
\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction Devoir Surveill\'e 4}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Trigonom\'etrie ; suite ; fonctions et probabilit\'e}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{\`ere}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav





\begin{exoi}\hfill \textbf{Fonctions}\\
\begin{enumerate}
\item 
\begin{multicols}{2}
{\footnotesize Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on place les points $D$ et $E$ respectivement sur $[AC]$ et $[AB]$ tels que $AD=BE=x$.}
\\
\textbf{Données} : {\footnotesize $AB=18$ m et $AC=8$ m.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Résoudre, dans $\R$, l'équation $-x^2+18x-72=0$.}
\\
On calcule le discriminant :
$$ \Delta=b^2-4ac=18^2-4\times (-1)\times(-72)=36>0$$
L'équation admet donc deux solutions dans $\R$ qui sont :
$$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-18+6}{-2}=6 \qquad \text{et}\qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-18-6}{-2}=12$$
Et voici l'ensemble des solutions de l'équation $-x^2+18x-72=0$ :
$$ \mathscr S=\left\{6;12\right\}$$
\item {\footnotesize Déterminer l'aire du triangle $ABC$.}
\\
L'aire du triangle rectangle $ABC$ vaut :
$$ \dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{18\times 8}{2}=9\times 8=72m^2$$
\item {\footnotesize Exprimer l'aire du triangle $ADE$ en fonction de $x$.}
\\
$ADE$ a pour aire :
$$ \dfrac{AD\times AE}{2}=\dfrac{x(18-x)}{2}$$
\item {\footnotesize Déterminer $x$ pour que l'aire du triangle $ADE$ soit égale à la moitié de celle du triangle $ABC$.}
\\
L'aire de $ADE$ vaut la moitié de celle de $ABC$ si et seulement si :
$$ \dfrac{72}{2}=\dfrac{x(18-x)}{2}\Longleftrightarrow 72=x(18-x)\Longleftrightarrow 0=-x^2+18x-72$$
On sait d'après la première question que cette équation admet deux solutions $6$ et $12$.
\\
Or, $12$ est impossible puisque $AD\leq AC=8$ donc le problème admet pour unique solution $x=6$.
\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.42,-0.41)(2.34,3.22)
\psline(0,3)(0,0)
\psline(0,0)(2,0)
\psline(0,2.4)(0.6,0)
\psline(0,3)(2,0)
\rput[tl](-0.14,2.72){$x$}
\rput[tl](0.21,-0.1){$x$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.1,-0.12){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2,0)
\rput[bl](2.03,-0.1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,3)
\rput[bl](-0.1,3.02){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,2.4)
\rput[bl](-0.13,2.36){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.6,0)
\rput[bl](0.61,-0.12){$D$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item \begin{footnotesize}
Peut-on trouver trois carrés ayant pour côtés des \textbf{entiers consécutifs} et dont la somme des aires est $15125$ ? Si oui, préciser quelles sont les valeur que doivent avoir les côtés.
\\
\end{footnotesize}
Trois carrés ayant pour côtés des entiers consécutifs dont celui du milieu mesure $n$ cm ont pour aire :
$$ (n-1)^2+n^2+(n+1)^2=n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1=3n^2+2$$
On cherche $n$ entiers tels que $$ 3n^2+2=15125\Longleftrightarrow 3n^2=15123 \Longleftrightarrow n^2=5041 \Longleftrightarrow n=\pm 71$$
On peut donc trouver trois carrés ayant pour côtés des \textbf{entiers consécutifs} et dont la somme des aires vaut $15125$, les côtés de ses trois carrés sont $70$, $71$ et $72$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{Probabilit\'e}\\
{\footnotesize Igor, un champion de roller sous marin, s'inscrit au championnat du monde de la discipline. Il doit effectuer deux figures pour lesquelles il est particulièrement entrainé. Par expérience il sait qu'il a $70\%$ de chance de réussir sa première figure, par contre il n'a que $40\%$ de chance de réussir sa deuxième figure. Le gouvernement Syldave a décidé de récompenser son champion de la manière suivante :}
\begin{footnotesize}
\begin{itemize}
\item S'il réussit les deux figures, Igor reçoit la somme de $1000$ \euro{} Syldave.
