\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction de l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize  Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :}
\begin{enumerate}
\item $2x^2-5x-9=0$
\\
On détermine le discriminant du trinôme $2x^2-5x-9$ :
$$ \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 2\times (-9)=25+72=97>0$$
Puisque le discriminant est strictement positif l'équation $2x^2-5x-9=0$ admet deux solutions distinctes :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-5)-\sqrt{97}}{4}=\dfrac{5-\sqrt{97}}{4}\qquad \text{ou}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{97}}{4} $$
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{5-\sqrt{97}}{4};\dfrac{5+\sqrt{97}}{4}\right\}$$
\item $-x^2+x-10=0$
\\
On détermine le discriminant du trinôme $-x^2+x-10$ :
$$ \Delta=b^2-4ac=1^2-4\times (-1)\times (-10)=1+40=-39<0$$
Puisque le discriminant est strictement négatif l'équation $-x^2+x-10=0$ n'admet pas de solution d'où :
$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $7x^2-3=0\Longleftrightarrow 7x^2=3 \Longleftrightarrow x^2=\dfrac{3}{7} \Longleftrightarrow x_1=-\sqrt{\dfrac{3}{7}}\qquad \text{ou}\qquad x_2=\sqrt{\dfrac{3}{7}}$

L'ensemble $\mathscr S$ des solutions de l'équation $-x^2+x-10=0$ est donc :
$$ \mathscr S=\left\{-\sqrt{\dfrac{3}{7}};\sqrt{\dfrac{3}{7}}\right\}$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :}
\begin{enumerate}
\item $2x^2-5x-9\leq 0$

Le trinôme $2x^2-5x-9$ admet deux racines distinctes qui sont $\dfrac{5-\sqrt{97}}{4}$ et $\dfrac{5+\sqrt{97}}{4}$ ; de plus $a=2>0$ d'où :

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{5-\sqrt{97}}{4}}&&\tx{\dfrac{5+\sqrt{97}}{4}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2x^2-5x-9}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\end{center}

L'ensemble $\mathscr S$ des réels $x$ qui vérifient $2x^2-5x-9\leq 0$ est l'intervalle :
$$ \mathscr S=\left]\dfrac{5-\sqrt{97}}{4};\dfrac{5+\sqrt{97}}{4}\right[$$

\item $-x^2+x-10>0$

Le trinôme $-x^2+x-10$ n'admet pas de  racines par conséquent il est de signe constant et puisque $a=-1$ on obtient :

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{-x^2+x-10}&&&&\tx{-}&&&\cr
}$$
\end{center}

On vient de démontrer que quelque soit le réel $x$ on a $-x^2+x-10<0$, ainsi l'inéquation $-x^2+x-10>0$ n'admet aucune solution d'où :



$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $7x^2-3\geq 0$

Le trinôme $7x^2-3$ admet deux racines distinctes qui sont $\sqrt{\dfrac{3}{7}}$ et $-\sqrt{\dfrac{3}{7}}$ ; de plus $a=7>0$ d'où :


\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-\sqrt{\dfrac{3}{7}}}&&\tx{\sqrt{\dfrac{3}{7}}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{7x^2-3}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$

L'ensemble $\mathscr S$ des réels $x$ qui vérifient $7x^2-3\geq 0$ est la réunion des intervalles :
$$ \mathscr S=\left]-\infty;-\sqrt{\dfrac{3}{7}}\right]\cup \left[\sqrt{\dfrac{3}{7}};+\infty\right[$$


\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
Déterminer les dimensions d'un rectangle d'aire $S=12$ cm$^2$ et de périmètre $P=16$ cm.

\end{footnotesize}
Notons $x$ et $y$ les dimensions du rectangle.

Puisque l'aire vaut $12$ on a $xy=12$ ; de plus puisque le périmètre vaut $16$, le demi-périmètre vaut $8$ ce qui donne $x+y=8 \Longleftrightarrow y=8-x$. En utilisant la première équation on obtient :

$$ x(8-x)=12 \Longleftrightarrow 8x-x^2=12\Longleftrightarrow -x^2+8x-12=0$$
On calcule le discriminant :
$$ \Delta =b^2-4ac=8^2-4\times (-1)\times (-12)=64-48=16$$
Par conséquent l'équation $-x^2+8x-12=0$ admet deux solutions distinctes :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-8-\sqrt{16}}{-2}=\dfrac{-12}{-2}=6\qquad \text{ou } \qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{8-\sqrt{16}}{2}=2$$

Lorsque $x=6$ alors $y=8-x=8-6=2$

Lorsque $x=2$ alors $y=8-x=8-2=6$

Dans les deux cas les dimensions du rectangle sont $6$ pour la longueur et $2$ pour la largeur.
\end{exoi}



