\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Second degr\'e}
\newcommand{\Cl}{1S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macrodwicky.tex

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\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\ddwicky{Alphaville.eps}{Alphaville}{Jean Luc Godard}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Alphaville, une étrange aventure de Lemmy Caution (ou Alphaville) est un film franco-italien de science-fiction de Jean-Luc Godard sorti en 1965. Il a reçu l'Ours d'or 1965 au Festival international du film de Berlin.\\
Dans une époque postérieure aux années 1960, les autorités des « pays extérieurs » envoient le célèbre agent secret Lemmy Caution (Eddie Constantine) en mission à Alphaville, une cité déshumanisée, éloignée de quelques années-lumière de la Terre. Caution est chargé de neutraliser le professeur von Braun, tout-puissant maître d'Alphaville, qui y a aboli les sentiments humains. Un ordinateur, Alpha 60, régit toute la ville. Un message de Dickson, un ex-agent secret, ordonne à Lemmy de « détruire Alpha 60 et de sauver ceux qui pleurent ». Mais ce dernier est enlevé, interrogé par Alpha 60 et condamné à mort…
}{0.4}{0.4}{
\item Résoudre des équations du second degré.
\item Etudier le signe d'un trinôme.
\item Maitriser l'allure de la courbe d'une fonction polynôme du second degré.
}

\TITRE{galois.eps}{0.3}


\begin{Intro}{Au fil du temps}
Nous allons étudier les polynômes du second degré, ie de la forme $ax^2+bx+c$, 
où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes connues (et $a\neq 0$).\\
La représentation graphique de ce genre de fonction est une parabole, courbe que l'on retrouve dans la nature, comme par exemple 
la trajectoire des jets d'eau d'une fontaine, des astres, les rebonds d'une balle de tennis, les dunes de sables dans le désert ... 
Les antennes pour le câble sont également en forme de parabole, d'où leur nom.\\
On a découvert les paraboles dès l'antiquité, grâce à \textit{Appolonius de Perga}, qui étudiait les sections planes du cône.
Au V$^{\text{\`e}me}$ si\`ecle, la pens\'ee math\'ematique s'\'epanouit dans le moyen orient, sous l'impulsion 
g\'eniale d'\textit{Al Khwarizmi}. Son nom est \`a la base du mot algorithme. En effet, c'est lui qui le premier
s'intéressa à mettre en place une méthode générale de résolution d'équations en fonction de leur type.\\
La nouveaut\'e apport\'ee par Al-Khwarizmi correspond \`a une v\'eritable \'evolution des mentalit\'es : 
il ne s'agit plus de r\'esoudre des probl\`emes arithm\'etiques
ou g\'eom\'etriques que l'on peut traduire en \'equations, mais de partir des \'equations, dont chacune recouvre 
une classe infinie de probl\`emes vari\'es.\\
Il est également le premier \`a r\'esoudre couramment des \'equations du second degr\'e dans $\R$. 
Autrement dit, \textit{Al Khwarizmi} à trouver un algorithme permettant de résoudre toutes les \'equations de la forme 
$ax^2+bx+c=0$, et lorsque l'on a sur un probl\`eme qui aboutit \`a une telle \'equation, 
il n'y a plus qu'\`a le suivre ! C'est cet algorithme que nous allons découvrir.\\
Au XVII$^e$ siècle, \textit{Newton} démontre que la trajectoire d'un corps seulement soumis à son poids est une parabole.
A cette époque, on sait déjà résoudre depuis environ un siècle les équations du second degré dans un ensemble de 
nombres que vous découvrirez, contenant $\R$ et de nouveaux nombres, appelés imaginaires (par opposition à réels) ou encore complexes.\\

\end{Intro}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 0. Position du pb
\newpage

\section*{Type de probl\`emes que l'on souhaite r\'esoudre }

\underline{Situation :}
Un rectangle a pour p\'erim\`etre $P=21$ m et pour aire $S=27$ $m^2$. Quels sont les dimensions
de ce rectangle ? \newline

\underline{Mod\'elisation :} Soient $x$ et $y$ les dimensions de ce rectangle, on obtient :
$$x+y=\dfrac{P}{2}=10,5 \text{ et }xy=S=27$$
En rempla\c cant $y$ par $10,5-x$ on obtient l'\'equation $x(10,5-x)=27$ qui peut s'\'ecrire encore $x^2-10,5x+27=0$
Comment r\'esoudre une telle \'equation ?
\newline

