\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R $ par $f(x)=-10x^2+5x+1$. Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On a pour tout réel $x$ :
$$ f(x)=-10\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{3}{8}$$
\end{footnotesize}
\\
Développons la précédente expression : 
$$ f(x)=-10\left(x^2+2\times \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{16}\right)-\dfrac{3}{8}=-10x^2-5x-\dfrac{5}{8}-\dfrac{3}{8}=-10x^2-5x-1$$
Or, il existe des valeurs de $x$ telles que $-10x^2-5x-1\neq -10x^2+5x+1$  (en particulier $x=0$), ainsi on en déduit que la première affirmation est fausse.
\item {\footnotesize La courbe représentative de $f$ admet un axe de symétrie d'équation $x=\dfrac{1}{4}$.}
\\
L'abscisse $\alpha$ du sommet de la parabole représentant $f$ vaut :
$$\alpha=-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{-5}{2\times(-10)}=-\dfrac{1}{4}$$
Ainsi l'équation de l'axe de symétrie de la parabole est $x=-\dfrac{1}{4}$, l'affirmation de départ est donc fausse.
\item {\footnotesize Le trinôme $-10x^2+5x+1$ n'admet pas de racines.}
\\
Pour le savoir il suffit de calculer le discriminant et d'examiner son signe :
$$ \Delta=b^2-4ac=5^2-4\times (-10)\times 1=25+40=65>0$$
le trinôme $-10x^2+5x+1$ admet donc deux racines et l'affirmation est donc fausse.
\item {\footnotesize Pour tout réel $x$, $f(x)$ est négatif.}
\\
Puisque le trinôme admet deux racines que nous notons $x_1$ et $x_2$ et puisque la parabole admet un maximum car $a=-10<0$ on en déduit le tableau de signe de $f(x)$ :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{\infty}&&\tx{x_1}&&\tx{x_2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
\end{center}
$f(x)$ n'est pas tout le temps négatif, en particulier pour $x$ compris entre les racines on a $f(x)>0$ ce qui prouve que l'affirmation est fausse.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (4 points)\\
{\footnotesize On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$. Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier la réponse.  }
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Si pour tout réel $x$, $f(x)<0$ alors $\Delta<0$.}
\\
Si pour tout réel $x$, on a $f(x)<0$, alors en particulier il n'existe aucune valeur de $x$ telle que $f(x)=0$, et donc le trinôme n'admet pas de racine ce qui implique que son discriminant $\Delta<0$ ce qui montre que l'affirmation est vraie.
\item {\footnotesize Si $\Delta <0$, alors pour tout réel $x$, $f(x)<0$.}
\\
Si $\Delta<0$ alors le trinôme n'admet pas de racine donc il est impossible que $f(x)=0$. Si $a>0$ alors on a $f(x)>0$ pour tout réel $x$ et si $a<0$ alors on a $f(x)<0$.

On a donc pas systématiquement $f(x)<0$ donc l'affirmation est fausse.
\item {\footnotesize S'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $f(\alpha)f(\beta)<0$ alors $\Delta\geq 0$.}

S'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $f(\alpha)f(\beta)<0$ alors $f(\alpha)$ et $f(\beta)$ sont de signes contraires, l'un est positif et l'autre est négatif.

Par conséquent le trinôme $f(x)$ admet deux racines et donc son discriminant est strictement positif ; et puisque $\Delta>0$ on a aussi $\Delta\geq 0$ ce qui montre que l'affirmation est vraie.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\vfill
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (6 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R $ par $f(x)=10x^2-5x+1$. Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On a pour tout réel $x$ :
$$ f(x)=10\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{23}{8}$$
\end{footnotesize}


Pour $x=0$ la première expression donne $f(0)=1$ tandis que la deuxième expression donne $10\times \dfrac{1}{16}+\dfrac{23}{8}=\dfrac{28}{8}$ ; les deux résultats n'étant pas identiques on peut en conclure que l'affirmation est fausse.
\item {\footnotesize La courbe représentative de $f$ admet un axe de symétrie d'équation $x=-\dfrac{1}{4}$.}


L'abscisse $\alpha$ du sommet de la parabole représentant $f$ vaut :
$$\alpha=-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{-5}{2\times 10}=\dfrac{1}{4}$$

Et donc l'axe de symétrie admet pour équation $x=-\dfrac{1}{4}$, par conséquent l'affirmation est fausse.
\item {\footnotesize Le trinôme $10x^2-5x+1$ n'admet pas de racines.}
\\
Pour le savoir il suffit de calculer le discriminant et d'examiner son signe :
$$ \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 10\times 1=25-40=-15<0$$
le trinôme $-10x^2+5x+1$ n'admet donc pas de racines et l'affirmation est donc vraie.
\item {\footnotesize Pour tout réel $x$, $f(x)$ est positif.}

Puisque $f(x)$ n'admet pas de racine, $f(x)$ est du signe de $a$ donc quelque soit le réel $x$ on a :
$$ f(x)>0$$
L'affirmation est donc vraie.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (4 points)\\
{\footnotesize On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$. Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier la réponse.  }
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Si pour tout réel $x$, $f(x)>0$ alors $\Delta<0$.}

Si pour tout réel $x$, on a $f(x)>0$, alors en particulier il n'existe aucune valeur de $x$ telle que $f(x)=0$, et donc le trinôme n'admet pas de racine ce qui implique que son discriminant $\Delta<0$ ce qui montre que l'affirmation est vraie.
\item {\footnotesize Si $\Delta <0$, alors pour tout réel $x$, $f(x)>0$.}

Si $\Delta<0$ alors le trinôme n'admet pas de racine et $f(x)$ est du signe de $a$ donc soit $f(x)>0$ pour tout $x$ soit au contraire $f(x)<0$ pour tout $x$ et donc l'affirmation est fausse.
\item {\footnotesize S'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $f(\alpha)f(\beta)<0$ alors $\Delta\geq 0$.}

S'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $f(\alpha)f(\beta)<0$ alors $f(\alpha)$ et $f(\beta)$ sont de signes contraires, l'un est positif et l'autre est négatif.

Par conséquent le trinôme $f(x)$ admet deux racines et donc son discriminant est strictement positif ; et puisque $\Delta>0$ on a aussi $\Delta\geq 0$ ce qui montre que l'affirmation est vraie.
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}
