\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$\hfill Sujet A }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}
On considère la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[-5;10]$ :
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-5)(10.5,4.2) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,-4,2,0)(-4,-1,5,1)(-3,4,0,1)(-1,1,-2,1)(2,-4,3,1)(3,1,-0.333,3)(5,-1,0,1)(8,2,0.25,4)(10,-3,-4,0) 
 \uput[ur](2,1){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Lire graphiquement :
$$ f'(-4)\qquad \text{;}\qquad f'(-3)\qquad\text{;}\qquad f'(-1)\qquad \text{;}\qquad f'(2)\qquad \text{;}\qquad f'(3)\qquad \text{;}\qquad f'(5)\qquad \text{et}\qquad f'(8)$$
\end{footnotesize}
$f'(-4)=5$ ; $f(-3)=0$ ; $f'(-1)=-2$ ; $f'(2)=3$ ; $f'(3)=-\dfrac{1}{3}$ ; $f'(5)=0$ et enfin $f'(8)=\dfrac{1}{4}$
\item {\footnotesize Déterminer l'équation des tangentes :}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize $T_1$ au point d'abscisse $a=-3$ de $\mathscr C_f$ ;}

La tangente $T_1$ admet  une équation de la forme  $y=4$.
\item {\footnotesize $T_2$ au point d'abscisse $a=2$ de $\mathscr C_f$ ;}

La tangente $T_2$ admet  une équation de la forme  $y=3x-10$.

\item {\footnotesize $T_3$ au point d'abscisse $a=3$ de $\mathscr C_f$.}

La tangente $T_3$ admet  une équation de la forme  $y=-\dfrac{1}{3} x+2$.

\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak

\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R\textbackslash \left\{2\right\}$ par :
$$ f(x)=\dfrac{3}{x-2}$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère du plan.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout $h\neq 0$ on a :
$$\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}=\dfrac{-3}{2(2+h)} $$
\end{footnotesize}

Pour $h\neq 0$ on a  :
$$\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}=\dfrac{\dfrac{3}{4+h-2}-\dfrac{3}{4-2}}{h}=\dfrac{\dfrac{3}{2+h}-\dfrac{3}{2}}{h} =\dfrac{\dfrac{6}{2(2+h)}-\dfrac{3(2+h)}{2(2+h)}}{h}=\dfrac{\dfrac{6-3(2+h)}{2(2+h)}}{h}=\dfrac{\dfrac{6-6-3h}{2(2+h)}}{h}=\dfrac{-3h}{2(2+h)}\times \dfrac{1}{h}=\dfrac{-3}{2(2+h)} $$

\item {\footnotesize En déduire $f'(4)$, le nombre dérivé de $f$ en $4$. Interpréter graphiquement.}

En utilisant la question 1. on a  $$\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{-3}{2(2+h)} = \dfrac{-3}{2(2+0)}=-\dfrac{3}{4}$$

Ainsi on a démontré que $$ f'(4)=-\dfrac{3}{4}$$
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $a=4$ de $\mathscr C_f$.}

On sait que l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $a=4$ est de la forme :
$$ y=f'(4)(x-4)+f(4)$$

Or, $f'(4)=-\dfrac{3}{4}$ et $f(4)=\dfrac{3}{4-2}=\dfrac{3}{2}$ par conséquent $T$ admet une équation de la forme :
$$y=-\dfrac{3}{4}(x-4)+\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{4}x+3+\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2}$$

L'équation réduite de $T$ est donc $y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{9}{2}$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak

\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}11$ \hfill Sujet B}}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}
On considère la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $[-5;10]$ :
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5,-5)(10.5,4.2) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,4,-2,0)(-4,0,-4,1)(-3,-2,0,1)(-1,1,-2,1)(2,-4,3,1)(3,1,0.333,3)(5,-1,0,1)(8,2,0.5,2)(10,-3,-4,0) 
 \uput[ur](2,1){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Lire graphiquement :
$$ f'(-4)\qquad \text{;}\qquad f'(-3)\qquad\text{;}\qquad f'(-1)\qquad \text{;}\qquad f'(2)\qquad \text{;}\qquad f'(3)\qquad \text{;}\qquad f'(5)\qquad \text{et}\qquad f'(8)$$
\end{footnotesize}
$f'(-4)=-4$ ; $f(-3)=0$ ; $f'(-1)=-2$ ; $f'(2)=3$ ; $f'(3)=\dfrac{1}{3}$ ; $f'(5)=0$ et enfin $f'(8)=\dfrac{1}{2}$
\item Déterminer l'équation des tangentes :
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize $T_1$ au point d'abscisse $a=-3$ de $\mathscr C_f$ ;}

La tangente $T_1$ admet  une équation de la forme  $y=-2$.

\item {\footnotesize $T_2$ au point d'abscisse $a=-1$ de $\mathscr C_f$ ;}

La tangente $T_2$ admet  une équation de la forme  $y=-2x-1$.

\item {\footnotesize $T_3$ au point d'abscisse $a=8$ de $\mathscr C_f$.}

La tangente $T_3$ admet  une équation de la forme  $y=\dfrac{1}{2} x-2$.

\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{5 points}\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=x^2-5x+1$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère du plan.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour tout $h\neq 0$ on a :
$$\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}=h+3 $$
\end{footnotesize}

Pour tout $h\neq 0$ on a :
$$ \dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}=\dfrac{(4+h)^2-5(4+h)+1-(4^2-5\times 4+1	)}{h}=\dfrac{16+8h+h^2-20-5h+1-(-3)}{h}=\dfrac{h^2+3h}{h}=h+3$$
\item {\footnotesize En déduire $f'(4)$, le nombre dérivé de $f$ en $4$. Interpréter graphiquement.}

En utilisant la question 1. on a  $$\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}=\lim\limits_{h\to 0} h+3 = 3$$

Ainsi on a démontré que $$ f'(4)=3$$
\item {\footnotesize Déterminer l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $a=4$ de $\mathscr C_f$.}

On sait que l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $a=4$ est de la forme :
$$ y=f'(4)(x-4)+f(4)$$

Or, $f'(4)=3$ et $f(4)=4^2-20+1=16-20+1=-3$ par conséquent $T$ admet une équation de la forme :
$$y=3(x-4)-3=3x-12-3=3x-15$$

L'équation réduite de $T$ est donc $y=3x-15$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
