
\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction evoir Surveill\'e 5}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Vecteurs et d\'erivation - Partie A}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements. Les exercices $1$, $2$, $3$ et $4$ rapportent chacun $5$ points.}

\begin{exoi}\textbf{Points alignés}\hfill \textbf{(4 points)}\\
\begin{footnotesize}
  Dans un repère \Oij\, du plan, on donne les points :
 $$A(2,1) \qquad, \qquad B(x,4) \qquad \text{ et } \qquad C(3,x+2)$$
 \end{footnotesize} \begin{enumerate}
  \item {\footnotesize Montrer $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $x^2-x-5=0$}
  
  $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}(x-2;3)$ et $\overrightarrow{AC}(1;x+1)$ sont colinéaires.
  
  Par conséquent $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si :
  $$ (x-2)(x+1)-3\times 1=0 \Longleftrightarrow x^2+x-2x-2-3=0 \Longleftrightarrow x^2-x-5=0$$
  \item {\footnotesize En déduire les éventuelles valeurs de $x$ telles que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.}
  
  $\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times (-5)=21$ donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si :
  $$ x=\dfrac{1\pm \sqrt{21}}{2}$$
 \end{enumerate}
\end{exoi}

%\begin{exoi} \textbf{Parallélisme}\hfill \textbf{(3 points)}\\
%Dans un repère \Oij\, du plan, on considère les points :
%$$A(-1;-3) \qquad , \qquad B(-3;3) \qquad , \qquad C(4;2) \qquad \text{ et } \qquad D(7;-7)$$
%\begin{enumerate}
% \item Montrer que $(AB)//(CD)$.
% %\item Que pouvez-vous en déduire sur la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
% \item Déterminer les coordonnées de $E$ tel que $ABCE$ soit un parallélogramme.
%\end{enumerate}
%\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{(6 points)}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R^*$ par $ f(x)=\dfrac{x^2+2}{x}$
\begin{enumerate}
%\item A l'aide de la définition, déterminer le nombre dérivé de $f$ en $1$.
\item \begin{footnotesize}
Montrer que pour $x\neq 0$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{x^2-2}{x^2}$$
\end{footnotesize}

$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ donc $f'$ est de la forme $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

Par conséquent pour $x\neq 0$ on a :
$$ f'(x)=\dfrac{(x^2+2)'x-(x^2+2)x'}{x^2}=\dfrac{2x\times x-(x^2+2)}{x^2}=\dfrac{2x^2-x^2-2}{x^2}=\dfrac{x^2-2}{x^2}$$
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Expliquer pourquoi étudier le signe de $f'(x)$ revient à étudier le signe de $x^2-2$.}

Pour $x\neq 0$ on a $x^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x^2-2$.
\item {\footnotesize Déterminer alors le tableau de signe de $f'$ puis le tableau de variation de $f$.}

On détermine le signe du trinôme $x^2-2$ ; pour cela commencons par déterminer ses racines :
$$ x^2-2=0\Longleftrightarrow x^2=2 \Longleftrightarrow x=\pm \sqrt{2}$$
On en déduit le tableau de signe de $f'$ :

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-\sqrt{2}}&&\tx{0}&&\tx{\sqrt{2}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{x^2-2}&&\tx{+}&\tx{0}&&\tx{-}&&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f'(x)}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\doubletraitmilieu&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{f(x)}&&\fm&\txh{\dfrac{4}{-\sqrt{2}}}&\fd&\doubletraitmilieu&\fd&\txb{\dfrac{4}{\sqrt{2}}}&\fm&\cr
}$$


\end{enumerate}
%\item Déterminer, avec les formules du cours, la fonction dérivée de la fonction $f$ et vérifier le résultat obtenu à la question $1$.
\item {\footnotesize Ecrire une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$.}

Une équation de la tangente à la représentation graphique de $f$ au point d'abscisse $1$ est de la forme :
$$ y=f'(1)(x-1)+f(1)$$

