\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère les suites définies pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=7-3n\qquad \text{;}\qquad v_n=n^2-3n+1\qquad \text{et}\qquad \left\{ \begin{array}{l} w_0=1\\ w_{n+1}=2\sqrt{w_n}+2\end{array} \right.$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_0$ ; $u_1$ et $u_7$}

$u_0=7-3\times 0=7$, $u_1=7-3=4$ et $u_7=7-3\times 7=7-21=-14$.
\item {\footnotesize Etudier les variations de la suite $u$.}

Etudions le signe de la différence entre deux termes successifs quelconque :
$$ u_{n+1}-u_n=7-3(n+1)-(7-3n)=7-3n-3-7+3n=-3<0$$
On vient de démontrer que :
$$ \forall n\in \N \quad u_{n+1}-u_n<0 \Longleftrightarrow \forall n\in \N \quad u_{n+1}<u_n$$
Par conséquent la suite $u$ est décroissante.
\item {\footnotesize Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n<-100$.}

$$ u_n<-100 \Longleftrightarrow 7-3n<-100\Longleftrightarrow -3n<-107 \Longleftrightarrow n>\dfrac{-107}{-3}\simeq 35,3$$

Ainsi le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<-100$ est $n=36$. 
\item {\footnotesize Que peut-on conjecturer quant à la limite de la suite $u$ ?}

On peut penser que :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ v_{n+1}-v_n=2n-2$$
\end{footnotesize}

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ v_{n+1}-v_n=(n+1)^2-3(n+1)+1-(n^2-3n+1)=n^2+2n+1-3n-3+1-n^2+3n-1=2n-2$$
\item {\footnotesize En déduire qu'à partir de $n=1$ la suite $v$ est croissante.}

$v$ est croissante si et seulement si $$v_{n+1}-v_n\geq 0 \Longleftrightarrow 2n-2\geq 0 \Longleftrightarrow 2n\geq 2  \Longleftrightarrow n\geq 1 $$

$v$ est donc croissante à partir de $n=1$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item{\footnotesize  Calculer $w_1$  et $w_2$.}

$w_1=2\sqrt{w_0}+2=2\sqrt{1}+2=4$ et $w_2=2\sqrt{w_1}+2=2\sqrt{4}+2=6$
\item {\footnotesize On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x)=2\sqrt{x}+2$ et la droite d'équation $y=x$.}
%\begin{center}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-0.59999)(8.5,8.59999)
%\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{0} \def\ymax{8}
%%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.5,-0.59999)(8.5,8.59999)
%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\psclip{%
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%}
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%\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,4)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,4)(0,4)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,4)(0,4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4)(4,4)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4)(4,4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,4)(4,0)
%%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4,4)(4,0)
%\def\F{2 x sqrt mul 2 add}
%\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{8}{x}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
%\uput[0](3,6.5){$C_f$}
%\endpsclip
%\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
%%\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
%%\uput[180](0,4){\small $u_1$}
%%\uput[-90](4,0){\small $u_1$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
{\footnotesize Placer sur l'axe des abscisses, en s'aidant du graphique, les termes $w_0$ ; $w_1$ ; $w_2$ ; $w_3$ et $w_4$.}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.59999)(8.5,8.59999)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{0} \def\ymax{8}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.5,-0.59999)(8.5,8.59999)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
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}
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,4)(0,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,4)(0,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4)(4,4)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,4)(4,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4,4)(4,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,0)(4,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4,0)(4,6)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4,6)(0,6)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6,6)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6,6)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6,0)(6,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6,0)(6,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6,6.89897)(0,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6,6.89897)(0,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,6.89897)(6.89897,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,6.89897)(6.89897,6.89897)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.89897,6.89897)(6.89897,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.89897,6.89897)(6.89897,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.89897,0)(6.89897,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.89897,0)(6.89897,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.89897,7.25318)(0,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.89897,7.25318)(0,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,7.25318)(7.25318,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,7.25318)(7.25318,7.25318)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(7.25318,7.25318)(7.25318,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(7.25318,7.25318)(7.25318,0)
\def\F{2 x sqrt mul 2 add}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\uput[0](3,6.5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](1,0){\small $w_0$}
\uput[180](0,4){\small $w_1$}
\uput[-90](4,0){\small $w_1$}
\uput[180](0,6){\small $w_2$}
\uput[-90](6,0){\small $w_2$}
\uput[180](0,6.89897){\small $w_3$}
\uput[-90](6.89897,0){\small $w_3$}
\uput[180](0,7.25318){\small $w_4$}
\uput[-90](7.25318,0){\small $w_4$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize Conjecturer le sens de variation de la suite $w$ ainsi que la limite de la suite $w$.}

Sur le graphique il apparait que $w_0$, $w_1$, $w_2$, $w_3$ et $w_4$ sont rangés dans l'ordre croissante, nous pouvons raisonnablement conjecturer que $w$ est croissante.

