
\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir Surveill\'e 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Trigonom\'etrie et suite}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1$^\text{ère}$S}
\newcommand{\Annee}{2014-2015}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de la clarté des raisonnements. }



\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Résoudre, dans $\R$, les équations suivantes :
\\
\textit{On s'aidera d'un cercle trigonométrique pour résoudre chaque équation ; pour la dernière question on se contentera de placer approximativement $\dfrac{\pi}{5}$ sur le cercle trigonométrique.}
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item $\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$\\
Sur le cercle trigonométrique deux points sont associés à des réels ayant pour abscisse $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; ces réels sont ceux de la forme $\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$ et $-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$ où $k\in\Z$ d'où :
$$ \mathscr S=\{\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi;-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\}$$
\item $\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\
Sur le cercle trigonométrique deux points sont associés à des réels ayant pour abscisse $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; ces réels sont ceux de la forme $\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ et $-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ où $k\in\Z$ d'où :
$$ \mathscr S=\{\dfrac{\pi}{3}+2k\pi;\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\}$$
\item $\cos x=\cos \dfrac{\pi}{5}$\\
Sur le cercle trigonométrique deux points sont associés à des réels ayant pour abscisse $\cos \dfrac{\pi}{5}$ ; ces réels sont ceux de la forme $\dfrac{\pi}{5}+2k\pi$ et $-\dfrac{\pi}{5}+2k\pi$ où $k\in\Z$ d'où :
$$ \mathscr S=\{\dfrac{\pi}{5}+2k\pi;-\dfrac{\pi}{5}+2k\pi\}$$
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Donner les solutions dans $]-\pi;\pi]$ des équations précédentes.}
\\
Dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$ les solutions des équations précédentes sont respectivement :
$$ \mathscr S=\{\dfrac{3\pi}{4};-\dfrac{3\pi}{4}\}$$
$$ \mathscr S=\{\dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3}\}$$
$$ \mathscr S=\{\dfrac{\pi}{5};-\dfrac{\pi}{5}\}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi} \hfill (3 points) \\
\begin{footnotesize}
On suppose dans cette exercice que :
$$ \sin x=\dfrac{1}{5}\qquad \text{et}\qquad x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$$
L'unité du repère vaut $5$ cm.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Placer $x$ sur le cercle trigonométrique.}
\begin{center}
\psset{xunit=5.0cm,yunit=5.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.48,-1.22)(1.56,1.38)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.48,-1.22)(1.56,1.38)
\psset{xunit=5.0cm,yunit=5.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.48,-1.22)(1.56,1.38)
\pscircle(0,0){5}
\psplot{-1.48}{1.56}{(--0.2-0*x)/1}
\rput[tl](-1.05,0.26){$x$}
\rput[tl](-0.17,0.38){$\dfrac{1}{5}$}
\rput[tl](-0.1,1.1){$\dfrac{\pi}{2}$}
\rput[tl](-1.1,-0.1){$\pi$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize Quel est  le signe de $\cos x$ ?}\\
Puisque $x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ alors $\cos x<0$
\item {\footnotesize {\footnotesize Calculer $\cos(x)$ (\textbf{en valeur exacte}).}}\\
On sait que pour tout réel $x$ on a :
$$ \cos^2 x+\sin^2 x=1$$
De plus, puisque $\sin x=\dfrac{1}{5}$ il suit que $\sin^2 x=\left(\dfrac{1}{5}\right)^2=\dfrac{1}{25}$ et donc :
$$\cos^2 x+\dfrac{1}{25}=1\Longleftrightarrow \cos^2 x=1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25} $$
Par conséquent :
$$ \cos x=\pm \sqrt{\dfrac{24}{25}}=\pm \dfrac{\sqrt{24}}{5}$$
Or, d'après la question précédente on sait que $\cos x<0$, on en déduit que :
$$ \cos x=-\dfrac{\sqrt{24}}{5}$$
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (5 points)\\
\begin{footnotesize}
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et de sens direct tel que $AB = 2AC$.
$ACD$ est un triangle isocèle et rectangle en $C$ de sens direct et $BAE$ est un triangle équilatéral direct.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Réaliser une figure pour $AC=3$ cm.}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.5,-5.82)(6.84,3.8)
\psline(0,3)(0,0)
\psline(0,0)(6,0)
\psline(6,0)(0,3)
\psline(-3,3)(0,3)
\psline(-3,3)(0,0)
\psline(0,0)(3,-5.2)
\psline(3,-5.2)(6,0)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0.08,0.04){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,3)
\rput[bl](0.08,3.04){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6,0)
\rput[bl](6.08,0.04){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3,3)
\rput[bl](-3.22,3.08){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,-5.2)
\rput[bl](3.08,-5.38){\darkgray{$E$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer, en utilisant la relation de Chasles une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}\right)$.}

