\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (5 points)
\begin{enumerate}
\item  Compléter le cercle trigonométrique suivant :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.86,-5.52)(6.94,5.54)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.86,-5.52)(6.94,5.54)
\pscircle(0,0){5}
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](-4.53,-2.13)(4.53,-2.13)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](-4.53,2.13)(-4.53,-2.13)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4.53,-2.13)(4.53,2.13)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](-4.53,2.13)(4.53,2.13)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](-4.53,2.13)(4.53,-2.13)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4.53,2.13)(-4.53,-2.13)
\rput[tl](4.7,2.3){$x$}
\rput[tl](4.7,-2.4){$-x$}
\rput[tl](-5.6,-2.4){$\pi+x$}
\rput[tl](-5.7,2.3){$\pi-x$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){$O$}
\psdots[dotstyle=*](4.53,2.13)
\psdots[dotstyle=*](4.53,-2.13)
\psdots[dotstyle=*](-4.53,2.13)
\psdots[dotstyle=*](-4.53,-2.13)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item 
\begin{footnotesize}
Exprimer en fonction de $\cos x$ le nombre suivant :
$$ A=\cos x-2\cos(x-\pi)+4\cos(x+\pi) -6\cos(x-6\pi)+8\cos(-x)$$
\end{footnotesize}

Sur la figure précédente, des symétries du rectangle on constate que :
$$\cos(x-\pi)=-\cos x\qquad {;}\qquad \cos(x+\pi)=-\cos x\qquad {;}\qquad \cos(-x)=\cos(x) $$
De plus $\cos(x-6\pi)=\cos(x-3\times 2\pi)=\cos x$, d'où l'on déduit que :
$$ A=\cos x + 2\cos x -4\cos x-6\cos x+ 8\cos x=\cos x$$
\begin{footnotesize}
puis en fonction de $\sin x$ et $\sin^2 x$ le suivant :
$$ B=\cos^2 x-\sin(x-8\pi)+5\sin(-x)$$
\end{footnotesize}
On procède comme précédemment pour trouver que :
$$ B=\cos^2 x-\sin x-5\sin (x)=\cos^2 x-6\sin x$$
Or, on sait que pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1\Longleftrightarrow \cos^2 x=1-\sin^2 x$ d'où :
$$ B=1-\sin^2-6\sin x$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (5 points)
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Déterminer la mesure principale dont une mesure en radian vaut :
$$ \alpha = -\dfrac{75\pi}{6}\qquad \text{et}\qquad \beta=\dfrac{75\pi}{4}$$
\end{footnotesize}

$\dfrac{-75}{6}\simeq -12,5$, par conséquent $-13<-\dfrac{75}{6}<-12\Longleftrightarrow -13\pi<-\dfrac{75\pi}{6}<-12\pi$

Ajoutons $6$ tours, soit $12\pi$ ce qui donne :
$$ -13\pi+12\pi<-\dfrac{75\pi}{6}+12\pi<-12\pi+12\pi \Longleftrightarrow -\pi<\dfrac{-75\pi+72\pi}{6}<0 \Longleftrightarrow -\pi<-\dfrac{\pi}{2}<0$$
La mesure principale de $\dfrac{-75\pi}{6}$ est donc $-\dfrac{\pi}{2}$

On procède à l'identique pour $\beta$ et on trouve que sa mesure principale est $\dfrac{3\pi}{4}$
\item {\footnotesize En déduire les valeurs de $\cos \alpha$, $\sin \alpha$, $\cos \beta$ et $\sin \beta$.}

D'après la question précédente :
$$ \cos \alpha=\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0\qquad \text{et}\qquad \sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$$
De même :
$$ \cos \beta=\cos \left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\cos \dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad \text{et}\qquad \sin \beta =\sin \dfrac{3\pi}{4}= \sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :}
\begin{enumerate}
\item $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Il existe deux points du cercle trigonométrique \og dont le cosinus vaut $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; ils sont associés aux réels de la forme $\pm \dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ où $k\in \Z$ d'où :
$$ \mathscr S=\left\{\pm \dfrac{\pi}{6}+2k\pi, \text{ avec} k\in \Z\right\}$$
\item $\sin x=-\dfrac{1}{2}$

Il existe deux points du cercle trigonométrique \og dont le sinus vaut $-\dfrac{1}{2}$ ; ils sont associés aux réels de la forme $- \dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ où $k\in \Z$  et $-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi $d'où :
$$ \mathscr S=\left\{- \dfrac{\pi}{6}+2k\pi \text{ avec} k\in \Z; - \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi \text{ avec} k\in \Z\right\}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak

