\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}12$\hfill Sujet A }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonctions  $g$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=2x^3-4x^2+5x-8$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer  $g'(x)$ pour tout $x\in \R$.}

Pour tout $x\in  \R$ on a  :
$$ g'(x)=2\times 3x^2-4\times 2x+5=6x^2-8x+5$$
\item {\footnotesize Etudier le signe de $g'(x)$ en fonction des valeurs de $x$.}

Pour étudier le signe d'un trinôme, il faut connaître ses racines :

$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\times 6\times 5=64-180<0$. 

Par conséquent $g'(x)$ est du signe de $a=3$ d'où :

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g'(x)}&&&\tx{+}&&\cr
}$$


\item {\footnotesize En déduire le tableau de variation de la fonction $g$.}

Puisque $g'(x)>0$ pour tout $x\in \R$, il suit que $g$ est strictement croissante sur $\R$ d'où :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g'(x)}&&&\tx{+}&&\cr
\tx{g(x)}&&&\fm&&\cr
}$$



\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \\
\begin{footnotesize}
On considère la fonctions  $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x-1}{x^2+1}$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer $f'(x)$ pour tout $x\in \R$.}

$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, donc pour $x\in\R$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{(x-1)'(x^2+1)-(x-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^2-1-2x(x-1)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^2-1-2x^2+2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-x^2+2x-1}{(x^2+1)^2}$$
%\item Etudier le signe de $g'(x)$ en fonction des valeurs de $x$.
%\item En déduire le tableau de variation de la fonction $g$.
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$.}

L'équation de la tangente au point d'abscisse $a=0$ est de la forme :

$$ y=f'(a)(x-a)+f(a)=f'(0)x+f(0)$$

Or, $f'(0)=\dfrac{-0^2+2\times 0-1}{(0^2+1)^2}=-1$ et $f(0)=\dfrac{0-1}{0^2+1}=-1$, par conséquent une équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$ est :
$$ y=-x-1$$
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des abscisses.}

Les éventuels point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle et égale à $f(x)$, on résout donc :
$$ f(x)=0 \Longleftrightarrow \dfrac{x-1}{x^2+1}=0\Longleftrightarrow x-1=0(x^2+1)\Longleftrightarrow x-1=0\Longleftrightarrow x=1$$

Il existe donc un unique point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des abscisses, disons $A$ qui a pour coordonnée :

$$ A(1;0)$$
\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des ordonnées. }

Les éventuels point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des ordonnée ont une abscisse nulle et une ordonnée égale à $f(0)$, on calcule donc $f(0)$ :
$$ f(0)=\dfrac{0-1}{0^2+1}=-1$$

Il existe donc un unique point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des ordonnées, disons $B$, qui a pour coordonnée :
$$ B(0;-1)$$

\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
%\vfill

\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}12$ \hfill Sujet B}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \\
\begin{footnotesize}
On considère la fonctions  $f$ définie sur $\R\textbackslash \left\{-1\right\}$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer $f'(x)$ pour tout $x\in \R\textbackslash \left\{-1\right\}$.}

$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, donc pour $x\neq -1$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{(x^2+1)'(x+1)-(x^2+1)(x+1)'}{(x+1)^2}=\dfrac{2x(x+1)-x^2-1}{(x+1)^2}=\dfrac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}$$

%\item Etudier le signe de $g'(x)$ en fonction des valeurs de $x$.
%\item En déduire le tableau de variation de la fonction $g$.
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$.}

L'équation de la tangente au point d'abscisse $a=0$ est de la forme :

$$ y=f'(a)(x-a)+f(a)=f'(0)x+f(0)$$

Or, $f'(0)=\dfrac{0^2+2\times 0-1}{(0+1)^2}=-1$ et $f(0)=\dfrac{0^2+1}{0+1}=1$, par conséquent une équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction $f$ au point d'abscisse $0$ est :
$$ y=-x+1$$


\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des abscisses.}

Les éventuels point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle et égale à $f(x)$, on résout donc :
$$ f(x)=0 \Longleftrightarrow \dfrac{x^2+1}{x+1}=0\Longleftrightarrow x^2+1=0(x+1)\Longleftrightarrow x^2+1=0\Longleftrightarrow x^2=-1$$

Un carré étant toujours positif, l'équation $x^2=-1$ n'admet pas de solution et il n'existe pas de point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des abscisses.



\item {\footnotesize Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des ordonnées. }

Les éventuels point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des ordonnée ont une abscisse nulle et une ordonnée égale à $f(0)$, on calcule donc $f(0)$ :
$$ f(0)=\dfrac{0^2+1}{0+1}=1$$

Il existe donc un unique point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et l'axe des ordonnées, disons $B$, qui a pour coordonnée :
$$ B(0;1)$$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonctions  $g$ définie sur $\R$ par :
$$ g(x)=x^3-3x^2-6x+7$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer  $g'(x)$ pour tout $x\in \R$.}

Pour tout réel $x$ on a :
$$ g'(x)=3x^2-3\times 2x-6=3x^2-6x-6$$
\item {\footnotesize Etudier le signe de $g'(x)$ en fonction des valeurs de $x$.}

Pour étudier le signe d'un trinôme, il faut connaître ses racines :

$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times 3\times (-6)=36+72=108>0$, donc le trinôme $g'$ admet deux racines que voici :

$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-\sqrt{108}}{6}=\dfrac{6-6\sqrt{3}}{6}=1-\sqrt{3}\qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+\sqrt{108}}{6}=\dfrac{6+6\sqrt{3}}{6}=1+\sqrt{3}$$ 

Par conséquent $g'(x)>0$ \og à l'extérieur des racines \fg{} ($a=3$ étant positif) d'où :

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1-\sqrt{3}}&&\tx{1+\sqrt{3}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$


\item{\footnotesize  En déduire le tableau de variation de la fonction $g$.}

La connaissance du tableau de signe de $g'$ donne immédiatement le tableau de variation de $g$ :

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{1-\sqrt{3}}&&\tx{1+\sqrt{3}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{g'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{g(x)}&&\fm&&\fd&&\fm&\cr
}$$


\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}