Or, $f'(1)=\dfrac{1-2}{1}=-1$ et $f(1)=\dfrac{1+1}{1}=2$, d'où :

$$ y=-1(x-1)+2=-x+1+2=-x+3$$
\item \begin{footnotesize}
Existe-t-il des tangentes à la courbes parallèles à la droite d'équation $y=-7x-5$ ?\\
Si oui préciser les points de la courbe qui correspondent à ces tangentes.
\end{footnotesize}

Il en existe si et seulement si :
$$ f'(x)=-7\Longleftrightarrow \dfrac{x^2-2}{x^2}=-7\Longleftrightarrow x^2-2=-7x^2 \Longleftrightarrow 8x^2=2 \Longleftrightarrow x^2=\dfrac{1}{4} \Longleftrightarrow x=\pm \dfrac{1}{2}$$

Il existe deux points $A$ et $B$ en lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation $y=-7x-5$.

$f(0,5)=\dfrac{0.25+2}{0.5}=\dfrac{2.25}{0.5}=4,5$ et $f(-0,5)=\dfrac{0,25+2}{-0,5}=-4,5$

$A(0,5;4,5)$ et $B(-0,5;-4,5)$ 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\textbf{Problème}\hfill \textbf{(10 points)}\\
%$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés du plan. Les points $G$ et $F$ sont définis par :
%$$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BC}+5\overrightarrow{CA}\qquad 
%\text{et}\qquad \overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}+3\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0} $$
\partieBac{Sans coordonnées}
\begin{enumerate}
\item %Exprimer $\overrightarrow{BF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
On a $\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BA} + 2 \overrightarrow{AC} + 5 \overrightarrow{CA} 
= -2 \overrightarrow{AB} -3 \overrightarrow{AC}$
\item %Démontrer que \quad $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$
On a :
\begin{eqnarray*}
 \overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{BG}+3\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0}
 &\iff&  \overrightarrow{AG}=-2\overrightarrow{BG}-3\overrightarrow{CG}\\
 &\iff & \overrightarrow{AG}=-2\overrightarrow{BA}-2\overrightarrow{AG}-3\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{AG}\\
&\iff & 6\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\\
&\iff & \overrightarrow{AG}=\dfrac26\overrightarrow{AB}+\dfrac36\overrightarrow{AC}\\
&\iff & \overrightarrow{AG}=\dfrac13\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AC}
\end{eqnarray*}
\item %Compléter alors la figure donnée en annexe ci-contre.
Cf figure.
\item %Que peut-on dire du quadrilatère $AGBF$ ? \textit{(Justifier)}
On a \quad $6\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{BF} 
\iff \overrightarrow{BF}=-6\overrightarrow{AG}$\qquad
Les vecteurs $\overrightarrow{BF}$ et $\overrightarrow{AG}$ sont colinéaires de sens 
contraires.\\
Le quadrilatère $AGBF$ est donc un trapèze.
\end{enumerate}
\partieBac{Avec coordonnées}
%On se place dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$
\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ est un repère du plan.
Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, donc $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$
est bien un repère du plan.
\item %Donner les coordonnées de $A$, $B$, $C$ et $G$. 
$A(0;0)$, $B(1,0)$, $C(0,1)$ et $G\left(\dfrac13 ; \dfrac12\right)$ d'après la question 2 de la partie A.
%\textit{(Inutile de justifier, mais pensez à utiliser vos réponses de la partie A)}
\item %Prouver que $F(-1;-3)$.
On cherche les coordonnées de $\overrightarrow{AF}$.\qquad 
On a $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BF} = ... 
= -\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$\qquad 
Donc $F(-1;-3)$.
\item %Déterminer une équation cartésienne de la droite $(BF)$.
 $\overrightarrow{BF}\left(\begin{array}{c}
                                -2 \\ -3
                               \end{array}\right)$ qui est un vecteur directeur de $(BF)$.\qquad
Donc $(BF)$ a une équation du type $-3x+2y=c$ avec $c\in\R$.\\
De plus, on sait que $B\in(BF)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation de $(BF)$ et on a 
$-3\times 1 +2 \times 0 = c \iff c=-3$.\\
Ainsi $(BF) : -3x+2y=-3$.
\item %On donne la droite $\mathscr D :\dfrac{3}{2}x+y=0$ et le point $E\left(2;-\dfrac{3}{2}\right)$.
\begin{enumerate}
\item %Le point $E$ est-il un point de $\mathscr D$ ? Si oui, le placer.  \\
On regarde si les coordonnées de $E$ vérifient l'équation de $\mathscr D$ : \quad 
$\dfrac32 \times 2 - \dfrac32 = ... = \dfrac32 \neq 0$.\qquad
Donc $E\notin \mathscr D$.\\
%Si non, déterminer l'abscisse du point $K$ de $\mathscr D$ d'ordonnée $-\dfrac32$ puis placer $K$.
On note $K\left(x ; -\dfrac32\right)$. On sait que $K\in\mathscr D$ donc 
ses coordonnées vérifient l'équation de $\mathscr D$ ie \\
$\dfrac32x-\dfrac32 = 0 \iff x= 1$. \qquad Donc $K\left(1 ; -\dfrac32\right)$.
\item %La droite $\mathscr D$ est-elle parallèle à la droite $(BF)$ ?\\
Un vecteur directeur de $\mathscr D$ est $\vec u \left(\begin{array}{c}
                                                        -1 \\ \frac32
                                                       \end{array}\right)$
et $\overrightarrow{BF}\left(\begin{array}{c}
                                -2 \\ -3
                               \end{array}\right)$\\
Or $-1 \times -3 -\dfrac32 \times (-2) = 3+3=6 \neq 0$ donc les droites $(BF)$ et $\mathscr D$ sont sécantes.
%Si non, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $I$ et le placer.
On cherche les coordonnées $(x;y)$ de leur point d'intersection, qui vérifient le système :
$$\left\{\begin{array}{l}
          -3x+2y=-3 \\ \dfrac32x+y=0
         \end{array}\right. 
\stackrel{2L_2}{\iff} 
\left\{\begin{array}{l}
          -3x+2y=-3 \\ 3x+2y=0
         \end{array}\right.
         \stackrel{L_1+L_2}{\iff} 
\left\{\begin{array}{l}
          -3x+2y=-3 \\ 4y=-3
         \end{array}\right. \iff ...\iff 
\left\{\begin{array}{l}
          y=-\dfrac34 \\ x=\dfrac12
         \end{array}\right. \qquad \text{Donc } I\left(\dfrac12;-\dfrac34\right)
$$
\item %Grâce aux informations des deux questions précédentes, tracer la droite 
%$\mathscr D$. \textit{On notera la cohérence ...}
La droite $\mathscr D$ passe par les points $I$ et $K$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}



