\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction I$9$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textbf{4 points}\\
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dans un repère du plan on considère deux vecteurs $\overrightarrow{u}(x;1-x)$ et $\overrightarrow{v}(x-1;3)$ où $x\in \R$. Déterminer $x$ afin que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.}

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si :
$$ 3x-(1-x)(x-1)=0\Longleftrightarrow 3x-(x-1-x^2+x)=0\Longleftrightarrow 3x+x^2-2x+1=0\Longleftrightarrow x^2+x+1=0$$
$\Delta=1-4\times 1\times 1=-3<0$ donc il n'existe aucun réel $x$ tel que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soit colinéaire.
\item {\footnotesize  Dans un repère du plan on considère deux vecteurs $\overrightarrow{u}(\cos x;1)$ et $\overrightarrow{v}(0.5;1)$ où $x\in \R$. Déterminer $x$ afin que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.}

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si :
$$\cos x\times 1 - 1\times 0.5=0\Longleftrightarrow \cos x=0.5\Longleftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2k\pi \quad \text{avec }k\in \Z$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{6 points}\\
\begin{footnotesize}
$ABDC$ est un parallélogramme. On considère les points $E$ et $F$ vérifiant :
$$\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item{\footnotesize  Réaliser une figure.}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(0.36,0.18)(9.74,5.66)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(0.36,0.18)(9.74,5.66)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0.36,0.18)(9.74,5.66)
\psline(1.14,0.54)(6.12,2.26)
\psline(1.14,0.54)(3.58,3.52)
\psline(3.58,3.52)(8.56,5.24)
\psline(8.56,5.24)(6.12,2.26)
\psline(3.58,3.52)(4.8,5.01)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](4.8,5.01)(6.12,2.26)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.14,0.54)
\rput[bl](0.92,0.66){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](6.12,2.26)
\rput[bl](6.3,1.84){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](3.58,3.52)
\rput[bl](3.26,3.56){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](8.56,5.24)
\rput[bl](8.64,5.32){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4.8,5.01)
\rput[bl](4.88,5.08){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](5.24,4.09)
\rput[bl](5.32,4.18){$F$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize On se place dans la base $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$.}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que :
$$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$$
D'après la relation de Chasles on a :
$$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AE}$$
Or, $\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ d'où :
$$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB} +\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$$
\end{footnotesize}
\item{\footnotesize  Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BE}$ dans la base $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$.} 

Puisque $\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB} +\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ on a $\overrightarrow{BE}\left(-1;\dfrac{3}{2}\right)$
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que :
$$ \overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$$
\end{footnotesize}

D'après la relation de Chasles on a :
$$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$$
Or, $\overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ d'où $ \overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et donc :
$$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$$
\item {\footnotesize En déduire une expression de $\overrightarrow{BF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.}

D'après la relation de Chasles on a $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ et puisque $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ il suit que :
$$ \overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$
Ainsi $\overrightarrow{BF}\left(-\dfrac{2}{3};1\right)$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$
\item {\footnotesize Les points $B$, $E$ et $F$ sont-ils alignés ?}

Des coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BE}\left(-1;\dfrac{3}{2}\right)$ et $\overrightarrow{BF}\left(-\dfrac{2}{3};1\right)$ on déduit que comme :
$$ -1\times 1 - \dfrac{3}{2}\times \left(-\dfrac{2}{3}\right)=-1+1=0$$
les vecteurs $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{BF}$ sont alignés et donc les points $B$, $E$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
\vfill

\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction I$9$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textbf{4 points}\\
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dans un repère du plan on considère deux vecteurs $\overrightarrow{u}(x;1-x)$ et $\overrightarrow{v}(3;x-1)$ où $x\in \R$. Déterminer $x$ afin que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.}

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si :
$$x(x-1)-3(1-x)=0\Longleftrightarrow x^2-x-3+3x=0\Longleftrightarrow x^2+2x-3=0$$
$\Delta=4+12=16$, il existe donc deux solutions :
$$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-4}{2}=-3\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+4}{2}=1$$

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $x=1$ ou $x=-3$

\item {\footnotesize Dans un repère du plan on considère deux vecteurs $\overrightarrow{u}(\sin x;\sqrt{2})$ et $\overrightarrow{v}(0.5;1)$ où $x\in \R$. Déterminer $x$ afin que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires.}

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si :
$$\sin x\times 1 - \sqrt{2}\times 0.5=0\Longleftrightarrow \sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Longleftrightarrow x= \dfrac{\pi}{4}+2k\pi \quad \text{avec }k\in \Z\qquad \text{ou}\qquad x= \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi \quad \text{avec }k\in \Z$$

\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{6 points}\\
\begin{footnotesize}
$ABDC$ est un parallélogramme. On considère les points $E$ et $F$ vérifiant :
$$\overrightarrow{AE}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AC}\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CD}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Réaliser une figure.}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.36,0.24)(9.62,5.78)
\psline(1.14,0.54)(3.58,3.52)
\psline(1.14,0.54)(6.12,2.26)
\psline(3.58,3.52)(8.56,5.24)
\psline(8.56,5.24)(6.12,2.26)
\psline(3.58,3.52)(4.19,4.27)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](4.19,4.27)(6.12,2.26)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](3.58,3.52)
\rput[bl](3.26,3.56){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.14,0.54)
\rput[bl](0.92,0.66){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](6.12,2.26)
\rput[bl](6.3,1.84){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](8.56,5.24)
\rput[bl](8.64,5.32){$D$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4.19,4.27)
\rput[bl](4.28,4.34){$E$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4.58,3.86)
\rput[bl](4.66,3.94){$F$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize On se place dans la base $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$.}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que :
$$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AC}$$
D'après la relation de Chasles on a :
$$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AE}$$
Or, $\overrightarrow{AE}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AC}$ d'où :
$$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB} +\dfrac{5}{4}\overrightarrow{AC}$$
\end{footnotesize}
\item{\footnotesize  Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BE}$ dans la base $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$.} 

Puisque $\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB} +\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ on a $\overrightarrow{BE}\left(-1;\dfrac{5}{4}\right)$
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que :
$$ \overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB}$$
\end{footnotesize}

D'après la relation de Chasles on a :
$$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$$
Or, $\overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$ d'où $ \overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB}$ et donc :
$$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB}$$
\item {\footnotesize En déduire une expression de $\overrightarrow{BF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.}

D'après la relation de Chasles on a $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ et puisque $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB}$ il suit que :
$$ \overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$$
Ainsi $\overrightarrow{BF}\left(-\dfrac{4}{5};1\right)$ dans la base $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)$
\item {\footnotesize Les points $B$, $E$ et $F$ sont-ils alignés ?}

Des coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BE}\left(-1;\dfrac{5}{4}\right)$ et $\overrightarrow{BF}\left(-\dfrac{4}{5};1\right)$ on déduit que comme :
$$ -1\times 1 - \dfrac{5}{4}\times \left(-\dfrac{4}{5}\right)=-1+1=0$$
les vecteurs $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{BF}$ sont alignés et donc les points $B$, $E$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
\end{document}
