0000)(0.4157,0.2400)
\psline(0.5629,0.3250)(0.7015,0.4050)
\psline(0.7881,0.4550)(0.8660,0.5000)
\psline(0.0000,0.0000)(0.3394,0.3394)
\psline(0.4596,0.4596)(0.5728,0.5728)
\psline(0.6435,0.6435)(0.7071,0.7071)
\psline(0.0000,0.0000)(0.2400,0.4157)
\psline(0.3250,0.5629)(0.4050,0.7015)
\psline(0.4550,0.7881)(0.5000,0.8660)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.2200,0.3811)
\psline(-0.3250,0.5629)(-0.3750,0.6495)
\psline(-0.4600,0.7967)(-0.5000,0.8660)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.3111,0.3111)
\psline(-0.4596,0.4596)(-0.5303,0.5303)
\psline(-0.6505,0.6505)(-0.7071,0.7071)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.3811,0.2200)
\psline(-0.5629,0.3250)(-0.6495,0.3750)
\psline(-0.7967,0.4600)(-0.8660,0.5000)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.3811,-0.2200)
\psline(-0.5802,-0.3350)(-0.6409,-0.3700)
\psline(-0.7881,-0.4550)(-0.8660,-0.5000)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.3111,-0.3111)
\psline(-0.4738,-0.4738)(-0.5233,-0.5233)
\psline(-0.6435,-0.6435)(-0.7071,-0.7071)
\psline(0.0000,0.0000)(-0.2200,-0.3811)
\psline(-0.3350,-0.5802)(-0.3700,-0.6409)
\psline(-0.4550,-0.7881)(-0.5000,-0.8660)
\psline(0.0000,0.0000)(0.2400,-0.4157)
\psline(0.3500,-0.6062)(0.3750,-0.6495)
\psline(0.4650,-0.8054)(0.5000,-0.8660)
\psline(0.0000,0.0000)(0.3394,-0.3394)
\psline(0.4950,-0.4950)(0.5303,-0.5303)
\psline(0.6576,-0.6576)(0.7071,-0.7071)
\psline(0.0000,0.0000)(0.4157,-0.2400)
\psline(0.6062,-0.3500)(0.6495,-0.3750)
\psline(0.8054,-0.4650)(0.8660,-0.5000)
\psset{linecolor=blue}
\psset{linewidth=0.5000pt}
\psline{->}(-1.7000,0.0000)(1.6000,0.0000)
\psline{->}(0.0000,-1.7000)(0.0000,1.5500)
\psset{linewidth=0.8000pt}
\pscircle(0.0000,0.0000){1.0000}
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.8660,0.5000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.7071,0.7071)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.5000,0.8660)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.0000,1.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.5000,0.8660)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.7071,0.7071)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.8660,0.5000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-1.0000,0.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.8660,-0.5000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.7071,-0.7071)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.5000,-0.8660)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](-0.0000,-1.0000)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.5000,-0.8660)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.7071,-0.7071)
\psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](0.8660,-0.5000)
\uput{0.0800}[32.0000](1.0000,0.0000){\scalebox{.9}{$(1,0)$}}
\uput{0.1000}[55.0000](0.0000,1.0000){\scalebox{.9}{$(0,1)$}}
\uput{0.1000}[152.0000](-1.0000,0.0000){\scalebox{.9}{$(-1,0)$}}
\uput{0.1000}[308.0000](-0.0000,-1.0000){\scalebox{.9}{$(0,-1)$}}
\uput{0.3000}[30.0000](0.8660,0.5000){\rput{30}{$\big(\!{\sqrt 3 \over 2},{1 \over 2}\big)$}}
\uput{0.3500}[45.0000](0.7071,0.7071){\rput{45}{$\big(\!{\sqrt 2 \over 2},\!{\sqrt 2 \over 2}\big)$}}
\uput{0.3000}[60.0000](0.5000,0.8660){\rput{60}{$\big({1 \over 2},\!{\sqrt 3 \over 2}\big)$}}
\uput{0.3500}[120.0000](-0.5000,0.8660){\rput{300}{$\big(\!{-1 \over 2},\!{\sqrt 3 \over 2}\big)$}}