\underline{En utilisant la forme canonique :}\\
Notons $P$ la fonction polynôme définit par $P(x)=x^2-10,5x+27$.\\
\begin{eqnarray*}
& & x^2-10,5x+27=27\\
&\Longleftrightarrow  & x^2-10,5x=0\\
& \Longleftrightarrow  & x(x-10,5)=0\\
& \Longleftrightarrow & x=0\quad \text{ou} \quad x=10,5\\
\end{eqnarray*}
On en déduit, puisque $P\left(\dfrac{21}{4}\right)=-\dfrac{9}{16}$, que :
$$ P(x)=\left(x-\dfrac{21}{4}\right)^2-\dfrac{9}{16}$$
A partir de la forme canonique du polynôme $P$ on résout l'équation $x^2-10,5x+27=0$ :
\begin{eqnarray*}
& &\left(x-\dfrac{21}{4}\right)^2-\dfrac{9}{16}=0\\
&\Longleftrightarrow & \left(x-\dfrac{21}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}\\
&\Longleftrightarrow  & x-\dfrac{21}{4}=\dfrac{3}{4}\qquad \text{ou}\qquad x-\dfrac{21}{4}=-\dfrac{3}{4}\\
&\Longleftrightarrow  & x=\dfrac{24}{4}=6\qquad \text{ou}\qquad x=\dfrac{18}{4}\\
\end{eqnarray*}
De plus si $x=6$ alors $y=10,5-6=4,5$ et si $x=\dfrac{18}{4}=4,5$ alors $y=10,5-4,5=6$.
\\

\underline{Conclusion :} Le rectangle d'aire $S=27$ et de périmètre $21$ a pour longueur $6$ et pour largeur $4,5$.
\\
\underline{But :} On cherche à automatiser ce genre de démarche. 




\section{Trin\^ome du second degr\'e}
\begin{defi}On appelle \underline{trin\^ome du second degr\'e} ou \underline{polynôme du second degré} toute expression pouvant s'\'ecrire $ax^2+bx+c$ o\`u $a$, $b$ et $c$ sont des r\'eels avec $a\neq0$\end{defi}

\Expls{\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2-4x+1$ \hspace{8mm}$(a=1;b=-4;c=1)$
\item       $-7x^2+4x$ \hspace{8mm}$(a=-7;b=4;c=0)$
\item       $\sqrt{2}x^2$ \hspace{8mm}$(a=\sqrt{2};b=0;c=0)$
 \item      $(x+1)^2$ \hspace{8mm}$(a=1;b=2;c=1)$ 
\item $3x+1$ est un bin\^ome du premier degr\'e
\item $x^3+2x+3$ est un polyn\^ome du $3^{\text{\`e}me}$ degr\'e
\item $(x+1)^2-x^2$ est un bin\^ome du premier degr\'e.
\item $2x^2+\dfrac{1}{x}$ n'est pas un trin\^ome du $2^{nde}$ degr\'e.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}



\Cadre[Rappel]{Soit $P(x)=ax^2+bx+c$ et $Q(x)=a'x^2+b'x+c'$ deux trin\^omes du second degr\'e.\newline
$P$ et $Q$ sont \'egaux si, et seulement si $a=a';b=b' \text{ et } c=c'$}

\Exoi{Soit $P(x)=x^2-x-1$ et $Q(x)=\left(x-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$. D\'emontrer que $P=Q$}

\begin{defi}On appelle \underline{racine} du trin\^ome toute valeur de la variable $x$ solution de l'\'equation du second degr\'e :
$$ ax^2+bx+c=0$$\end{defi}

\Expl{$3$ est racine du trin\^ome $2x^2-5x-3=0$}

\Exoi{Trouver les racines du polyn\^ome $x^2-7=0$}

\Question{D'une mani\`ere g\'en\'erale, comment trouver les racines du polyn\^ome $ax^2+bx+c$ ? Existe-t-il un algorithme permettant de 
trouver les racines de n'importe quel trin\^ome ?}
\newpage
\section{R\'esolution de l'\'equation du second degr\'e $ax^2+bx+c=0$}
\subsection{Résolution de l'équation $X^2=a$}

\begin{prop}
L'équation $X^2=a$ admet :
\begin{itemize}
\item 2 solutions si $a>0$ : $\sqrt{a}$ ou $-\sqrt{a}$.
\item 1 solution si $a=0$, il s'agit de $0$.
\item 0 solution si $a<0$.
\end{itemize}
\end{prop}