\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-10,-3)(7,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-10,-3)(7,7)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(3,2)(2,-2)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(2,-0.34)(3,2)(-9,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(3,2)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(2,-2)
\psline[linecolor=zzttqq](2,-2)(0,0)
\psline{->}(0,0)(3,2)
\psline{->}(0,0)(2,-2)
\psline{->}(0,0)(-3,-2)
\psline{->}(-3,-2)(-5,0)
\psline{->}(-5,0)(-7,2)
\psline{->}(-7,2)(-9,4)
\psline{->}(0,0)(1,0.66)
\psline{->}(1,0.66)(2,-0.34)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(2,-0.34)
\psline[linecolor=zzttqq](2,-0.34)(3,2)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(-9,4)
\psline[linecolor=zzttqq](-9,4)(0,0)
\psline{->}(3,2)(1,4)
\psline{->}(1,4)(0,5)
%\psline{->}(3,2)(6,4)
%\psline{->}(6,4)(4,6)
%\psline{->}(4,6)(2,8)
%\psline{->}(2,8)(0,10)
\psline{->}(0,0)(1.5,1)
\psline{->}(1.5,1)(0,2.5)
\psline(0,-7)(0,11)
\rput[bl](-0.3,-0.5){{$A$}}
\rput[bl](3.,2.2){{$B$}}
\rput[bl](2.2,-2){{$C$}}
\rput[bl](-8.92,4.12){{$F$}}
\rput[bl](1.7,-0.7){{$G$}}
\rput[bl](0.07,5.11){{$K$}}
\rput[bl](-0.3,2.7){{$I$}}
\rput[bl](-0.5,6.5){{$\mathscr D$}}
\end{pspicture*}\end{center}
\end{exoi}