\uput{0.4000}[135.0000](-0.7071,0.7071){\rput{315}{$\big(\!{-\sqrt 2 \over 2},\!{\sqrt 2 \over 2}\big)$}}
\uput{0.3500}[150.0000](-0.8660,0.5000){\rput{330}{$\big(\!{-\sqrt 3 \over 2},\!{1 \over 2}\big)$}}
\uput{0.4000}[210.0000](-0.8660,-0.5000){\rput{30}{$\big(\!{-\sqrt 3 \over 2},\!{-1 \over 2}\big)$}}
\uput{0.4500}[225.0000](-0.7071,-0.7071){\rput{45}{$\big(\!{-\sqrt 2 \over 2},\!{-\sqrt 2 \over 2}\big)$}}
\uput{0.4000}[240.0000](-0.5000,-0.8660){\rput{60}{$\big(\!{-1 \over 2},\!{-\sqrt 3 \over 2}\big)$}}
\uput{0.3500}[305.0000](0.5000,-0.8660){\rput{300}{$\big({1 \over 2},\!{-\sqrt 3 \over 2}\big)$}}
\uput{0.4000}[315.0000](0.7071,-0.7071){\rput{315}{$\big(\!{\sqrt 2 \over 2},\!{-\sqrt 2 \over 2}\big)$}}
\uput{0.3500}[330.0000](0.8660,-0.5000){\rput{330}{$\big(\!{\sqrt 3 \over 2},\!{-1 \over 2}\big)$}}
\uput{0.1000}[154.0000](1.0000,0.0000){\scalebox{.9}{$0$}}
\uput{0.3500}[170.0000](1.0000,0.0000){\scalebox{.7}{$0^\circ$}}
\uput{0.4300}[210.0000](0.8660,0.5000){\rput{30}{\scalebox{.7}{$30^\circ$}}}
\uput{0.1400}[215.0000](0.8660,0.5000){\rput{30}{\scalebox{1}{$\pi \over 6$}}}
\uput{0.4300}[225.0000](0.7071,0.7071){\rput{45}{\scalebox{.7}{$45^\circ$}}}
\uput{0.1400}[230.0000](0.7071,0.7071){\rput{45}{\scalebox{1}{$\pi \over 4$}}}
\uput{0.4300}[240.0000](0.5000,0.8660){\rput{60}{\scalebox{.7}{$60^\circ$}}}
\uput{0.1400}[245.0000](0.5000,0.8660){\rput{60}{\scalebox{1}{$\pi \over 3$}}}
\uput{0.0800}[292.0000](0.0000,1.0000){\scalebox{1}{$\pi \over 2$}}
\uput{0.3500}[283.0000](0.0000,1.0000){\scalebox{.7}{$90^\circ$}}
\uput{0.1600}[300.0000](-0.5000,0.8660){\rput{300}{\scalebox{1}{$2\pi \over 3$}}}
\uput{0.4500}[300.0000](-0.5000,0.8660){\rput{300}{\scalebox{.7}{$120^\circ$}}}
\uput{0.1600}[315.0000](-0.7071,0.7071){\rput{315}{\scalebox{1}{$3\pi \over 4$}}}
\uput{0.4500}[315.0000](-0.7071,0.7071){\rput{315}{\scalebox{.7}{$135^\circ$}}}
\uput{0.1600}[330.0000](-0.8660,0.5000){\rput{330}{\scalebox{1}{$5\pi \over 6$}}}
\uput{0.4500}[330.0000](-0.8660,0.5000){\rput{330}{\scalebox{.7}{$150^\circ$}}}
\uput{0.0800}[26.0000](-1.0000,0.0000){\scalebox{1}{$\pi$}}
\uput{0.2700}[11.0000](-1.0000,0.0000){\scalebox{.7}{$180^\circ$}}
\uput{0.1700}[30.0000](-0.8660,-0.5000){\rput{30}{\scalebox{1}{$7\pi \over 6$}}}
\uput{0.4500}[30.0000](-0.8660,-0.5000){\rput{30}{\scalebox{.7}{$210^\circ$}}}
\uput{0.1700}[45.0000](-0.7071,-0.7071){\rput{45}{\scalebox{1}{$5\pi \over 4$}}}
\uput{0.4500}[45.0000](-0.7071,-0.7071){\rput{45}{\scalebox{.7}{$225^\circ$}}}
\uput{0.1700}[60.0000](-0.5000,-0.8660){\rput{60}{\scalebox{1}{$4\pi \over 3$}}}
\uput{0.4500}[60.0000](-0.5000,-0.8660){\rput{60}{\scalebox{.7}{$240^\circ$}}}
\uput{0.0600}[59.0000](-0.0000,-1.0000){\scalebox{1}{$3\pi \over 2$}}
\uput{0.3200}[73.0000](-0.0000,-1.0000){\scalebox{.7}{$270^\circ$}}
\uput{0.1600}[120.0000](0.5000,-0.8660){\rput{300}{\scalebox{1}{$5\pi \over 3$}}}
\uput{0.4100}[120.0000](0.5000,-0.8660){\rput{300}{\scalebox{.7}{$300^\circ$}}}
\uput{0.1600}[135.0000](0.7071,-0.7071){\rput{315}{\scalebox{1}{$7\pi \over 4$}}}
\uput{0.4100}[135.0000](0.7071,-0.7071){\rput{315}{\scalebox{.7}{$315^\circ$}}}
\uput{0.1600}[150.0000](0.8660,-0.5000){\rput{330}{\scalebox{1}{$11\pi \over 6$}}}
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\uput{0.1500}[-30.0000](0.0000,1.5500){$y$}
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