\Exoi{Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2-7=0$ ;
\item $(4x+1)^2-1=0$ ;
\item $3(x-1)^2-7$ ;
\item $ (x+1)^2+1=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}}



\Exoi{\og Canoniser \fg le trin\^ome $x^2-7x+12$ et déterminer ses racines.}

\subsection{R\'esolution de $ax^2+bx+c=0$}
On a vu que : $$ ax^2+bx+c=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$$

Ainsi :
\begin{eqnarray*}
 & & ax^2+bx+c=0 \\
 & \Longleftrightarrow & a\left(x-\alpha\right)^2+\beta=0\\
 & \Longleftrightarrow & a\left(x-\alpha\right)^2=-\beta\\
 & \Longleftrightarrow & \left(x-\alpha\right)^2=-\dfrac{\beta}{a} \qquad \text{on sait que $a\neq 0$}\\
\end{eqnarray*}
Comme vu dans le paragraphe précédent l'équation :

\begin{eqnarray}
 & & \left(x-\alpha\right)^2=-\dfrac{\beta}{a} \\
\end{eqnarray}
admet deux solutions si le nombre $-\dfrac{\beta}{a}>0$, une s'il est nul et zéro sinon.
\\
Or, $-\dfrac{\beta}{a}=-\dfrac{4ac-b^2}{4a\times a}=-\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$. $4a^2>0$, par conséquent $-\dfrac{\beta}{a}$ est du signe de $b^2-4ac$. Ainsi le nombre de solutions de l'équation $ax^2+bx+c=0$ dépends du signe du nombre $b^2-4ac$.
\begin{defi}[Discriminant]
On cherche à résoudre $ax^2+bx+c=0$, on appelle discriminant de cette équation le nombre réel noté $\Delta$, qui vaut :
$$ \Delta=b^2-4ac$$
\end{defi}

On a vu que : \qquad  $ ax^2+bx+c=0\Longleftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$
\begin{enumerate}
 \item Si $\Delta<0$, on voit clairement que l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'a pas de solution.\\

\item Si $\Delta = 0$ l'équation $ax^2+bx+c=0$ équivant à
$$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0 \iff x+\dfrac{b}{2a}=0 \iff x=-\dfrac{b}{2a}$$
L'équation $ax^2+bx+c=0$ possède alors une solution réelle (dite double) $x=-\dfrac{b}{2a}$.\\

\item Enfin si $\Delta>0$, on obtient alors :

\begin{eqnarray*}
&  & ax^2+bx+c=0 \\
& \Longleftrightarrow & \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}\\
& \Longleftrightarrow & x+\dfrac{b}{2a}=\sqrt{\dfrac{\Delta}{4a^2}} \qquad \text{ou} \qquad x+\dfrac{b}{2a}=-\sqrt{\dfrac{\Delta}{4a^2}}\\
& \Longleftrightarrow & x=-\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{ou} \qquad x=-\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\\
& \Longleftrightarrow & x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{ou} \qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
\end{eqnarray*}

L'équation $ax^2+bx+c=0$ possède alors deux solutions réelles $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.\\
\end{enumerate}

\begin{theo}
\begin{enumerate}
\item \underline{Si $\Delta<0$} : l'\'equation n'a pas de solution r\'eelle
\item \underline{Si $\Delta=0$} : l'\'equation a une solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$
\item \underline{Si $\Delta>0$} : l'\'equation a deux solutions r\'eelles : 
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \text{ et }x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
\end{enumerate}
\end{theo}

\Rq{\begin{itemize}
\item Les formules obtenues pour $\Delta>0$ s'\'etendent \`a $\Delta\geq0$
\item Si les coefficients $a$ et $c$ sont de signes oppos\'es, alors le trin\^ome admet 
deux racines ; en effet, dans ce cas $\Delta=b^2-4ac>0$
    \end{itemize}
}



\Exoi{R\'esoudre dans $\R$ les \'equations suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x^2-4x+4=0$
\item $-6x^2+x+1=0$
\item $5x^2+6x+2=0$
\item R\'epondre au probl\`eme initial
\item $x^2-2x=0$
\item $x^2-5=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}