Utilisons donc la relation de Chasles :
$$\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}\right)=\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC}\right)+\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE}\right)=-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{3\pi+6\pi+4\pi}{12}=-\dfrac{13\pi}{12} $$
En effet dans un triangle équilatéral tous les angles sont égaux à $\dfrac{\pi}{3}$ et dans un triangle rectangle isocèle les angles à la base mesurent $\dfrac{\pi}{4}$.
\item {\footnotesize Les points $A$, $D$ et $E$ sont-ils alignés ?}
\\
Les points $A$, $D$ et $E$ ne sont pas alignés puisque $\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}\right)=-\dfrac{13\pi}{12}\neq \pi$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle $ABC$, déterminer à $10^{-2}$ près une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)$.
\\
\textit{Vous donnerez une mesure en radian ou en degré, au choix (en respectant l'orientation).}

Dans le triangle rectangle $ABC$ on sait que $\tan \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}$

Or, $\tan^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\simeq 26,57^\circ$.

Concluons alors que :
$$\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)\simeq 26,57^\circ$$
\end{footnotesize}
\item \begin{footnotesize}
En déduire une valeur approchée de l'angle $\left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{BC}\right)$
\\
\textit{Vous donnerez une mesure en radian ou en degré, au choix (en respectant l'orientation).}
\end{footnotesize}

L'angle $\left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{BC}\right)$ mesure en degré environ :
$$ 180-26,57-60\simeq 120-26,57\simeq 93,43^\circ$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\pagebreak
\begin{exoi}\hfill (7 points)\\
\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)_{n\in \N}$ définie par :
$$ u_n=\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_0$ ; $u_1$ ; $u_2$ ; $u_3$ ; $u_4$ ; $u_5$ et enfin $u_6$.}

$$ u_0=\cos 0=1$$
$$ u_1=\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$$
$$ u_2=\cos \dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$$
$$ u_3=\cos \pi=-1$$
$$ u_4=\cos \dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$$
$$ u_5=\cos \dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$$
$$ u_6=\cos 2\pi=1$$
\item 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la mesure principale de $\dfrac{100\pi}{3}$.}

On a $33<\dfrac{100}{3}<34 \Longleftrightarrow  33\pi<\dfrac{100\pi}{3}<34 \pi\Longleftrightarrow 33\pi-34\pi<\dfrac{100\pi}{3}-34\pi<34\pi-34\pi$ ce qui donne :
$$ -\pi<-\dfrac{2\pi}{3}<0$$
On en déduit que la mesure principale de $\dfrac{100\pi}{3}$ est $-\dfrac{2\pi}{3}$.
\item {\footnotesize En déduire $u_{100}$.}
$$ u_{100}=\cos \dfrac{100\pi}{3}=\cos \dfrac{-2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize On suppose que $n$ est un multiple de $6$, donner la mesure principale de $\dfrac{n\pi}{3}$ puis préciser $u_n$.}

Si $n$ est un multiple de $6$ alors il existe un entier $k$ tel que $n=6k$ auquel cas on a :
$$ \dfrac{n\pi}{3}=\dfrac{6k\pi}{3}=2k\pi$$

Or, la mesure principale de $2k\pi$ est obtenu en choisissant $k=0$ et vaut $0$.

Il suit que $u_n=\cos \dfrac{n\pi}{3}=\cos 0=1$.
\item {\footnotesize On suppose que le reste de la division euclidienne de $n$ par $6$ est $1$, donner la mesure principale de $\dfrac{n\pi}{3}$ puis préciser $u_n$.}

Si le reste de la division euclidienne de $n$ par $6$ est $1$ alors il existe un entier $k$ tel que $n=6k+1$ auquel cas on a :
$$ \dfrac{n\pi}{3}=\dfrac{(6k+1)\pi}{3}=\dfrac{6k\pi+\pi}{3}=\dfrac{6k\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=2k\pi+\dfrac{\pi}{3}$$

Or, la mesure principale de $2k\pi+\dfrac{\pi}{3}$ est obtenu en choisissant $k=0$ et vaut $\dfrac{\pi}{3}$.

Il suit que $u_n=\cos \dfrac{n\pi}{3}=\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$.
\item {\footnotesize Que peut-on penser de la limite de la suite $(u_n)$ ?}

Cette suite n'admet pas de limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}



\begin{exoi}\hfill \textbf{Question Cactus}\\
Un escargot est enfermé dans une cage carré de côté $4$ cm. Au début l'escargot se trouve au centre de la cage et décide de partir plein est. Toutes les minutes il parcourt, en ligne droite, $1$ cm exactement puis il dévie sa trajectoire d'un angle de $\dfrac{\pi}{4}$ et parcourt de nouveau $1$ cm. Il continue le même processus jusqu'à atteindre l'un des bords de la cage.
\\
L'escargot parviendra-t-il sur l'une des bordures de la cage ? Si oui, atteindra-t-il le bord est, le bord nord, le bord sud ou le bord ouest ?
\end{exoi}

\end{document}
