\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Trigo}\\
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère l'équation $(E)$ :
$$ \sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre $(E)$ dans $\R$.}
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi;\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi, k\in \Z\right\}$$
\item Résoudre $(E)$ dans $]-\pi;\pi]$
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right\}$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On sait que $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ puis que $\cos x=\dfrac{3}{4}$.\\
Déterminer $\sin x$.
\end{footnotesize}
On sait que pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1\Longleftrightarrow \sin^2 x=1-\cos^2 x=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{15}{16}$. Par conséquent :
$$ \sin x=\pm \dfrac{\sqrt{15}}{4}$$
Or $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ donc $\sin x<0$ donc :
$$ \sin x=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Valeurs Absolues et Racines Carrées}\\
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Soit $x$ un nombre réel alors :
$$ \sqrt{x^2}=\left| x\right|$$
\end{footnotesize}
\item \begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\sqrt{2x-3}$$
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ puis étudier les variations de la fonction $f$ sur son ensemble de définition.
\end{footnotesize}
\\
$f(x)$ est définie si et seulement si $2x-3\geq 0 \Longleftrightarrow x\geq \dfrac{3}{2}$ d'où :
$$ \mathscr D_f=\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$$
La fonction $g$ définie par $g(x)=2x-3$ est strictement croissante sur $\R$(puisqu'il s'agit d'une fonction affine avec coefficient directeur positif) donc d'après le cours $f=\sqrt{g}$ est strictement croissante sur  $\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ :}
\begin{enumerate}
\item $ \left|5-x\right|=7 \Longleftrightarrow 5-x=\pm 7 \Longleftrightarrow -x=-7-5\qquad \text{ou}\qquad -x=7-5$
\\
Par conséquent $x=12$ ou $x=-2$ d'où :
$$ \mathscr S=\{-2;12\}$$
\item $\left|13-2x\right|\leq 11 \Longleftrightarrow -11\leq 13-2x\leq 11 \Longleftrightarrow -24\leq -2x\leq -2 \Longleftrightarrow 12 \geq x \geq 1$ d'où :
$$ \mathscr S=[1;12]$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}
\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}7$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Trigo}\\
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On considère l'équation $(E)$ :
$$ \sin x=-\dfrac{1}{2}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre $(E)$ dans $\R$.}
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi;-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, k\in \Z\right\}$$
\item Résoudre $(E)$ dans $]-\pi;\pi]$
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{\pi}{6};-\dfrac{5\pi}{6}\right\}$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On sait que $x\in \left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ puis que $\cos x=\dfrac{2}{3}$.\\
Déterminer $\sin x$.
\end{footnotesize}\\
On sait que pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1\Longleftrightarrow \sin^2 x=1-\cos^2 x=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$. Par conséquent :
$$ \sin x=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{3}$$
Or $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ donc $\sin x<0$ donc :
$$ \sin x=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Valeurs Absolues et Racines Carrées}\\
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un nombre réel alors :
$$ \sqrt{x^2}=|x|$$
\item \begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie par :
$$ f(x)=\sqrt{3-2x}$$
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ puis étudier les variations de la fonction $f$ sur son ensemble de définition.
\end{footnotesize}
\\
$f(x)$ est définie si et seulement si $3-2x\geq 0 \Longleftrightarrow -x\geq -\dfrac{3}{2} \Longleftrightarrow x\leq \dfrac{3}{2}$ d'où :
$$ \mathscr D_f=\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$$
La fonction $g$ définie par $g(x)=3-2x$ est strictement décroissante sur $\R$(puisqu'il s'agit d'une fonction affine avec coefficient directeur négatif) donc d'après le cours $f=\sqrt{g}$ est strictement croissante sur  $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ :}
\begin{enumerate}
\item $ \left|2x-5\right|=7\Longleftrightarrow 2x-5=\pm 7 \Longleftrightarrow 2x=-7+5\qquad \text{ou}\qquad 2x=7+5$
\\
Par conséquent $x=-1$ ou $x=6$ d'où :
$$ \mathscr S=\{-1;6\}$$
\item $\left|5-4x\right|\leq 11 \Longleftrightarrow -11\leq 5-4x\leq 11 \Longleftrightarrow -16 \leq -4x \leq 6 \Longleftrightarrow 4\geq x \geq -\dfrac{3}{2}$
$$ \mathscr S=\left[-\dfrac{3}{2};4 \right] $$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