Les termes de la suites $w$ se rapproche de l'abscisse du point d'intersection de la représentation graphique de $f$ avec la droite d'équation $y=x$ d'où la conjecture suivante :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} w_n\simeq 7,5$$
\item {\footnotesize \textbf{Bonus} : Retrouver la limite de la suite $w$ par le calcul. }

Nous cherchons donc le réel $x$ vérifiant $f(x)=x$ c'est-à-dire la solution de l'équation :
$$ 2\sqrt{x}+2=x \Longleftrightarrow 2\sqrt{x}=x-2  \Longrightarrow (2\sqrt{x})^2=(x-2)^2 \Longrightarrow 4x=x^2-4x+4 \Longleftrightarrow x^2-8x+4=0$$

Le discriminant de ce trinôme vaut : 
$$ \Delta =  64-4\times 1\times 4=64-16=48$$

Et donc l'équation $x^2-6x+4=0$ admet deux solutions :
$$ x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8\pm \sqrt{48}}{2}$$

Or, $\dfrac{8-\sqrt{48}}{2} <1$ n'est pas solution du problème puisque les termes de la suite $w$ sont très clairement tous supérieur à $1$ donc la suite $w$ converge vers $\dfrac{8+\sqrt{48}}{2}=4+\sqrt{12}=4+2\sqrt{3}\simeq 7,5$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (10 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère les suites définies pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=-7+3n\qquad \text{;}\qquad v_n=1-n^2\qquad \text{et}\qquad \left\{ \begin{array}{l} w_0=7\\ w_{n+1}=-\dfrac{2}{3}w_n-1\end{array} \right.$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_0$ ; $u_1$ et $u_7$}

$u_0=-7+3\times 0=-7$, $u_1=-7+3=-4$ et $u_7=-7+3\times 7=-7+21=14$.
\item {\footnotesize Etudier les variations de la suite $u$.}

Etudions le signe de la différence entre deux termes successifs quelconque :
$$ u_{n+1}-u_n=-7+3(n+1)-(-7+3n)=-7+3n+3+7-3n=3>0$$
On vient de démontrer que :
$$ \forall n\in \N \quad u_{n+1}-u_n>0 \Longleftrightarrow \forall n\in \N \quad u_{n+1}>u_n$$
Par conséquent la suite $u$ est croissante.
\item {\footnotesize Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n>100$.}

$$ u_n>100 \Longleftrightarrow -7+3n>100 \Longleftrightarrow 3n>107 \Longleftrightarrow n>\dfrac{107}{3}\simeq 35,3$$

Ainsi le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>100$ est $n=36$. 

\item {\footnotesize Que peut-on conjecturer quant à la limite de la suite $u$ ?}

On peut penser que :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ v_{n+1}-v_n=-2n-1$$
\end{footnotesize}

Pour tout entier naturel $n$ on a :

$$ v_{n+1}-v_n=1-(n+1)^2-\left(1-n^2\right)=1-(n^2+2n+1)-1+n^2=1-n^2-2n-1-1+n^2=-2n-1$$
\item {\footnotesize En déduire que la suite $v$ est décroissante.}

$v$ est décroissante si et seulement si $v_{n+1}-v_n\leq 0$. Or d'après la question précédente :
$$ v_{n+1}-v_n=-2n-1<0 \qquad \forall n\in  \N$$

On en déduit que la suite $v$ est décroissante.
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $w_1$  et $w_2$.}

