\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textbf{10 points}\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère, on considère les points :
$$ A(-7;3)\qquad B(1;20)\qquad \text{et} \qquad C(6;-17)$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.}

La droite $(AB)$ est dirigée, en particulier, par le vecteur $\overrightarrow{AB}(8;17)$.

Ainsi $M(x;y)\in (AB)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.

Or, $\overrightarrow{AM}(x+7;y-3)$, par conséquent :
$$ M(x;y)\in (AB)\Longleftrightarrow 8(y-3)-17(x+7)=0\Longleftrightarrow 8y-24-17x-119=0\Longleftrightarrow -17x+8y-143=0$$
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc : $ -17x+8y-143=0$
\item {\footnotesize Le point $D(-3;11.5)$ est-il sur la droite $(AB)$ ?}

$D(-3;11.5)\in (AB)$ si et seulement si ses coordonnées satisfont l'équation de $(AB)$.

De plus $-17\times (-3)+8\times 11,5-143=51+92-143=143-143=0$ montre que les coordonnées de $D$ satisfont l'équation de $(AB)$. On en déduit que $D\in (AB)$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $d$ la droite parallèle à $(AB)$ passant par $C$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner deux vecteurs directeurs de $d$.}

$d$ étant parallèle à $(AB)$, tout vecteur directeur de $(AB)$ est un vecteur directeur de $d$. En particulier $\overrightarrow{AB}(8;17)$ dirige $d$. De plus tout vecteur colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ dirige aussi $(AB)$ et donc $d$. En particulier $2\overrightarrow{AB}(16;34)$ est un autre vecteur directeur de $d$.
\item \begin{footnotesize}
Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$.
\end{footnotesize}

Puisque $d$ est dirigée par $\overrightarrow{AB}$ et passe par $C$, on a :

$M(x;y)\in d\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CM}$ sont colinéaires.

Or, $\overrightarrow{CM}(x-6;y+17)$ et  $\overrightarrow{AB}(8;17)$, par conséquent :

$$M(x;y)\in d\Longleftrightarrow 17(x-6)-8(y+17)=0\Longleftrightarrow 17x-102-8y-136=0\Longleftrightarrow 17x-8y -238=0$$

Une équation cartésienne de la droite $d$ est : $17x-8y -238=0 $
\item {\footnotesize Déterminer le nombre réel $x$ tel que $E(x;1)$ soit un point de $d$.}

On cherche $x$ de manière à ce que les coordonnées de $E$ satisfassent l'équation de $d$ :
$$ 17x-8\times 1-238=0\Longleftrightarrow 17x -246=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{246}{17}$$

Ainsi $E(x;1)\in d$ si et seulement si $x=\dfrac{246}{17}$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $\Delta$ la droite d'équation $340x-150y+12345=0$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner un vecteur directeur de $\Delta$.}

On sait d'après le cours que toute droite d'équation $ax+by+c=0$ admet un vecteur directeur de coordonnées $(-b;a)$ ainsi $\vec{u}(150;340)$ dirige $\Delta$. 
\item {\footnotesize $\Delta$ est-elle parallèle à $(AB)$ ?}

$\Delta$ est parallèle à $(AB)$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

Puisque $150\times 17-8\times 340\neq 0$ il suit que les vecteurs $\vec{u}$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas colinéaires et donc que les droites $(AB)$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak

\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Correction de l'interrogation n$^{\circ}10$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textbf{10 points}\\
\begin{footnotesize}
Dans un repère, on considère les points :
$$ A(-10;1)\qquad B(1;20)\qquad \text{et} \qquad C(6;-17)$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.}

La droite $(AB)$ est dirigée, en particulier, par le vecteur $\overrightarrow{AB}(11;19)$.

Ainsi $M(x;y)\in (AB)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.

Or, $\overrightarrow{AM}(x+10;y-1)$, par conséquent :
$$ M(x;y)\in (AB)\Longleftrightarrow 11(y-1)-19(x+10)=0\Longleftrightarrow 11y-11-19x-190=0\Longleftrightarrow -19x+11y-201=0$$
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc : $ -19x+11y-201=0$
\item {\footnotesize Le point $D(-3;13)$ est-il sur la droite $(AB)$ ?}

$D(-3;13)\in (AB)$ si et seulement si ses coordonnées satisfont l'équation de $(AB)$.

De plus $-19\times (-3)+11\times 13-201=57+143-201=200-201\neq 0$ montre que les coordonnées de $D$ ne satisfont pas l'équation de $(AB)$. On en déduit que $D\notin (AB)$.
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $d$ la droite parallèle à $(AB)$ passant par $C$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner deux vecteurs directeurs de $d$.}

$d$ étant parallèle à $(AB)$, tout vecteur directeur de $(AB)$ est un vecteur directeur de $d$. En particulier $\overrightarrow{AB}(11;19)$ dirige $d$. De plus tout vecteur colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ dirige aussi $(AB)$ et donc $d$. En particulier $2\overrightarrow{AB}(22;38)$ est un autre vecteur directeur de $d$.
\item {\footnotesize Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$.}

Puisque $d$ est dirigée par $\overrightarrow{AB}$ et passe par $C$, on a :

$M(x;y)\in d\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CM}$ sont colinéaires.

Or, $\overrightarrow{CM}(x-6;y+17)$ et  $\overrightarrow{AB}(11;19)$, par conséquent :

$$M(x;y)\in d\Longleftrightarrow 19(x-6)-11(y+17)=0\Longleftrightarrow 19x-114-11y-187=0\Longleftrightarrow 19x-11y -301=0$$

Une équation cartésienne de la droite $d$ est : $19x-11y -301=0 $
\item {\footnotesize Déterminer le nombre réel $x$ tel que $E(x;1)$ soit un point de $d$.}

On cherche $x$ de manière à ce que les coordonnées de $E$ satisfassent l'équation de $d$ :
$$ 19x-11\times 1-301=0\Longleftrightarrow 19x -312=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{312}{19}$$

Ainsi $E(x;1)\in d$ si et seulement si $x=\dfrac{312}{19}$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $\Delta$ la droite d'équation $380x-200y+12345=0$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner un vecteur directeur de $\Delta$.}

On sait d'après le cours que toute droite d'équation $ax+by+c=0$ admet un vecteur directeur de coordonnées $(-b;a)$ ainsi $\vec{u}(200;380)$ dirige $\Delta$. 
\item {\footnotesize $\Delta$ est-elle parallèle à $(AB)$ ?}

$\Delta$ est parallèle à $(AB)$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

Puisque $200\times 19-11\times 380\neq 0$ il suit que les vecteurs $\vec{u}$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas colinéaires et donc que les droites $(AB)$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