\pagebreak
\renewcommand{\typedoc}{Devoir Surveill\'e 5 - Partie B}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\renewcommand{\Ch}{D\'erivation}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\renewcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\renewcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\renewcommand{\Annee}{2014-2015}

\DocDav

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements. Les exercices $1$, $2$, $3$ et $4$ rapportent chacun $5$ points.}


\begin{exoi}\hfill \textbf{4 points}

\begin{footnotesize}
La représentation graphique $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ est donnée ci-dessous. En chacun des points indiqués, $\mathscr C_f$ admet une tangente qui est tracée ci-dessous.

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Lisez, en vous servant du quadrillage, les nombres dérivés :
$$ f'(-5)\qquad f'(-3)\qquad f'(-1) \qquad f'(0) \qquad f'(2)\qquad f'(6)$$

Le nombre dérivé représente le coefficient directeur de la tangente, par conséquent on lit :
$f'(-5)=1$, $f'(-3)=-\dfrac{2}{3}$, $f'(-1)=3$, $f'(0)=1$, $f'(2)=0$ et $f'(6)=-2$.
\end{footnotesize}\item {\footnotesize Le graphique ne permet pas la lecture de $f'(4)$, préciser néanmoins son signe (expliquer)}

Autour du point d'abscisse $4$ la fonction semble strictement croissante, il en résulte que $f'(4)>0$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-5,-5.5)(10.5,4.5) 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=3](0,0)(-5,-5)(10,5) 
\psaxes{->}(0,0)(-5,-5.5)(10,5) 
\psaxes(0,0)(-5,-3)(9,5) 
\HermiteDDL(-5,3,1,1)(-3,-2,-0.6666,3)(-1,-2,3,1)(0,2,1,1)(2,-1,0,1)(6,-2,-2,1)(10,-1,-4,0) 
\uput[ur](7.6,-2){$\mathscr C_f$}
\end{pspicture*} 
\end{center} 

\end{exoi}
\begin{exoi}\hfill \textbf{7 points}

\begin{footnotesize}
On considère la fonction $P$ définie sur $\R$ par :
$$ P(x)=x^3-9x-12$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $P'(x)$ pour tout réel $x$.}

Pour tout $x\in\R$ on a :
$$ P'(x)=3x^2-9$$
\item {\footnotesize Etudier le signe de $P'$ et en déduire le tableau de variation complet de $P$.}

Déterminons les racines du trinôme $3x^2-9$ :
$$ 3x^2-9=0 \Longleftrightarrow 3x^2=9 \Longleftrightarrow x^2=3 \Longleftrightarrow x=\pm \sqrt{3}$$

D'où :

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-\sqrt{3}}&&\tx{\sqrt{3}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{3x^2-9}&&\tx{+}&\tx{0}&\tx{-}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
\tx{P(x)}&&\fm&\txh{6\sqrt{3}-12}&\fd&\txb{-6\sqrt{3}-12}&\fm&\cr
}$$



$P(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^3-9\sqrt{3}-12=-6\sqrt{3}-12$ et $P(-\sqrt{3})=(-\sqrt{3})^3+9\sqrt{3}-12=6\sqrt{3}-12$
\item {\footnotesize Donner le maximum et le minimum de $P$ sur l'intervalle $[-2;2]$.}

Sur l'intervalle $[-2;2]$ la dérivée s'annule (en changeant de signe) par deux fois, en $x=\pm \sqrt{3}$ par conséquent $P$ admet un maximum (local) qui est $6\sqrt{3}-12$ et un minimum (local) qui est $-6\sqrt{3}-12$
\item \begin{footnotesize}
Par lecture du tableau de variation de la fonction $P$, donner le nombre de solution de l'équation $P(x)=0$.\\
En donner une valeur approchée à l'aide de votre calculatrice, à $10^{-1}$ près.
\end{footnotesize}

La fonction $P$ admet $6\sqrt{3}-12<0 $ pour maximum sur l'intervalle $]-\infty;\sqrt{3}]$, ainsi $P(x)<0$ lorsque $x\leq \sqrt{3}$. Ainsi sur l'intervalle $]-\infty;\sqrt{3}]$ l'équation $P(x)=0$ n'admet aucune solution.