$$ w_1=-\dfrac{2}{3}w_0-1=-\dfrac{2}{3}\times 7-1=-\dfrac{14}{3}-1=-\dfrac{17}{3}\qquad \text{et}\qquad w_2=-\dfrac{2}{3}w_1-1=-\dfrac{2}{3}\times \left(-\dfrac{17}{3}\right)-1=\dfrac{34}{9}-1=\dfrac{25}{9}$$
\item {\footnotesize On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x)=-\dfrac{2}{3}x-1$ et la droite d'équation $y=x$.}
%\begin{center}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
%\begin{pspicture*}(-8.5,-8.59999)(8.5,8.59999)
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%\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
%\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
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%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(7,-5.66667)(0,-5.66667)
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%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-5.66667)(-5.66667,-5.66667)
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%\def\F{0 2 x mul 3 div sub 1 sub}
%\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-8}{8}{x}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\F}
%\uput[0](4.2,-3.5){$y=-\frac{2x}{3}-1$}
%\endpsclip
%\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
%%\uput[-90](7,0){\small $u_0$}
%%\uput[180](0,-5.66667){\small $u_1$}
%%\uput[-90](-5.66667,0){\small $u_1$}
%\end{pspicture*}
%
%\end{center}
{\footnotesize Placer sur l'axe des abscisses, en s'aidant du graphique, les termes $w_0$ ; $w_1$ ; $w_2$ ; $w_3$ et $w_4$.}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-8.5,-8.59999)(8.5,8.59999)
\def\xmin{-8} \def\xmax{8} \def\ymin{-8} \def\ymax{8}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-8.5,-8.59999)(8.5,8.59999)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-5.66667)(-5.66667,-5.66667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,-5.66667)(-5.66667,-5.66667)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-5.66667,-5.66667)(-5.66667,0)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.77777)(2.77777,2.77777)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,2.77777)(2.77777,2.77777)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.77777,2.77777)(2.77777,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(2.77777,2.77777)(2.77777,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.77777,0)(2.77777,-2.85186)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(2.77777,0)(2.77777,-2.85186)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.77777,-2.85186)(0,-2.85186)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(2.77777,-2.85186)(0,-2.85186)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-2.85186)(-2.85186,-2.85186)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,-2.85186)(-2.85186,-2.85186)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-2.85186,-2.85186)(-2.85186,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-2.85186,-2.85186)(-2.85186,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-2.85186,0)(-2.85186,0.90123)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-2.85186,0)(-2.85186,0.90123)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-2.85186,0.90123)(0,0.90123)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-2.85186,0.90123)(0,0.90123)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.90123)(0.90123,0.90123)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,0.90123)(0.90123,0.90123)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.90123,0.90123)(0.90123,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0.90123,0.90123)(0.90123,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.90123,0)(0.90123,-1.60083)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0.90123,0)(0.90123,-1.60083)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.90123,-1.60083)(0,-1.60083)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0.90123,-1.60083)(0,-1.60083)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-1.60083)(-1.60083,-1.60083)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,-1.60083)(-1.60083,-1.60083)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1.60083,-1.60083)(-1.60083,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-1.60083,-1.60083)(-1.60083,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1.60083,0)(-1.60083,0.06721)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-1.60083,0)(-1.60083,0.06721)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1.60083,0.06721)(0,0.06721)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-1.60083,0.06721)(0,0.06721)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,0.06721)(0.06721,0.06721)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,0.06721)(0.06721,0.06721)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.06721,0.06721)(0.06721,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0.06721,0.06721)(0.06721,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.06721,0)(0.06721,-1.04482)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0.06721,0)(0.06721,-1.04482)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0.06721,-1.04482)(0,-1.04482)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0.06721,-1.04482)(0,-1.04482)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,-1.04482)(-1.04482,-1.04482)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(0,-1.04482)(-1.04482,-1.04482)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(-1.04482,-1.04482)(-1.04482,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{-}(-1.04482,-1.04482)(-1.04482,0)
\def\F{0 2 x mul 3 div sub 1 sub}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-8}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-8}{8}{\F}
\uput[0](4.2,-3.5){$y=-\frac{2x}{3}-1$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](7,0){\small $w_0$}
\uput[180](0,-5.66667){\small $w_1$}
\uput[-90](-5.66667,0){\small $w_1$}
\uput[180](0,2.77777){\small $w_2$}
\uput[-90](2.77777,0){\small $w_2$}
\uput[180](0,-2.85186){\small $w_3$}
\uput[-90](-2.85186,0){\small $w_3$}
\uput[180](0,0.90123){\small $w_4$}
\uput[-90](0.90123,0){\small $w_4$}
\uput[180](0,-1.60083){\small $w_5$}
\uput[-90](-1.60083,0){\small $w_5$}
\uput[180](0,0.06721){\small $w_6$}
\uput[-90](0.06721,0){\small $w_6$}
\uput[180](0,-1.04482){\small $w_7$}
\uput[-90](-1.04482,0){\small $w_7$}
\end{pspicture*}


\end{center}
\item {\footnotesize Conjecturer le sens de variation de la suite $w$ ainsi que la limite de la suite $w$.}

Sur le graphique il apparait que $w_0$, $w_1$, $w_2$, $w_3$ et $w_4$ sont rangés ni dans l'ordre croissant ni dans l'ordre décroissant, nous pouvons affirmer que $w$ n'est ni croissante ni décroissante.

Les termes de la suites $w$ se rapproche de l'abscisse du point d'intersection de la représentation graphique de $f$ avec la droite d'équation $y=x$ d'où la conjecture suivante :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} w_n\simeq -0,5$$
\item {\footnotesize \textbf{Bonus} : Retrouver la limite de la suite $w$ par le calcul. }

Nous cherchons donc le réel $x$ vérifiant $f(x)=x$ c'est-à-dire la solution de l'équation :
$$ -\dfrac{2}{3}x-1=x \Longleftrightarrow -1=x+2/3x  \Longrightarrow -1=\dfrac{5}{3}x \Longrightarrow x=-\dfrac{3}{5}=-0,6$$

donc la suite $w$ converge vers $-0,6$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