\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}5$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (5 points)
\begin{enumerate}
\item  Compléter le cercle trigonométrique suivant :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.86,-5.52)(6.94,5.54)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.86,-5.52)(6.94,5.54)
\pscircle(0,0){5}
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](-4.53,-2.13)(4.53,-2.13)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](-4.53,2.13)(-4.53,-2.13)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4.53,-2.13)(4.53,2.13)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](-4.53,2.13)(4.53,2.13)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](-4.53,2.13)(4.53,-2.13)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4.53,2.13)(-4.53,-2.13)
\rput[tl](4.7,2.3){$x$}
\rput[tl](4.7,-2.4){$-x$}
\rput[tl](-5.6,-2.4){$\pi+x$}
\rput[tl](-5.7,2.3){$\pi-x$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){$O$}
\psdots[dotstyle=*](4.53,2.13)
\psdots[dotstyle=*](4.53,-2.13)
\psdots[dotstyle=*](-4.53,2.13)
\psdots[dotstyle=*](-4.53,-2.13)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item \begin{footnotesize}
Exprimer en fonction de $\cos x$ le nombre suivant :
$$ A=\cos x-2\cos(x-6\pi)+4\cos(x+\pi) -6\cos(x-\pi)+8\cos(-x)$$
\end{footnotesize}

Des symétries du rectangle de la question précédente on déduit $\cos(x+\pi)=-\cos x$ puis $\cos(x-\pi)=-\cos x$ et enfin $\cos(-x)=\cos x$.

De plus $\cos(x-6\pi)=\cos(x-3\times 2\pi)=\cos x$ ce qui permet de simplifier l'expression de $A$ :
$$ A=\cos x-2\cos x-4\cos x+6\cos x+8\cos x=9\cos x$$
\begin{footnotesize}
puis en fonction de $\sin x$ et de $\sin^2 x$ le suivant :
$$ B=\cos^2 x-\sin(x-8\pi)-5\sin(-x)$$
\end{footnotesize}

On procède comme précédemment et on trouve :
$$ B=\cos^2 x-\sin x+5\sin x=\cos^2 x+4\sin x$$
Or, on sait que pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1\Longleftrightarrow \cos^2 x=1-\sin^2 x$ ce qui permet de simplifier l'expression de $B$ de la manière suivante :
$$ B=1-\sin^2 x+4\sin x$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (5 points)
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Déterminer la mesure principale dont une mesure en radian vaut :
$$ \alpha = \dfrac{75\pi}{6}\qquad \text{et}\qquad \beta=-\dfrac{75\pi}{4}$$
\end{footnotesize}

$\dfrac{75}{6}=12,5$ donc $12<\dfrac{75}{6}<13$ donc $12\pi	<\dfrac{75\pi}{6}<13\pi$. Enlevons $6$ tours c'est-à-dire $12\pi$ :
$$ 12\pi-12\pi<\dfrac{75\pi}{6}-12\pi<13\pi \Longleftrightarrow 0<\dfrac{\pi}{2}<\pi$$
La mesure principale de $\alpha$ est donc $\dfrac{\pi}{2}$

En procédant de la même manière pour $\beta$ on déduit que sa mesure principale est $-\dfrac{3\pi}{4}$
\item {\footnotesize En déduire les valeurs de $\cos \alpha$, $\sin \alpha$, $\cos \beta$ et $\sin \beta$.}

En utilisant la question précédente et les symétries du cercle trigonométrique on a :
$$ \cos \alpha= \cos \dfrac{\pi}{2}=0\qquad \text{et}\sin\alpha =\sin \dfrac{\pi}{2}=1$$
puis :
$$ \cos\beta =\cos \left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\cos \dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad \text{et} \qquad \sin \dfrac{-3\pi}{4}=-\sin \dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Il existe deux points du cercle trigonométrique \og dont le cosinus vaut $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; ils sont associés aux réels de la forme $\pm \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ où $k\in \Z$ d'où :
$$ \mathscr S=\left\{\pm \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, \text{ avec} k\in \Z\right\}$$
\item $\sin x=\dfrac{1}{2}$

Il existe deux points du cercle trigonométrique \og dont le sinus vaut $\dfrac{1}{2}$ ; ils sont associés aux réels de la forme $\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ où $k\in \Z$  et $\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi $d'où :
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{\pi}{6}+2k\pi \text{ avec} k\in \Z; \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi \text{ avec} k\in \Z\right\}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