\section{Factorisation du trin\^ome}

On considère le trinôme $ax^2+bx+c=a \left(x-\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{4a}=a\left(\left(x-\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{4a^2}\right)$, cette expression est factorisable lorsque $\Delta\geq 0$ (pour cela il suffit d'utiliser la troisième identité remarquable :
$$ \left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=a(x-x_1)(x-x_2)$$    


\begin{theo}Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant du trin\^ome $ax^2+bx+c$. Le trin\^ome se factorise ainsi :
\begin{itemize}
\item Si $\Delta=0$ : $ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$
\item Si $\Delta>0$ : $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ o\`u $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trin\^ome
\end{itemize}
\end{theo}

\Dem{
\begin{itemize}
\item Si $\Delta=0$ : le trin\^ome s'\'ecrit, \`a l'aide de la forme canonique : $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$
\item Si $\Delta>0$ on a $a(x-x_1)(x-x_2)=a\left(x-\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x-\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=ax^2+bx+c$
\end{itemize}
}

\Rq{Lorsque $\Delta<0$, comme le trin\^ome n'a pas de racine r\'eelle, il faut abandonner l'espoir de pouvoir le factoriser (du moins dans $\R$)}

\pagebreak
\section{Signe du trin\^ome}
\underline{But} : \'Etudier le signe de $P(x)=ax^2+bx+c$ suivant les valeurs de $x$.\newline
\underline{Cas 1 - $\Delta>0$} : Soit $x_1$ et $x_2$ ses racines, avec $x_1<x_2$. On a alors :
$$ P(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$ 
\'Etablissons le tableau de signe :
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{x_1}&&\tx{x_2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x-x_1}&&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&&\tx{+}&\cr
\tx{x-x_2}&&\tx{-}&&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
\tx{(x-x_1)(x-x_2)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
\tx{P(x)}&&\tx{\text{signe de a}}&\txt{0}&\tx{\text{oppos\'e de a}}&\txt{0}&\tx{\text{signe de a}}&\cr
}$$

\underline{Cas 2 - $\Delta\leqslant0$} : On utilise la forme canonique :
$$ P(x)=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$$
Comme $\Delta$ est n\'egatif, l'expression entre crochets est positive, le signe de $P(x)$ est donc le m\^eme que celui de $a$

\begin{theo}Le trin\^ome $ax^2+bx+c$ est toujours du signe de $a$ sauf entre les racines lorsqu'elles existent. En particulier, lorsque $\Delta<0$, le trin\^ome est de signe \underline{constant}.
\end{theo}

\Exoi{R\'esoudre l'in\'equation $x^2-4x+1\leqslant0$}


\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{landscape}
\begin{center}
\large{\textbf{R\'esum\'e} : $ P(x)=ax^2+bx+c $ avec $a \neq 0 \qquad \qquad \qquad \Delta=b^2-4ac$}
\end{center}
%\vspace{2mm}
%\newline
    \begin{large}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}%{|>{\centering}p{1.5cm}|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{4cm}|>{\centering}p{5cm}|
%>{\centering}p{4cm}|}
  \hline
  $\Delta$ & \textbf{Factorisation} & \textbf{Racines} & \textbf{Signe} de $P(x)$ & \textbf{Parabole}  \\ 
  \hline
$\Delta >0$ &  $a(x-x_1)(x-x_2)$ 
& 
\begin{tabular}{c} Deux racines : \\\\$x_{1}=\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}  $ \\\\$x_{2}=\dfrac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a}  $
\end{tabular} 
& 
\begin{tabular}{c} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTabInit{$x$/1,\text{Signe de } $P(x)$/2}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Opposé de } a,z,\text{Signe de } a}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
 &
 \begin{small}
 \begin{tabular}{c} 
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.3)(3,3)
\def\xmin{-3.7} \def\xmax{4} \def\ymin{-3.3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-2.1)(4.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 add mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[u](-3,2){$a>0$}

%\uput[ur](-1,0){$$}
\uput[ur](-2.2,0){$x_1$}
 \uput[ur](1.2,0){$x_2$}
 \uput[l](2,-2){$S\left(-\dfrac{b}{2a} ; \dfrac{\Delta}{4a^2}\right)$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0) \uput[d](3,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\\
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.7,-2)(3,1)
\def\xmin{-3.7} \def\xmax{4} \def\ymin{-2} \def\ymax{1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.1,-2.1)(4.1,1.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 add mul sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[u](-3,-2){$a<0$}