De plus, puisque $P(4)=4^3-9\times 4-12=64-36-12=16>0$ et $P(\sqrt{3})<0$ et puisque la fonction $P$ est strictement croissante sur l'intervalle $[\sqrt{3};+\infty[$ l'équation $P(x)=0$ admet une solution unique sur $[\sqrt{3};+\infty[$ et donc sur $\R$ qui vérifie (si on note cette solution $\alpha$ ) :
$$ \sqrt{3}<\alpha<4$$

La calculatrice donne :
$$ \alpha\simeq 3,5$$
\item {\footnotesize \textbf{Application} : Un cube a une arête de $x$ cm. Un parallélépipède rectangle a pour dimensions : $1$ cm ; $3$ cm et $(3x+4)$ cm. Trouver la valeur de $x$ pour que ces $2$ solides aient le même volume.}

Le volume du cube vaut $x^3$, celui du parallélépipède rectangle $1\times 3\times (3x+4)=9x+12$

Ainsi pour que ces $2$ solides aient le même volume il faut et suffit que $x^3=9x+12\Longleftrightarrow x^3-9x-12=0 \Longleftrightarrow P(x)=0$.

D'après la question précédent $x\simeq 3,5$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

%\begin{exoi} \hfill \textbf{points}
%
%$ABCD$ est un carré de côté $10$. $\mathscr C$ est le quart de cercle de centre $A$ et de rayon $AB$ contenu dans le carré $ABCD$. $M$ est un point quelconque de $\mathscr C$. La tangente à $\mathscr C$ en $M$ coupe les segments $[BC]$ et $[CD]$ en $E$ et en $F$.
%\\
%\textbf{On se propose de trouver la position du point $M$ sur $\mathscr C$ pour que la longueur $EF$ soit minimale.}
%\begin{center}
%\newrgbcolor{qqzzqq}{0 0.6 0}
%\newrgbcolor{qqqqcc}{0 0 0.8}
%\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
%\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-0.78,-0.46)(5.06,4.72)
%\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.29,3.81)(1.11,3.42)(1.5,3.25)(1.67,3.63)
%\psline[linecolor=qqzzqq](0,0)(4,0)
%\psline[linecolor=qqzzqq](4,0)(4,4)
%\psline[linecolor=qqzzqq](4,4)(0,4)
%\psline[linecolor=qqzzqq](0,4)(0,0)
%\parametricplot[linecolor=qqqqcc]{0.0}{1.5707963267948966}{1*4*cos(t)+0*4*sin(t)+0|0*4*cos(t)+1*4*sin(t)+0}
%\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,0)(1.67,3.63)
%\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](-0.32,4.55)(0.88,4)
%\psline[linecolor=ccqqqq](0.88,4)(4,2.56)
%\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](4,2.56)(4.77,2.2)
%\rput[tl](2.98,2.38){$\qqqqcc{\mathscr C}$}
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,0)
%\rput[bl](-0.3,-0.18){$A$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,0)
%\rput[bl](4.12,-0.1){$B$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,4)
%\rput[bl](4.08,4.08){$C$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0,4)
%\rput[bl](0.08,4.08){$D$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](1.67,3.63)
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.88,4)
%\rput[bl](0.96,4.08){$E$}
%\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4,2.56)
%\rput[bl](4.08,2.64){$F$}
%\rput[bl](1.76,3.72){$M$}
%%\rput[bl](1.38,3.46){\qqwuqq{$90\textrm{\degre}$}}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%On pose $BF=x$ et $DE=y$. Le réel $x$ appartient à l'intervalle $[0;10]$.
%\begin{enumerate}
%\item En comparant successivement dans les triangles $AMF $ et $ABF $ justifier que $MF=x$. Procéder de même pour justifier que  $ME=y$. En déduire que $$ EF=x+y$$
%\item En considérant le triangle $CEF$, démontrer que :
%$$ EF^2=x^2+y^2-20x-20y+200$$
%puis, en utilisant le fait que $EF=x+y$, que 
%$$ y(2x+20)=-20x+200$$
%\item En déduire que $ y=\dfrac{100-10x}{x+10}$
%\item En déduire enfin que que $EF=x+y=\dfrac{x^2+100}{x+10}$.
%\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0;10]$ par :
%$$ f(x)=\dfrac{x^2+100}{x+10}$$
%\begin{enumerate}
%\item Etudier les variations de la fonction $f$.
%\item En déduire que la valeur minimum de $EF$ est $20\sqrt{2}-20$ et que dans ce cas, $BE=DF$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{7 points}\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $g$  par : $$ g(x)=\dfrac{x^2-3}{2x-1}$$