\item S'il ne réussit qu'une figure, le gouvernement syldave récompense Igor d'un euro syldave.
\item Sinon Igor doit au gouvernement syldave la somme de $2000$ \euro{} Syldave.
\end{itemize}
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Décrire par un arbre pondéré cette expérience aléatoire.}\\
Notons $G_i$, pour $i=1$ ou $i=2$, l'événement Igor réussit sa $i-$ème figure.
%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
\begin{center}
% Racine en Haut, développement vers le bas
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
% Styles (MODIFIABLES)
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{feuille}=[fill=yellow,circle,draw]
\tikzstyle{etiquette}=[midway,fill=white,draw]
% Dimensions (MODIFIABLES)
\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{2}
% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
\def\NiveauA{(-0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(-1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(-2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(1)*\DistanceInterFeuilles}
% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
\node[noeud] (R) at ({(1.5)*\InterFeuilles},{\NiveauA}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({(0.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$G_1$};
\node[feuille] (Raa) at ({(0)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$G_2$};
\node[feuille] (Rab) at ({(1)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$\overline{G_2}$};
\node[noeud] (Rb) at ({(2.5)*\InterFeuilles},{\NiveauB}) {$\overline{G_1}$};
\node[feuille] (Rba) at ({(2)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$G_2$};
\node[feuille] (Rbb) at ({(3)*\InterFeuilles},{\NiveauC}) {$\overline{G_2}$};
% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$0,7$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette] {$0,4$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette] {$0,6$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$0,3$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette] {$0,4$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette] {$0,6$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item {\footnotesize Calculer la probabilité qu'Igor réussisse les deux figures.}\\
Notons $A$ l'événement \og Igor réussit les deux figures \fg{}. Dans ce cas :
$$ p(A)=p(G_1\cap G_2)=0,7\times 0,4=\dfrac{28}{100}=0,28$$
\item {\footnotesize Calculer la probabilité qu'Igor réussisse exactement une figure.}\\
Notons $B$ l'événement \og Igor réussit exactement une figure \fg{}. Dans ce cas :
$$ p(B)=p(G_1\cap \overline{G_2}+p(\overline{G_1}\cap G_2)=0,7\times 0,6+0,3\times 0,4=0,42+0,12=0,54$$
\item {\footnotesize On note $G$ la variable aléatoire donnant les gains d'Igor.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $G$.}\\
La probabilité qu'Igor loupe les deux figures est de $0,3\times 0,6=0,18$, d'où :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
Gain $G$ & $2000$ & $1$ & $-2000$ & Total\\\hline
$p(G=x_i)$ & $ 0,28 $ & $0,54$ & $0,18$ & $1$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item {\footnotesize Déterminer l'espérance de $G$. Igor a-t-il raison de s'inscrire au championnat du monde ?}\\
$$E(G)=0,28\times 2000+0,54\times 1-0,18\times 2000\simeq -79 $$
En moyenne Igor perd de l'argent, mais l'euro n'ayant peut-être aucune valeur en Syldavie contrairement à la gloire d'être champion du monde, il est difficile de se prononcer$\dots$
\item {\footnotesize Déterminer l'écart-type $\sigma(G)$. Interpréter.}
$$ V(G)=E(G^2)-(-79)^2=0,28\times 2000^2+0,54*1^2+0,18*2000^2-79^2\simeq 993687$$
Et ainsi :
$$ \sigma{G}=\sqrt{V(G)}\simeq 997$$
