
\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction Devoir Surveill\'e 7}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Loi binomiale}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements.}

\begin{exoi}\hfill \textbf{6 points}\\
\begin{footnotesize}
Une entreprise possède $50$ ordinateurs. Lorsque les employés de cette entreprise partent en week-end, les $50$ ordinateurs fonctionnent parfaitement. On suppose que chaque ordinateur a une probabilité égale à $0,01$ de tomber en panne pendant le week-end.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'ordinateur en panne le lundi matin.

\end{footnotesize}
\textit{On donnera les résultats arrondis à $10^{-3}$ près.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner, sans justification, la loi suivie par la variable aléatoire $X$ en préciser ses paramètres.}

$$ X\hookrightarrow \mathscr B\left(50;0,01\right)$$
\item {\footnotesize Déterminer la probabilité qu'aucun ordinateur ne tombe en panne durant le week-end.}
Comme  $ X\hookrightarrow \mathscr B\left(50;0,01\right)$ il suit que :
$$ P(X=0)=\binom{50}{0}\times 0,01^0\times 0,99^{50}=0,99^{50}$$
\item {\footnotesize Déterminer la probabilité qu'au moins un ordinateur soit en panne le lundi matin.}

$$ P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-0,99^{50}$$
\item {\footnotesize Déterminer $P(X=1)$ puis $P(X=2)$.}

Comme  $ X\hookrightarrow \mathscr B\left(50;0,01\right)$ il suit que :
$$ P(X=1)=\binom{50}{1}\times 0,01^1\times 0,99^{49}=50\times 0,01\times 0,99^{49}=\dfrac{0,99^{49}}{2}\qquad \text{et}\qquad P(X=2)=\binom{50}{2}\times 0,01^2\times 0,99^{48}$$
\item {\footnotesize Déterminer la probabilité qu'au plus $2$ ordinateurs soient en panne le lundi matin.}

$$P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$$
\item {\footnotesize Déterminer $E(X)$ puis interpréter.}

Comme  $ X\hookrightarrow \mathscr B\left(50;0,01\right)$ il suit que $E(X)=50\times 0,01=0,5$

En moyenne $0,5$ ordinateurs sont en pannes le lundi matin. 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{7 points}

{\footnotesize Des études statistiques ont montré qu'à la naissance, la probabilité d'avoir une fille est de $0,49$. On rencontre au hasard une famille de trois enfants, dont les naissances sont supposés indépendantes (c'est-à-dire que chaque enfant a $49\%$ de chance d'être une fille), et on s'intéresse au nombre de filles.}


\begin{enumerate}
\item {\footnotesize On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de filles dans cette famille.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner, sans justification, la loi suivie par la variable aléatoire $X$ en précisant ses paramètres.}

$$X\hookrightarrow \mathscr B\left(3;0.49\right) $$
\item {\footnotesize Calculer la probabilité que cette famille ait au moins une fille.}

$$ P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-0.51^3$$
\item {\footnotesize Calculer la probabilité que cette famille ait au moins un garçon.}

Cette famille a au moins un garçon si et seulement si elle a au plus deux filles d'où :
$$P(X\leq 2)=1-P(X>2)=1-P(X=3)=1-0,49^3 $$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On rencontre ensuite au hasard et de manière indépendante $10$ familles de trois enfants (les hypothèses sont les mêmes qu'au début de l'exercice).}

\begin{footnotesize}
On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de familles qui ont au moins une fille.

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.}

Puisqu'on rencontre au hasard et de manière indépendante $10$ familles de trois enfants, la variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de familles qui ont au moins une fille suit une loi binomiale de paramètre $n=10$ et $p=1-0.51^3$.
\item {\footnotesize Calculer la probabilité que neuf familles exactement sur les dix aient au moins une fille.}

$$ P(Y=9)=\binom{10}{9}\times \left(1-0.51^3\right)\times \left(0.51^3\right)^9$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Combien de familles de trois enfants doit-on rencontrer pour être sûr à plus de $99\%$ qu'au moins l'une d'entre elles ait au moins une fille ?}

Notons $Z$ la variable aléatoire qui donne le nombre de familles qui ont au moins une fille, alors $Z\hookrightarrow \mathscr B(n;1-0.51^3)$.