\pagebreak
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{Correction l'interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (6 points)
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ les équations suivantes :}
\begin{enumerate}
\item $2x^2-5x+9=0$
\\
On détermine le discriminant du trinôme $2x^2-5x+9$ :
$$ \Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 2\times 9=25-72=-47<0$$
Puisque le discriminant est strictement négatif l'équation $2x^2-5x+9=0$ n'admet pas de solution :
$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $-x^2+10x-1=0$
\\
On détermine le discriminant du trinôme $-x^2+10x-1=0$ :
$$ \Delta=b^2-4ac=10^2-4\times (-1)\times (-1)=100-4=96>0$$
Puisque le discriminant est strictement positif l'équation $-x^2+10x-1=0$ admet deux solutions distinctes :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-10-\sqrt{96}}{-2}=\dfrac{10+\sqrt{96}}{2}=5+4\sqrt{6}\qquad \text{ou}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=5-4\sqrt{6}$$
$$ \mathscr S=\{5-4\sqrt{6};5+4\sqrt{6}\}$$
\item $7x^2+3x=0\Longleftrightarrow x(7x+3)=0\Longleftrightarrow x=0\qquad \text{ou}\qquad 7x+3=0$
\\
c'est-à-dire :
$$ x=0\qquad \text{ou}\qquad 7x=-3\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{7}$$
L'équation $7x^2+3x=0$ admet donc deux solutions distinctes :
$$ \mathscr S=\left\{-\dfrac{3}{7};0\right\}$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ les inéquations suivantes :}
\begin{enumerate}
\item $2x^2-5x+9\leq 0$
\\
Le trinôme $2x^2-5x+9$ n'admet pas de racines par conséquent il est de signe constant et puisque $a=2>0$ on obtient :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2x^2-5x+9}&&&\tx{+}&&\cr
}$$
\end{center}
L'inéquation $2x^2-5x+9\leq 0$ n'admet aucune solution puisqu'au contraire on a $2x^2-5x+9>0$ d'après le tableau de signes auquel cas :
$$ \mathscr S=\emptyset$$
\item $-x^2+10x-1>0$
\\
Le trinôme $-x^2+10x-1$ admet deux racines qui sont $5-4\sqrt{6}$ et $5+4\sqrt{6}$ ; de plus puisque $a=-1$ on obtient :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{5-4\sqrt{6}}&&\tx{5+4\sqrt{6}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{-x^2+10x-1}&&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
}$$
L'ensemble $\mathscr S$ des solutions de l'inéquation $-x^2+10x-1>0$ est l'intervalle :
$$ \mathscr S=]5-4\sqrt{6};5+4\sqrt{6}[$$
\end{center}
\item $7x^2+3x\geq 0$
\\
Le trinôme $7x^2+3x$ admet deux racines qui sont $0$ et $-\dfrac{3}{7}$ ; de plus puisque $a=7$ on obtient :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-\dfrac{3}{7}}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{7x^2+3x}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (4 points)\\
\begin{footnotesize}
Déterminer les dimensions d'un rectangle d'aire $S=10$ cm$^2$ et de périmètre $P=15$ cm.
\end{footnotesize}

Notons $x$ et $y$ les dimensions du rectangle.

Puisque l'aire vaut $10$ on a $xy=10$ ; de plus puisque le périmètre vaut $15$, le demi-périmètre vaut $7,5$ ce qui donne $x+y=7,5 \Longleftrightarrow y=7,5-x$. En utilisant la première équation on obtient :

$$ x(7,5-x)=10 \Longleftrightarrow 7,5x-x^2=10\Longleftrightarrow -x^2+7,5x-10=0$$
On calcule le discriminant :
$$ \Delta =b^2-4ac=7,5^2-4\times (-1)\times (-10)=56,25-40=16,25$$
Par conséquent l'équation $-x^2+7,5x-10=0$ admet deux solutions disctinctes :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7,5-\sqrt{16,25}}{-2}=\dfrac{7,5+\sqrt{16,25}}{2}\qquad \text{ou } \qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7,5-\sqrt{16,25}}{2}$$

Lorsque $x=\dfrac{7,5+\sqrt{16,25}}{2}$ alors $y=7,5-x=7,5-\dfrac{7,5+\sqrt{16,25}}{2}=\dfrac{7,5-\sqrt{16,25}}{2}$

Lorsque $x=\dfrac{7,5-\sqrt{16,25}}{2}$ alors $y=7,5-x=7,5-\dfrac{7,5-\sqrt{16,25}}{2}=\dfrac{7,5+\sqrt{16,25}}{2}$

Dans les deux cas les dimensions du rectangle sont $\dfrac{7,5+\sqrt{16,25}}{2}$ et $\dfrac{7,5-\sqrt{16,25}}{2}$.
 
\end{exoi}


\end{document}