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer l'ensemble de définition de $g$.}

$g$ est définie si et seulement si $2x-1\neq 0 \Longleftrightarrow x\neq \dfrac{1}{2}$.

Par conséquent l'ensemble de définition de $g$ est :
$$ \R\textbackslash \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$$
\item {\footnotesize Déterminer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.}

$g$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$, par conséquent sa dérivée $g'$ est de la forme $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

Ainsi pour $x\neq \dfrac{1}{2}$ on a :
$$ g'(x)=\dfrac{(x^2-3)'(2x-1)-(x^2-3)(2x-1)'}{(2x-1)^2}=\dfrac{2x(2x-1)-2(x^2-3)}{(2x-1)^2=\dfrac{4x^2-2x-2x^2+6}{(2x-1)^2}}=\dfrac{2x^2-2x+6}{(2x-1)^2}$$
\item {\footnotesize Etudier le signe de $g'$.}

Pour tout $x\neq \dfrac{1}{2}$ on a $(2x-1)^2>0$ donc $g'$ a le même signe que $2x^2-2x+6$.

$\Delta=4-4\times 2\times 6<0$ d'où :

%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\input tabvar
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{\dfrac{1}{2}}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{2x^2-2x+6}&&\tx{+}&&\tx{+}&\cr
\tx{g'(x)}&&\tx{+}&\doubletraitmilieu&\tx{+}&\cr
\tx{g(x)}&&\fm&\doubletraitmilieu&\fm&\cr
}$$




\item {\footnotesize Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.}

Nous avons profité lors de la question précédente du tableau de signe de $g'$ pour donner le tableau de variation de $g$.
\item {\footnotesize Déterminer les points d'intersection entre les axes du repère et la représentation graphique de la fonction $g$.}

\textbf{Avec l'axe des ordonnées} :
$$ g(0)=\dfrac{0^2-3}{2\times 0-1}=3$$

Donc $A(0;3)$ est le point d'intersection entre la représentation graphique de la fonction $g$ et l'axe des ordonnées.

\textbf{Avec l'axe des abscisses} :

On cherche $x$ tel que :
$$ g(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac{x^2-3}{2x-1}=0 \Longleftrightarrow x^2-3=0\Longleftrightarrow x=\pm \sqrt{3}$$

Donc $B(-\sqrt{3};0)$ et $C(\sqrt{3};0)$  sont les points d'intersection entre la représentation graphique de la fonction $g$ et l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\end{exoi}


\begin{exoi}\hfill \textbf{2 points}

\begin{footnotesize}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur l'intervalle $I=[0;2]$ telles que : $f(0)=g(0)$ et $f'\leq g'$ sur $I$\newline
Démontrer que $f\leq g$ sur $I$ $^($\footnote{On pourra étudier les variations de $g-f$ }$^)$
\end{footnotesize}

Etudions la fonction $g-f$ sur $I$ en calculant sa dérivée :
$$ (g-f)'=g'-f'$$

Or on sait que, sur $I$ on a $f'\leq g' \Longleftrightarrow 0\leq g'-f'$.

Par conséquent la fonction $g-f$ est croissante sur $I$.

De plus $(g-f)(0)=g(0)-f(0)=0$ puisque $g(0)=f(0)$. $g-f$ vaut donc $0$ en $0$ et est croissante sur $I=[0;2]$, donc sur $I$ on a :
$$ g-f\geq 0 \Longleftrightarrow g\geq f$$

\end{exoi}

\end{document}