On cherche $n$ tel que :
$$ P(Z\geq 1)\geq 0,99\Longleftrightarrow 1-P(Z=0)\geq 0,99 \Longleftrightarrow 0.01\geq P(Z=0) \Longleftrightarrow \left(0.51^3\right)^n\leq 0,01$$

De plus $\left(0.51^3\right)^2>0,01$ et $\left(0.51^3\right)^3<0,01$. Ainsi il faut rencontrer au moins $3$ familles pour être sûr à plus de $99\%$ qu'au moins l'une d'entre elles ait au moins une fille.
\end{enumerate}
\end{exoi}






\begin{exoi}\hfill \textbf{7 points}\\
\begin{footnotesize}
Alice et Bob jouent une série de $12$ parties de dames. On suppose que la probabilité que Bob gagne une partie est identique pour chacune des $12$ parties de la série.

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de victoire de Bob. Nous savons que l'espérance de $X$ vaut $E(X)=\dfrac{48}{5}$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize La variable aléatoire $X$ suit-elle une loi binomiale ? }

$X$ suit une loi binomiale puisqu'on répète de manière identique $12$ épreuves de Bernoulli (chacune des $12$ parties de dames en étant une).
\item{\footnotesize  En déduire la probabilité $p$ que Bob gagne une partie.}

Puisque $X\mathscr B(12;p)$ et que $E(X)=\dfrac{48}{5}$ alors :
$$ 12p=\dfrac{48}{5}\Longleftrightarrow p=\dfrac{4}{5}$$
\item{\footnotesize  Calculer $P(X=10)$.}
Puisque $X\mathscr B(12;0.8)$ alors $$ P(X=10)=\binom{12}{10}\times 0,8^{10}\times 0,2^2$$
%\item Calculer la probabilité qu'Alice gagne au moins une partie.
\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Alice et Bob recommence une série de parties de dames pour lesquelles à chaque fois Bob gagne avec une probabilité égale à $\dfrac{4}{5}$. En revanche, ils décident d'interrompre la série dès qu'Alice remporte une partie.

\end{footnotesize}
\begin{footnotesize}
On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de parties disputées lors de cette série.

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize La variable aléatoire $Y$ suit-elle une loi binomiale ? Si oui, préciser ses paramètres.}

Dès qu'Alice gagne une partie de dames la série de partie est interrompue donc $Y$ ne suit pas une loi binomiale.
\item {\footnotesize Calculer $P(Y=1)$ et $P(Y=2)$.}

L'événement $Y=1$ signifie qu'Alice et Bob ont disputé exactement une partie donc que cette partie a été gagné par Alice, par conséquent 
$$ P(Y=1)=\dfrac{1}{5}$$

L'événement $Y=2$ signifie qu'Alice et Bob ont disputé exactement deux parties donc que la première partie a été gagné par Bob puis la suivante par Alice d'où :
$$ P(Y=2)=\dfrac{4}{5}\times \dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{25}$$
\item {\footnotesize La probabilité que Bob gagne plus de parties qu'Alice est-elle supérieure à $\dfrac{1}{2}$ ?}

Bob gagne plus de parties qu'Alice si et seulement si ils disputent plus de $3$ parties. En effet n'oublions pas qu'Alice gagne au maximum une partie lors de cette série (la dernière).

Nous cherchons donc à savoir si $P(Y\geq 3)\geq \dfrac{1}{2}$.

$$P(Y\geq 3)=1-P(Y<3)=1-P(Y=1)-P(Y=2)=1-\dfrac{1}{5}-\dfrac{4}{25}=\dfrac{16}{25}$$

Il y a donc nettement plus d'une chance sur deux que Bob gagne plus de parties qu'Alice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\end{document}