En moyenne on devrait observer un écart de gain par rapport à la moyenne d'environ $1000$ euros, c'est-à-dire qu'un tel athlète risque de gagner entre $-79-997$ et $-79+997$. Le jeu pour quelqu'un qui tient à ne pas perdre son argent et très risqué, pour quelqu'un en revanche qui prêt à tout perdre en espérant gagner beaucoup le jeu est pas si mal$\dots$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Si Igor était Grolandais alors $Y=40G-100$ est la variable aléatoire qui donne les gains qu'Igor obtiendrait du gouvernement Grolandais. Calculer $E(Y)$ et $\sigma(Y)$. Interpréter.}
$$E(Y)=40E(G)-100\simeq -40\times 79-100\simeq -3278$$
Puis $\sigma(Y)=40\times \sigma(G)\simeq 39974$. En moyenne le championnat du monde est moins lucratif pour un Grolandais mais le risque de gagner gros et/ou de perdre gros est accentué pour un candidat Grolandais.
\end{enumerate}
\end{exoi}
\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{Trigonométrie} \\
\begin{footnotesize}
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont placés sur le cercle trigonométrique ci-dessous :
\end{footnotesize}\begin{center}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.14,-1.11)(1.2,1.19)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.14,-1.11)(1.2,1.19)
\psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.14,-1.11)(1.2,1.19)
\pscircle(0,0){3}
\psline(0.5,-1.11)(0.5,1.19)
\psplot{-1.14}{1.2}{(-0-1*x)/1}
\psplot{-1.14}{1.2}{(-0.5-0*x)/1}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.02,0.01){$O$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.5,-0.87)
\rput[bl](0.56,-0.96){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](-0.71,0.71)
\rput[bl](-0.72,0.75){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.87,-0.5)
\rput[bl](0.87,-0.62){$A$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner la mesure principale associé aux points $A$, $B$ et $C$.}
$$A\left(\dfrac{-\pi}{6}\right) \qquad B\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)\qquad C\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)  $$
\item \begin{footnotesize}
Placer sur le cercle trigonométrique ci-contre les points :
$$ E\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\qquad \text{;}\qquad F\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\qquad \text{et}\qquad G\left(\dfrac{15\pi}{2}\right)$$
La mesure principale de $G$ est $-\dfrac{\pi}{2}$. Placer les points est ensuite une banalité.
\end{footnotesize}
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{1cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|}
\hline 
$x$ & $-\frac{3\pi}{4}$ & $\frac{2\pi}{3}$ & $\frac{15\pi}{2}$\tabularnewline
\hline 
\hline 
$\cos x$ & $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $-0,5$ & 0\tabularnewline
\hline 
$\sin x$ & $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $-1$ \tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item {\footnotesize Déterminer la mesure principale de $\dfrac{2014\pi}{3}$}
\\
$2014/3\simeq 671$ donc :
$$ 671<\dfrac{2014}{3}<672 \Longleftrightarrow 671\pi<\dfrac{2014\pi}{3}<672\pi$$
On enlève $336$ tours c'est-à-dire $672\pi$ et on obtient :
$$ -\pi	<\dfrac{2014\pi}{3}-672\pi<0 \Longleftrightarrow -\pi	<-\dfrac{2\pi}{3}\pi<0 $$
La mesure principale de $\dfrac{2014\pi}{3}$ est $-\dfrac{2\pi}{3}$
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ l'équation $$\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$}
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi ; \dfrac{3\pi}{4}+2k\pi; k\in\Z\right\}$$
\item {\footnotesize On sait que $x$ est un réel de l'intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ et que $\cos x=\dfrac{5}{6}$. Déterminer $\sin x$.}
On sait que pour tout réel $x$ on a :
$$ \cos^2 x+\sin^2 x=1 \Longleftrightarrow \sin x=\pm \sqrt{1-\cos^2 x}=\pm \sqrt{1-\dfrac{25}{36}}=\pm \dfrac{\sqrt{11}}{6}$$
Puisque $x$ est un réel de l'intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ il suit que $\sin x\geq 0$ et donc que :
$$\sin x=\dfrac{\sqrt{11}}{6} $$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\pagebreak
\begin{exoi}\hfill \textbf{Suites}\\
\textbf{Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes et peuvent donc se traiter séparément.
}