% \uput[ur](-0.3,1){S}
\uput[ur](-2.2,0){$x_1$}
 \uput[ur](1.2,0){$x_2$}
\endpsclip

\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0) \uput[d](3,0){\small $x$}

\end{pspicture*}
\end{tabular} 

\end{small}

 \\
\hline

$\Delta = 0$ &   $a(x-x_0)^2$ &
\begin{tabular}{c} \\ Une racine : \\\\$x_0=\dfrac{-b}{2a}  $\\
\end{tabular} 
& \begin{tabular}{c} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTabInit{$x$/1,\text{Signe de } $P(x)$/2}{$-\infty$,$x_0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,z,\text{Signe de } a}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
 & 
 \begin{small}
 \begin{tabular}{c} 
 \\
   \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-3} \def\ymax{4}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
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\def\F{x 1 sub x 1 sub mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[ur](-3,2){$a>0$}

\psdot(1,0) \uput[r](-1.2,-1.4){$S\left(-\dfrac{b}{2a}; \dfrac{\Delta}{4a^2}\right)$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
 \\
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(3.5,0.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-2.5} \def\ymax{0.1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 sub mul sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\uput[ur](-3,-2){$a<0$}

\psdot(1,0) 
%\uput[ur](-1,0){$x_0=-\dfrac{b}{2a}$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\end{tabular} 

\end{small}

 \\
\hline

$\Delta <0$  &  \begin{tabular}{c} pas  \\de \\  factorisation
\end{tabular}  
&
\begin{tabular}{c} Aucune  \\ racine \\  r\'eelle
\end{tabular} 
& \begin{tabular}{c} \\
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTabInit{$x$/1,\text{Signe de } $P(x)$/2}{$-\infty$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,\text{Signe de }a,}
\end{tikzpicture}
\end{tabular}
 & 
\begin{small}
 \begin{tabular}{c}  \\  
\psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,3)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-2.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 1 sub x 1 sub mul 1 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](-3,2){$a>0$}

\uput[ur](-1.2,-2){$S\left(-\dfrac{b}{2a}; \dfrac{\Delta}{4a^2}\right)$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
 \\
  \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(3.5,0.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-5} \def\ymax{0.1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2,-5.1)(4,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x 1 sub x 1 sub mul sub 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\G}
\uput[ur](-3,-2.5){$a<0$}

%\psdot(1,0) \uput[ur](-0.5,0){$-\dfrac{b}{2a}$}

\endpsclip
\pcline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(4,0) \uput[d](3.6,0){\small $x$}
\end{pspicture*}
\end{tabular}
 \end{small}

 \\
\hline
  \end{tabular}  
  \end{large}
%\end{tiny}
\end{landscape}


\section{Fonction polyn\^ome de degr\'e quelconque}
\begin{defi}On appelle \underline{fonction polyn\^ome (\`a coefficients r\'eels) de degr\'e n)} ($n \in \N$) toute fonction $P$ d\'efinie sur $\R$ dont l'\'ecriture peut se ramener \`a la forme : $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 \text{ o\`u $a_0$, $a_1$, $\dots$, $a_n$ sont des r\'eels avec $a_n\neq0$} $$
Le terme $a_px^p$ s'appelle \underline{mon\^ome} de degr\'e $p$. On note $n=Deg(P)$\end{defi}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item La fonction $P$ d\'efinie par : $P(x)=x^8-6x^7+3x^2-5$ est une fonction polyn\^ome de degr\'e $8$
\item Toutes les fonctions puissances d'exposants entiers : $P(x)=x^p$ avec $p\in\N$ sont des fonctions polyn\^omes de degr\'e $p$.
\item Les fonctions affines et constantes (diff\'erente de la fonction nulle) sont des fonctions polyn\^omes de degr\'e $1$ et $0$
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item La fonction $Q$ d\'efinie par $Q(x)=x^3+\dfrac{2}{x}$ n'est pas une fonction polyn\^ome
\item La fonction $g$ d\'efinie par $g(x)=\dfrac{x^4-1}{x^2-1}$ n'est pas une fonction polyn\^ome car non d\'efinie pour $x=1$ ou $x=-1$
\item En revanche la fonction $h$ d\'efinie par $h(x)=\dfrac{x^4-1}{x^2+1}$ est une fonction polyn\^ome de degr\'e $2$ puisque $h(x)=x^2-1$ 
\end{itemize}
}

\begin{prop}Deux polyn\^omes non nuls sont \'egaux, si et seulement si, ces polyn\^omes ont le m\^eme degr\'e et les coefficients de leurs termes de m\^eme degr\'e deux \`a deux \'egaux\end{prop}