\textbf{Partie A}

\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=\sqrt{4n+5}$$
\end{footnotesize}

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_0$ ; $u_1$ et $u_{100}$.}
$$ u_0=\sqrt{4\times 0+5}=\sqrt{5}$$

$$ u_1=\sqrt{4\times 1+5}=3$$
$$ u_{100}=\sqrt{4\times 100+5}=\sqrt{405}$$
\item {\footnotesize On considère la fonction $f$ définie par $$ f(x)=\sqrt{4x+5}$$}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$.}

$f$ est définie si et seulement si $4x+5\geq 0 \Longleftrightarrow x\geq -\dfrac{5}{4}$ d'où :
$$ \mathscr D_f=\left[-\dfrac{4}{5};+\infty\right[$$
\item {\footnotesize Déterminer le sens de variation de la fonction $f$.}
\\
Considérons la fonction affine $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=4x+5$. Puisque son coefficient directeur est positif $4>0$ la fonction $g$ est strictement croissante sur $\R$ et puisque $f=\sqrt{g}$ la fonction $f$ est strictement croissante sur $ \mathscr D_f=\left[-\dfrac{4}{5};+\infty\right[$
\item \begin{footnotesize}
Déduire de la question précédente que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ f(n+1)>f(n)$$
\end{footnotesize}
Puisque $n$ est un entier on a : $0\leq n<n+1$ donc puisque $f$ est strictement croissante sur $ \mathscr D_f=\left[-\dfrac{4}{5};+\infty\right[$ il suit que :
$$ f(n)<f(n+1)$$
\item {\footnotesize En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.}

$f(n)=u_n$ et $f(n+1)=u_{n+1}$ donc d'après la question précédente :
$$ u_n<u_{n+1} \qquad \forall n\in \N$$
ce qui signifie que la suite $(u_n)$ est strictement croissante
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\begin{footnotesize}
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel par :
$$ \left\{ \begin{array}{l} v_0=19 \\ v_{n+1}=\sqrt{4v_n+5}\end{array} \right.$$

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $v_1$ ; $v_2$ et $v_3$. Donner si besoin une valeur approchée à $10^{-2}$ près.}

$$ v_1=\sqrt{4\times 19+5}=9$$
$$ v_2=\sqrt{4\times 9+5}\simeq 6,40$$
$$ v_3=\sqrt{4\times \sqrt{41}+5}\simeq 5,53$$
\item {\footnotesize Soit $f(x)=\sqrt{4x+5}$. Sur le graphique suivant, nous avons représenté la courbe de la fonction $f$ ainsi que la droite d'équation $y=x$ :}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.59999)(20.5,10.6)
\def\xmin{0} \def\xmax{20} \def\ymin{0} \def\ymax{10}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.5,-0.59999)(20.5,10.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(19,0)(19,9)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(19,0)(19,9)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(19,9)(0,9)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(19,9)(0,9)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,9)(9,9)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,9)(9,9)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(9,9)(9,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(9,9)(9,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(9,0)(9,6.40312)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(9,0)(9,6.40312)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(9,6.40312)(0,6.40312)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,6.40312)(6.40312,6.40312)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.40312,6.40312)(6.40312,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.40312,6.40312)(6.40312,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.40312,0)(6.40312,5.53285)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.40312,0)(6.40312,5.53285)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(6.40312,5.53285)(0,5.53285)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(6.40312,5.53285)(0,5.53285)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,5.53285)(5.53285,5.53285)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,5.53285)(5.53285,5.53285)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5.53285,5.53285)(5.53285,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(5.53285,5.53285)(5.53285,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5.53285,0)(5.53285,5.20878)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(5.53285,0)(5.53285,5.20878)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5.53285,5.20878)(0,5.20878)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(5.53285,5.20878)(0,5.20878)
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(5.20878,5.20878)(5.20878,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(5.20878,5.20878)(5.20878,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{20}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{20}{\F}
\uput[0](3,6.5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){\small O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](19,0){\small $v_0$}
\uput[180](0,9){\small $v_1$}
\uput[-90](9,0){\small $v_1$}
\uput[180](0,6.40312){\small $v_2$}
\uput[-90](6.40312,0){\small $v_2$}
\uput[180](0,5.53285){\small $v_3$}
\uput[-90](5.53285,0){\small $v_3$}
\uput[180](0,5.20878){\small $v_4$}
\uput[-90](5.20878,0){\small $v_4$}
\end{pspicture*}
\end{center}
{\footnotesize Placer sur l'axe des abscisses, \textbf{en utilisant $\mathscr C_f$ et la droite d'équation $y=x$}, les termes $v_0$, $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$. On laissera apparent les traits de construction.}
\item {\footnotesize Conjecture, à l'aide de la question précédente, le sens de variation de la suite $(v_n)$ et la limite $\ell$ de la suite $(v_n)$.}