\Rq{Cette propri\'et\'e est admise}

\Expl{Pour tout r\'eel $x$, $ax^3+bx^2+cx+d=7x^3-4x^2+2x+1$ si, et seulement si, $a=7$, $b=-4$, $c=2$ et $d=1$}

\begin{defi}On appelle \underline{racine} d'un polyn\^ome $P$ tout r\'eel $\lambda$ tel que $$P(\lambda)=0$$\end{defi}

\Expl{Trouver les racines du polyn\^ome $P$ d\'efinie sur $\R$ par $P(x)=(x-1)(x^2-x-1)$}

\Rq{
\begin{itemize}
\item Les fonctions polyn\^ome de degr\'e $1$ ($x\longmapsto ax+b$) admettent toutes une seule racine $\lambda=-\dfrac{b}{a}$
\item Certaines fonctions polyn\^omes n'ont aucune racine r\'eelle, par exemple $P$ avec $P(x)=x^2+1 \geq 1$.
\end{itemize}
}

\section{Algorithmie et programmation}


\Cadre[Un peu d'histoire]{

\noindent Dans l'antiquit\'e, les math\'ematiques sont utilis\'ees pour les besoins quotidiens, tels que des calculs 
d'aires de champs, d'imp\^ots lors des crues du Nil, de constructions.
Elles servent aussi \`a r\'esoudre des probl\`emes dans lesquels figure une (ou plusieurs) quantit\'e inconnue \`a trouver. \\
Vers 1800-1500 avant JC, les Babyloniens savent déjà résoudre des équations du $1^{er}$ et du $2^{nd}$ degré.
On parle de ''chose'' à trouver et on suit un discours logique phrasé (peu clair pour nous aujourd'hui) pour arriver à une solution.\\
Ce n'est qu'au VIII$^e$ si\`ecle, avec l'introduction de la num\'eration positionnelle, des chiffres arabes et du z\'ero, 
que la th\'eorie générale prend place peu \`a peu. Le point de d\'epart est de d\'esigner dans des calculs l'inconnue 
par un symbole (aujourd'hui souvent la lettre $x$)  puis de mettre en \'equation les probl\`emes. \\
Rapidement, on comprend l'int\'er\^et d'une telle m\'ethode. C'est \textit{Al-Khawarizmi} qui le premier s'int\'eresse \`a cela et
classifie les différents types d'équations, afin que dans chaque problème, 
on n'ait plus qu'à reconnaitre le type d'équation et suivre la méthode générale appropriée, menant à la solution.
Le mot \textit{\textbf{algorithme}} découle de son nom et d\'esigne aujourd'hui \textbf{\textit{une proc\'edure \`a suivre, \`a partir d'un 
\'el\'ement donn\'e, pour arriver \`a une solution unique}}. \\
\noindent Jusqu'au d\'ebut du XIX$^e$, trouver des algorithmes de r\'esolutions d'\'equations constituent la 
pr\'eoccupation principale des alg\'ebristes. Ils d\'eveloppent la notation symbolique et la conventionnent :
au XVI$^e$ Viete s\'epare l'alphabet en deux, le d\'ebut d\'esignant plut\^ot 
les param\`etres, la fin les inconnues, ce qui est encore utilisé de nos jours. 
On cat\'egorise les \'equations suivants leurs param\`etres, leur degr\'e et 
leur nombre d'inconnues, afin de g\'en\'eraliser le plus possible leur r\'esolution.Parallèlement, la notion de fonction prend forme.\\
Les équations de degré 3 sont résolues par les italiens Tartaglia et Cardan au XVI$^e$ si\`ecle, et celles de degré 4
par l'élève de ce dernier, Ferrari. 
L'histoire des formules de résolution s'arrête là, car le français Evariste Galois (1811-1832) montre au XIX$^e$ qu'il
est impossible de trouver des formules de résolution pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.\\
}

\begin{defi}
Un \textbf{algorithme} est une suite d'instructions, qui, une fois ex\'ecut\'ee correctement, conduit \`a un unique 
résultat.
\end{defi}

\Expls{Indiquer un itinéraire allant d'un lieu à un autre, télécharger un ficher, compresser des données, les jeux vidéos,
les feux tricolores, les lumières de la tour Eifel, le pilote automatique des avions, la cryptographie ...\\
En mathématiques, vous connaissez déjà l'algorithme d'Euclide qui  permet de trouver le pgcd de deux nombres entiers positifs. \\
Les Babyloniens suivaient un algorithme très performant pour trouver une valeur approchée de la racine carré d'un nombre.\\
}

\Rqs{
\item 
Pour fonctionner, un algorithme doit contenir uniquement des instructions compr\'ehensibles par celui qui devra 
l'ex\'ecuter %(sinon il suffirait de dire pour indiquer un chemin d'aller de l\`a o\`u l'on est \`a l'endroit d\'esir\'e !).\\
\item En math\'ematiques, les algorithmes consistent par exemple en des suites d'op\'erations \`a effectuer (pour les 
fonctions notamment), 
ou des suites de manipulations \`a faire (pour construire une figure g\'eom\'etrique). \\
}

\Expl[Vocabulaire, démarche et rédaction]{
On souhaite un algorithme qui donne le type d'extremum d'une fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=ax^2+bx+c$, sa valeur approchée et quand il est atteint. }
\begin{enumerate} \item \textbf{Détermination des variables : analyse préliminaire}
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les informations initiales dont nous avons besoin ?\\
On les appelle les \textit{entrées} de l'algorithme.
 \item Quelle condition avons-nous sur l'une de ces entrées ?
 \item Que doit-on calculer ?\\
% \item Que doit-on obtenir à la fin ?\\
On prendra l'habitude de faire afficher le(s) résultat(s) de l'algorithme, que l'on appelle \textit{sortie(s)}.\\
L'ensemble des données de l'algorithme pouvant variées (entrées-sorties) sont les \textit{variables}. 
\end{enumerate}
\item \textbf{Rédaction du processus français : l'algorithme}\\
On commence toujours un algorithme en énonçant les variables mises en jeu (désignées par des lettres), et en 
précisant leur nature (nombre, mot ...)\\
\textit{Saisir} une donnée permet à l'utilisateur d'attribuer une valeur à une variable (ce sont les entrées).\\
Lorsque la donnée remplie par l'utilisateur ne remplit pas l'une des conditions initiales, il faut 
lui redemander. 
On utilisera la boucle \og \textit{Tant que} \fg \, pour le faire jusqu'à ce que la donnée satisfasse 
toutes les conditions nécessaires.\\
\textit{Affecter} à une donnée une certaine valeur permet d'attribuer une valeur à une variable.\\
\textit{Afficher} permet à l'utilisateur de voir un texte entre guillemets ou la valeur d'une variable à l'écran.\\
La boucle \textit{Si} sert à différencier des cas.\\
 Compléter l'algorithme suivant  :
\Algo[Extremum d'un trinôme]{12cm}{
\Entree{ 
 ...., ...., ...., ...., ....  sont des nombres réels}
%\Deb{
  Saisir  .... \\
  \While{ ......... }
    {Afficher "Erreur : ........................................................"\\
    Saisir ....}
  Saisir  ........ et ........\\
  Affecter à ........ la valeur .....\\
  Affecter à ........ la valeur .....\\
  \IfThenElse{ ........ }
    {    Afficher "La fonction f admet pour  ............ "}
    {    Afficher "La fonction f admet pour   ............ "}
  Afficher ...... " atteint en " ......
}
%}
\item \textbf{La programmation : sur Algobox et sur TI}\\
Trouver comment programmer cet algorithme sur Algobox et sur votre calculatrice (ie avec le vocabulaire 
adapté au support) .\\
\end{enumerate}


\Exoi{Ecrire un algorithme qui donne la valeur du $\Delta$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=ax^2+bx+c$, ainsi que son nombre de racines éventuelles et leurs valeurs. \\
Le programmer sur votre calculatrice.
}


 \epigraphe{La physique est bien trop dure pour les phycisiens}{David Hilbert}{mathématicien} 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Le cours
\end{document}