D'après le graphique précédent on observe que $v_0>v_1>v_2>v_3>v_4$ on pourrait croire que $v$ est décroissante. De plus les termes de la suite $v$ semblent se rapprocher de l'abscisse du point d'intersection de la droite $y=x$ et la courbe $y=\sqrt{4x+5}$ qui vaut environ $5$ donc on conjecture que :
$$ \lim\limits_{n\to +\infty} v_n=5$$
\item {\footnotesize Retrouver par le calcul la valeur de la limite $\ell$ que vous avez conjecturé à la question précédente.}

$\ell$ semble vérifier $\ell=\sqrt{4\ell +5} \Longleftrightarrow \ell^2=4\ell+5$ et donc $\ell^2-4\ell-5=0$

On calcule le discriminant :
$$ \Delta= 16+20=36>0$$. Ce trinôme admet deux racines que voici :
$$x_1=\dfrac{4+6}{2}=5\qquad {et}\qquad x_2=-1 $$
La suite étant définie par une racine carrée il est inconcevable que $\ell=-1$ donc $\ell=5$
\item {\footnotesize On considère l'algorithme suivant :}
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
$v$ est  réel,  $n$  un  entier et $A>0$ \\
}
{
$v:=19$ et $n:=0$\\
Choisir une valeur positive pour $A$\\
    \While{$ |v-5|>A$ }
{$v:=\sqrt{4\times v+5}$ 
\\
$n:=n+1$}\\
Afficher $n$
}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Qu'affiche l'algorithme si l'utilisateur choisit $A=1$. \textbf{On ne demande aucune justification.}}

Il affiche $3$
\item {\footnotesize Que fait cet algorithme ? \textbf{On ne demande aucune justification.}}

Il affiche le plus petit entier $n$ tel que l'écart entre $v_n$ et $5$ est inférieur ou égal à $A$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}




\begin{exoi}\hfill \textbf{Question Cactus}\\
\begin{footnotesize}
Deux prisonniers (complices d'un crime) sont retenus dans des cellules séparées et qui ne peuvent communiquer; l'autorité pénitentiaire offre à chacun des prisonniers les choix suivants :
\begin{itemize}
\item si un des deux prisonniers dénonce l'autre, il est remis en liberté alors que le second obtient la peine maximale (20 ans) ;
\item si les deux se dénoncent entre eux, ils seront condamnés à une peine plus légère (10 ans) ;
\item si les deux refusent de dénoncer, la peine sera minimale (1 ans), faute d'éléments au dossier.
\end{itemize}
En se plaçant du point de vue d'un des deux prisonniers, que faire ? Expliquez votre réponse.
\end{footnotesize}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Première Analyse} : Si le prisonnier privilégie l'intérêt du groupe et pense qu'il en va de même de son compère alors les deux arriveront à la conclusion qu'il ne mieux pas se dénoncer. En effet la somme totale des années qu'ils passeront en prison ne peut être inférieure à $2$.
\item \textbf{Deuxième Analyse} : Le prisonnier peut éventuellement raisonner comme suit :

Si son complice le dénonce alors il minimisera sa peine en le dénonçant aussi (obtenant ainsi que $10$ ans au lieu de $20$).

Si son complice ne le dénonce pas alors il minimisera sa peine en le dénonçant la encore (étant dans ce cas libéré).

Puisque dans les deux cas il minimise sa peine en dénonçant son complice il pourrait penser que c'est la meilleure stratégie pour lui. Le problème demeure si son complice fait la même analyse que lui...

\item \textbf{Conclusion} : La meilleure stratégie semble être la coopération, cependant le jeu est formulé d'une telle manière que chacun des deux complices est très fortement poussé à trahir son complice d'où l'existence d'un dilemme.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
